電磁場與微波技術(shù)場論演示文稿

電磁場與微波技術(shù)場論演示文稿目前一頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)電磁場與微波技術(shù)場論目前二頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)31.1矢量的基本運(yùn)算公式1.1.1標(biāo)量和矢量1.1.2基本運(yùn)算公式1.1.3常用矢量目前三頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)4標(biāo)量-用大小能夠完整描述的物理量矢量-需用大小和方向描述的物理量

若三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知,一個(gè)矢量就確定了。例如在直角坐標(biāo)系中,矢量A的三個(gè)分量模值分別是Ax,Ay,Az,則A可表示為該矢量的模為1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.1標(biāo)量和矢量A的單位矢量為矢量的表示方法目前四頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)5例如,在直角坐標(biāo)下,標(biāo)量場如溫度場,電位場,高度場等;矢量場如流速場,電場,渦流場等。1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.1標(biāo)量和矢量目前五頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)6設(shè)1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式(2)矢量的加法和減法(1)矢量的數(shù)乘目前六頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)7(3)標(biāo)量積和矢量積標(biāo)量積A·B并有因而得

矢量的相乘有兩種定義-標(biāo)量積(點(diǎn)乘)和矢量積(叉乘)。1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式目前七頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)8矢量積A×B(3)標(biāo)量積和矢量積并有故1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式目前八頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)9標(biāo)量三重積為矢量三重積為（4）三重積

矢量的三連乘也有兩種-標(biāo)量、矢量三重積。1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式目前九頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)10(5)求導(dǎo)例求矢量場的矢量線方程。解矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式目前十頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)111.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式(6)曲線積分例設(shè)，求任意兩點(diǎn)a、b間的矢量E的線積分。解目前十一頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)12(7)曲面積分例已知矢量場，求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。解

1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式目前十二頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)131.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.3常用矢量

單位矢量一個(gè)特定方向上的單位矢量等于該方向上的任一矢量除以其幅值分矢量一個(gè)矢量在特定方向上的投影為其在該方向上的分量切向矢量（分量）法向矢量（分量）目前十三頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)141.2場的基本概念1.2.1定義1.2.2分類1.2.3場圖目前十四頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)151.2場的基本概念

1.2.1場的定義

場是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。1.2.2場的分類（1）標(biāo)量場例如,在直角坐標(biāo)系標(biāo)量場的場線-等值線(面)。等值線目前十五頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)16標(biāo)量場φ(x,y,z)的等值面方程為1.2場的基本概念

1.2.1場的定義

場是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。1.2.2場的分類（1）標(biāo)量場例求數(shù)量場φ=(x+y)2-z通過點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。解點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為或目前十六頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)171.2場的基本概念

1.2.1場的定義

場是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。1.2.2場的分類（2）矢量場例如,在直角坐標(biāo)系矢量場的場線-矢量線。其方程為三維場在直角坐標(biāo)下二維場目前十七頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)181.2場的基本概念

1.2.1場的定義

場是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。1.2.2場的分類（2）矢量場例求矢量場的矢量線方程。解矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。目前十八頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)19形象描繪場分布的工具--場線矢量場--矢量線標(biāo)量場--等值線(面)。其方程為其方程為在直角坐標(biāo)下:矢量線在某一溫度上沿什么方向溫度變化最快？1.2.3場圖目前十九頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)201.3標(biāo)量場的梯度1.3.1方向?qū)?shù)1.3.2梯度1.3.3梯度的物理意義目前二十頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)21

標(biāo)量場φ(x,y,z)在某點(diǎn)沿l方向的變化率稱為φ沿該方向的方向?qū)?shù)。它的值與所選取的方向有關(guān),設(shè)1.3標(biāo)量場的梯度1.3.1方向?qū)?shù)目前二十一頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)221.3標(biāo)量場的梯度標(biāo)量函數(shù)的最大變化率1.3.1方向?qū)?shù)在直角坐標(biāo)系下性質(zhì)垂直于等值面；指向變化最快的方向；最大的變化率；定義1.3.2梯度定義目前二十二頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)23引入則定義標(biāo)量場φ(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)處的梯度(gradient)為目前二十三頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)24標(biāo)量函數(shù)φ的等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為即梯度的方向與過該點(diǎn)的等值面相垂直,并由梯度定義知,它指向φ增大的方向。

