新課標(biāo)下平面幾何教學(xué)的反思

新課標(biāo)下平面幾何教學(xué)的反思

錢學(xué)森之問：“為什么我們的學(xué)校總是培養(yǎng)不出杰出人才？”引起了教育界的熱烈討論！在探尋錢老的成長軌跡時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)事實(shí)：據(jù)錢老回憶，在北師大附中初三年級(jí)聽傅種孫老師的幾何課，使他第一次明白什么是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué).傅老師說：“你只要承認(rèn)公理，那么定理是邏輯推斷的必然結(jié)果.”他一再強(qiáng)調(diào)，“這樣的理論在中國是如此，在全世界也是如此，拿到火星上去它也是如此”.讓錢老第一次明白“什么是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)”，啟蒙是平面幾何的學(xué)習(xí)！而這種良好的思維訓(xùn)練，使錢老受益終身，并成為他從事科學(xué)研究的支點(diǎn).然而新課標(biāo)實(shí)施以來，平面幾何教學(xué)中邏輯推理弱化導(dǎo)致學(xué)生思維水平下降已經(jīng)顯現(xiàn)！實(shí)踐表明，新課標(biāo)下的平面幾何教學(xué)必須進(jìn)行反思.一、新課標(biāo)關(guān)于平面幾何教學(xué)的改變我國平面幾何教學(xué)，在20世紀(jì)80年代達(dá)到巔峰.1992年后，平面幾何的教學(xué)要求雖然降低，但平面幾何論證體系沒有大的改變“可以說，直到2000年，中國仍是平面幾何教學(xué)水平最高的國家之一”.（張奠宙先生語，見文[1]）2001年7月，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》率先推出，并立即在實(shí)驗(yàn)區(qū)使用，2004年包括安徽省在內(nèi)的全國大部分地區(qū)開始使用.新課標(biāo)人教版教材對(duì)平面幾何內(nèi)容有了重大的改變，幾乎是“革命式”的.用“空間與圖形”替代“平面幾何”，主張學(xué)生合作探索，通過看一看、量一量、做一做等操作得到結(jié)論，然后基本上是說明式的“證明”.主張幾何教學(xué)多聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用；關(guān)于平面幾何的邏輯推理則被淡化，只是要求在學(xué)生充分探索，得出圖形的直觀結(jié)論后，“體會(huì)推理與論證的必要性”.新課標(biāo)頒布之后，初中數(shù)學(xué)教材出現(xiàn)了“一標(biāo)多本”，其中人教版與北師大版使用較多.各種版本的教材均體現(xiàn)新課標(biāo)中這一思想.順應(yīng)新課標(biāo)和教材中這種變化，教師在教學(xué)中運(yùn)用加大“做、量、看”的方法，而淡化了形式化推理訓(xùn)練.難度降低了，思維也弱化了.二、對(duì)新課標(biāo)平面幾何教學(xué)改革的疑問“看一看、量一量、做一做”屬于“實(shí)驗(yàn)幾何”范疇，證明則屬于“論證幾何”范疇.早在1939年版的《平面幾何》序言中（余介石、徐子豪等編著）就有“幾何圖形特性，本為直觀教材，而證理則為邏輯方法，初學(xué)不宜同時(shí)顧及兩方面.本書分實(shí)驗(yàn)幾何與理解幾何”.不知新課標(biāo)制定時(shí)，是否注意到“初學(xué)不宜同時(shí)顧及兩方面”？新課標(biāo)的理念“建構(gòu)主義”與“螺旋式的上升”，近年已在應(yīng)用最久的美國遭受質(zhì)疑與批評(píng)！“螺旋式的上升”對(duì)平面幾何的教學(xué)而言，很容易造成“夾生飯”局面.實(shí)際上，初二以后的平面幾何的教學(xué)更要一鼓作氣，這樣更有利于激發(fā)學(xué)生的興趣，更有利于學(xué)生邏輯思維能力的訓(xùn)練，更有利于知識(shí)體系的形成.新課標(biāo)前的幾何教學(xué)中，常常見到一些學(xué)生非常有興趣地?zé)崃矣懻撘坏李}的證法.而新課標(biāo)實(shí)施后這種場面極為鮮見.這恐怕不完全是教學(xué)單方面造成的.對(duì)新課標(biāo)過多強(qiáng)調(diào)聯(lián)系實(shí)際和具體應(yīng)用，著名數(shù)學(xué)家楊樂院士曾指出：“在編寫中學(xué)教材時(shí)，我認(rèn)為完整的體系應(yīng)重于具體的應(yīng)用”[2].如果一定要突出實(shí)驗(yàn)幾何及幾何應(yīng)用，那么20世紀(jì)80年代上海數(shù)學(xué)教材改革是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.他們將“實(shí)驗(yàn)幾何”放在初二，論證幾何則放到初三.這樣的教改既符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)與認(rèn)知水平，又不失教育以及數(shù)學(xué)學(xué)科本身要求.可惜的是沒能保持下來，更沒能推廣.陳省身先生在世時(shí)，曾有人就新課標(biāo)的構(gòu)想向他請(qǐng)教.當(dāng)被告知新課標(biāo)中，幾何推理證明要削弱甚至是取消時(shí)，陳老說，幾何推理的部分不能取消，因?yàn)檎麄€(gè)數(shù)學(xué)就是建立在推理上的.但是，陳老的意見并沒有完全得到尊重.三、新課標(biāo)下平面幾何教學(xué)實(shí)踐的困惑課改之初，對(duì)平面幾何的教學(xué)改革，教師們是抱有熱情的.大家積極參與其中，希望通過刪減過去過繁、過難的幾何內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)平面幾何的學(xué)習(xí)更有興趣，學(xué)習(xí)效果更好；希望通過學(xué)生的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.這個(gè)時(shí)期，無論你聽哪個(gè)教師的公開課，課堂上必然是熱鬧的，一個(gè)班級(jí)五六十人，被分成若干小組，幾張課桌合在一起，桌上肯定有硬紙板，剪刀，膠水之類的東西.老師一聲令下，學(xué)生們七手八腳，熱熱鬧鬧地探究起來，一段時(shí)間后，便是各組展示匯報(bào)，教師總結(jié).一時(shí)間，這種教學(xué)方式成為課堂教學(xué)的一種“時(shí)尚”，但凡公開課，沒有小組合作，沒有多媒體，那不足以體現(xiàn)新課改理念！也不管內(nèi)容合不合適，只要課本上要求探究就探究.一教師在八年級(jí)進(jìn)行“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的三角形與原三角形相似”，用的是北師大版教材.由于沒有學(xué)習(xí)平行線分線段成比例定理（人教版也是先刪后加的），學(xué)生只好用測(cè)量的辦法，我們知道，測(cè)量是有誤差的，結(jié)果可想而知，對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊完全準(zhǔn)確的對(duì)應(yīng)相等、成比例是很難得到的，對(duì)于學(xué)生的懷疑，該教師只好補(bǔ)充平行線分線段成比例定理，但又怕被人說“穿新鞋走老路”.這種教學(xué)中想刪而又不得不補(bǔ)充的現(xiàn)象在實(shí)際課堂教學(xué)中并不只是個(gè)別現(xiàn)象.[3]應(yīng)該說新課標(biāo)下的新教材，確實(shí)能讓學(xué)生感興趣，材料豐富，插圖美觀，多數(shù)地方的學(xué)習(xí)，只要求學(xué)生在直觀感知下說出結(jié)論或結(jié)果即可，不問為什么，自然難度降低，學(xué)生對(duì)于當(dāng)前內(nèi)容的學(xué)習(xí)，一般是輕松的，可課后作業(yè)及考試中，還是有一些推理論證問題的，這些問題的內(nèi)容及難度屬于新課標(biāo)范圍內(nèi)，但教師得到的反饋太差.另外不少幾何內(nèi)容前后間隔時(shí)間長，學(xué)生學(xué)到后面，前面的忘了，教師只好再復(fù)習(xí).于是有些地方、有些學(xué)校覺得北師大版的是不是比人教版的好，換了之后還是有問題.其實(shí)，不管哪個(gè)版本，都是在新課標(biāo)理念下編寫的，“淡化邏輯推理，強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用”是問題的根源.請(qǐng)看下面幾個(gè)教學(xué)案例：（1）（2009年安徽省中考第10小題）△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AIB的度數(shù)是（）A.120°B.125°C.135°D.150°考生此題的解答情況，合肥望龍學(xué)校疏忠良老師做了一個(gè)調(diào)查，共1000份調(diào)查問卷，結(jié)果如下：（見文[4]）真正會(huì)做的只有13.6%，在選擇題中，得分率最低.此題真的很難嗎？按說學(xué)生平時(shí)探究較多，畫一個(gè)等邊三角形，或者按題意畫圖后測(cè)量，都能得出答案（C），沒有課改之前的學(xué)生也會(huì)這樣探究，課改之后，探究要多得多，為何沒能出成果？根本問題是探究也需要邏輯思維能力.簡析易得到∠AIB=∠AIC，∠AIC=180°-（∠1+∠2）.注意到CD⊥AB，AI、CI為角平分線，所以有∠1+∠2=（∠DAC+∠DCA）∠2=45°，故∠AIB=∠AIC=135°.建立在邏輯推理的基礎(chǔ)上做一做、量一量將會(huì)使我們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更準(zhǔn)確、更快捷、更深刻.（2）（2010年安徽省中考第8題）如圖，⊙O過點(diǎn)B、C.