一座山的等高線圖目前二十四頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)25梯度運(yùn)算有如下規(guī)則:目前二十五頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)26例求數(shù)量場在點(diǎn)M(1,1,2)處沿方向的方向?qū)?shù)。解l方向的方向余弦為而在l方向的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù)目前二十六頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)27例求r在M(1，0，1)處沿方向的方向?qū)?shù)。解

r的梯度為點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1,y=0,z=1,

所以r在M點(diǎn)處的梯度為r在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為而所以目前二十七頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)28

標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);

梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。

梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);1.3.3梯度的物理意義

三維高度場的梯度例高度場的梯度

與過該點(diǎn)的等高線垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；

指向地勢升高的方向。目前二十八頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)29例電位場的梯度

與過該點(diǎn)的等位線垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；

電位場的梯度目前二十九頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)301.4矢量場的散度和旋度1.4.1通量1.4.2散度1.4.3環(huán)量1.4.4旋度目前三十頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)311.4矢量場的散度和旋度

1.4.1通量

元通量通量目前三十一頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)32矢量E

沿閉合曲面S的面積分>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)矢量場的通量可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):通量的物理意義目前三十二頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)33定義矢量A在某點(diǎn)的散度(divergence),記為divA:1.4矢量場的散度和旋度

1.4.2散度

哈密頓(W.R.Hamilton)引入微分算子則散度可以表示為目前三十三頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)341.4矢量場的散度和旋度

1.4.2散度

目前三十四頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)35得高斯公式(散度定理)

該公式表明了區(qū)域V中場A與邊界S上的場A之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。1.4矢量場的散度和旋度

1.4.2散度

意義目前三十五頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)36例球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算解目前三十六頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)37

矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為1.4矢量場的散度和旋度

1.4.3環(huán)量

環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。目前三十七頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)38

旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。旋度(curl或rotation)與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系下1.4矢量場的散度和旋度

1.4.4旋度

目前三十八頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)391.4矢量場的散度和旋度

1.4.4旋度

旋度的物理意義

矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。

在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J

稱為旋度源(或渦旋源)；

點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。

若矢量場處處A=0，稱之為無旋場(或保守場)。目前三十九頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)40矢量A的旋度可表示為算子與A的矢量積,即

計(jì)算▽×A時(shí),先按矢量積規(guī)則展開,然后再作微分運(yùn)算,得1.4矢量場的散度和旋度

1.4.4旋度

目前四十頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)41

旋度運(yùn)算符合如下規(guī)則:在直角坐標(biāo)系中有目前四十一頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)42斯托克斯(Stockes)定理

A

是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為即Stocke’s定理在電磁場理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系目前四十二頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)43例自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為求任意點(diǎn)處(r≠0)電場強(qiáng)度的旋度▽×E。解目前四十三頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)44可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故這說明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。因目前四十四頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)451.5亥姆霍茲定理1.5.1散度和旋度的比較1.5.2亥姆霍茲定理目前四十五頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)461.5.1散度和旋度的比較

①

矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù),而矢量場的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)。

②散度表示場中某點(diǎn)的通量密度,它是場中任一點(diǎn)通量源強(qiáng)度的量度;旋度表示場中某點(diǎn)的最大環(huán)量強(qiáng)度,它是場中任一點(diǎn)處旋渦源強(qiáng)度的量度。1.5亥姆霍茲定理

③

散度由各場分量沿各自方向上的變化率來決定;而旋度由各場分量在與之正交方向上的變化率來決定。目前四十六頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)47

在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的環(huán)量源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）1.5.2亥姆霍茲定理

目前四十七頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)48例：判斷矢量場的性質(zhì)=0=0=000=0目前四十八頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)491.6常用坐標(biāo)系1.6.1直角坐標(biāo)系1.6.2圓柱坐標(biāo)系1.6.3球坐標(biāo)系目前四十九頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)50

坐標(biāo)變量微元1.6常用正交曲線坐標(biāo)系

1.6.1直角坐標(biāo)系目前五十頁\總數(shù)五十九頁\編于十點(diǎn)51柱坐標(biāo)系1.6常用正交曲