圓心O在等腰直角△ABC內(nèi)部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，則⊙O的半徑為（）簡析主要根據(jù)軸對(duì)稱性考查圓的垂徑定理和等腰直角三角形的性質(zhì).反向延長線段OA交BC于點(diǎn)D，可知AD⊥BC，由等腰直角△ABC，∠BAC=90°，BC=6，可知AD=CD=3，AC=3，再連OC，在Rt△ODC中，利用勾股定理便可求得正確答案OC=許多同學(xué)由于平時(shí)片面的直觀訓(xùn)練誤把AC看做⊙O的半徑而錯(cuò)選C，還有一些同學(xué)由于缺乏最基本的邏輯訓(xùn)練而無法判斷AD⊥BC，從而無從下手.據(jù)太湖縣教育局教研室余學(xué)明等老師統(tǒng)計(jì)，該縣考生在10個(gè)選擇題中，本題得分率最低.（3）一節(jié)高一數(shù)學(xué)課上，在學(xué)習(xí)用向量法解決三角形重心問題時(shí)，有下面一段對(duì)話：師：什么是重心？生1：角平分線交點(diǎn).（連“三個(gè)內(nèi)”都丟了）生2：中垂線交點(diǎn).（連“三條邊”也丟了）在教師的講解下，學(xué)生知道了，初中老師也講過，忘了！教師接著教學(xué)，不能簡單講解，只好再啟發(fā)：師：誰知道重心的幾何性質(zhì)？學(xué)生竊竊私語，無人應(yīng)答.教師只好再啟發(fā)：師：BG∠GE=？生：2.師：很好！怎么證的？生：三角形相似.師：哪兩個(gè)三角形相似，為什么？生3：△DEG∽△BCG（注：對(duì)應(yīng)點(diǎn)有誤）.∠DGE=∠BGC，還有……看他說不出了，師：D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，那么DE是？生：中位線！DE//BC且等于BC的二分之一……至此，約5分鐘過去了，教師才能進(jìn)行下面的教學(xué).初中數(shù)學(xué)關(guān)于三角形重心放在哪里呢？放在了初二的“課題學(xué)習(xí)”里，教材先要求學(xué)生探求線段的重心，再就是平行四邊形的（含矩形、菱形、正方形），接下來是三角形，用“懸掛法”得到重心后，旁注給出兩個(gè)“不必回答的問題”，因?yàn)榈谝粋€(gè)問題下邊用藍(lán)色字體給出：“三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心”；另一個(gè)是“等腰、等邊三角形的重心位置有什么特殊性”，似乎只要知道特殊就夠了，而且是幾乎不用思考的特性，可有可無的問題！更重要的特性卻無涉及，也不能涉及，原來三角形相似的內(nèi)容被挪到了后面.更要命的是課題學(xué)習(xí)的內(nèi)容，基本上屬于學(xué)生自學(xué)內(nèi)容，中考基本不考，就算有“感興趣”的同學(xué)自學(xué)，也只能知道“懸掛法”找“物理重心”非“幾何重心”，因?yàn)檎嬲|(zhì)地均勻的三角形只存在于數(shù)學(xué)中.初中數(shù)學(xué)不要求掌握，可高中教材習(xí)題里對(duì)三角形重心、垂心、內(nèi)心、外心及其基本性質(zhì)均有一定的要求，并在近幾年高考題中有所體現(xiàn).再看高一學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)，前言不搭后語的邏輯混亂較之于新課標(biāo)前普遍多了，凡是需要的解題條件，不加嚴(yán)格的推理論證，而通過“看出來的”不在少數(shù).原來在三角形全等證明中的嚴(yán)格書寫，這個(gè)訓(xùn)練學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)，書寫規(guī)范，表達(dá)清楚的好機(jī)會(huì)，在現(xiàn)行的教材里被削弱了，因?yàn)樗按舭澹粔騽?chuàng)新”.近年來，針對(duì)教材內(nèi)容的編排問題，數(shù)學(xué)雜志上的商榷、建議、批評(píng)文章屢見不鮮.人教版八年級(jí)下冊(cè)第89頁一道例題的證明，被一教師指出有三處顯而易見的書寫錯(cuò)誤.四、初中平面幾何教學(xué)的建議（1）初中平面幾何的學(xué)習(xí)，確實(shí)要避免過繁過難的問題，我們需要精中求簡，但要保證平面幾何的邏輯體系不致削弱.實(shí)際上，教師的教學(xué)難度基本上看齊于中考、高考，只要運(yùn)用好“兩考指揮棒”，平面幾何的教學(xué)既不會(huì)過難，也不會(huì)破壞其完整的體系.如今，由于新課標(biāo)淡化平面幾何的推理論證及邏輯體系，使得各版本的教材中，平面幾何有些支離，不利于平面幾何教學(xué)的高效實(shí)施.（2）平面幾何教學(xué)不能片面強(qiáng)調(diào)應(yīng)用.數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)格漸進(jìn)的課程，中學(xué)平面幾何可以訓(xùn)練學(xué)生的空間想象、邏輯推理能力，對(duì)形象思維的發(fā)展也有非常重要的作用.數(shù)學(xué)教育的目的首先在于提高素質(zhì)水平和能力，而不是所學(xué)知識(shí)