華師大版九年級(jí)下第27章圓2正多邊形和圓【市一等獎(jiǎng)】

正多邊形和圓課題正多邊形和圓授課人教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能使學(xué)生經(jīng)歷正多邊形的形成過程，了解正多邊形的有關(guān)概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；能應(yīng)用正多邊形的邊角關(guān)系進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．?dāng)?shù)學(xué)思考使學(xué)生豐富對(duì)正多邊形的認(rèn)識(shí)，通過設(shè)計(jì)圖案，發(fā)展學(xué)生的形象思維．問題解決使學(xué)生會(huì)等分圓周，利用等分圓周的方法構(gòu)造正多邊形，并會(huì)設(shè)計(jì)圖案，發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神．情感態(tài)度通過等分圓周、構(gòu)造正多邊形等實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，建立自信心.教學(xué)重點(diǎn)理解掌握正多邊形的半徑、中心角、邊心距、邊等名稱及其求法．教學(xué)難點(diǎn)探索正多邊形和圓的關(guān)系．授課類型新授課課時(shí)教具多媒體教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧(多媒體演示)問題：1．切線長定理的內(nèi)容是什么？請(qǐng)畫出一個(gè)三角形的內(nèi)切圓．2．請(qǐng)畫出垂徑定理的基本圖形，并說明其中的數(shù)量關(guān)系．3．什么是正多邊形？你對(duì)正多邊形有多少了解？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解答，并適時(shí)做出補(bǔ)充和講解．回顧以前學(xué)習(xí)過的且對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)有基礎(chǔ)作用的知識(shí)，為學(xué)習(xí)新知打下基礎(chǔ).活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課【課堂引入】(課件展示)觀看下列美麗的圖案，提出問題：圖27－4－4(1)你能從這些美麗的圖案中找出正多邊形嗎？(2)你知道正多邊形和圓有什么關(guān)系嗎？怎樣作出一個(gè)正多邊形呢？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考，學(xué)生討論、交流，發(fā)表各自見解．教師關(guān)注：①學(xué)生能否從圖案中找出正多邊形；②學(xué)生能否從圖案中發(fā)現(xiàn)正多邊形和圓的關(guān)系．創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生主動(dòng)將圓的知識(shí)與正多邊形聯(lián)系起來，激發(fā)學(xué)生探索的熱情，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知【探究新知】問題1：將一個(gè)圓分為五等份，依次連結(jié)各分點(diǎn)得到一個(gè)五邊形，這個(gè)五邊形一定是正多邊形嗎？如果是，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．師生活動(dòng)：教師演示作圖并提示學(xué)生從正多邊形的定義入手證明，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，教師指導(dǎo)學(xué)生完成證明過程．教師在學(xué)生思考、交流的基礎(chǔ)上板書證明過程：圖27－4－5如圖27－4－5，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(EA,\s\up8(︵))，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA.∵eq\o(BAD,\s\up8(︵))＝eq\o(CAE,\s\up8(︵))＝3eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴∠C＝∠D.同理可證：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∴五邊形ABCDE是正五邊形．∵A，B，C，D，E在⊙O上，∴五邊形ABCDE是圓內(nèi)接正五邊形.活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知教師小結(jié)：圓心O到各邊的距離都相等，記為r，那么以點(diǎn)O為圓心、r為半徑的圓就與正五邊形的各條邊都相切，它就是正五邊形的內(nèi)切圓．歸納：任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓．這兩個(gè)圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心．外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形每一條邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角．問題2：如果將圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)得到一個(gè)n邊形，這個(gè)n邊形一定是正n邊形．師生活動(dòng)：學(xué)生思考，然后小組內(nèi)交流、討論，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行總結(jié)．教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生能否按照證明圓內(nèi)接正五邊形的方法證明圓內(nèi)接正n邊形．問題3：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形呢？請(qǐng)說明理由．師生活動(dòng)：學(xué)生討論，思考回答，教師進(jìn)行總結(jié)講解．教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生能否利用正多邊形的定義進(jìn)行判斷；學(xué)生能否由圓內(nèi)接正多邊形的各邊相等得到弦相等及弦所對(duì)的弧相等；學(xué)生能否舉反例說明各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形．【應(yīng)用新知】活動(dòng)一：教師演示課件，根據(jù)正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．教師提出問題：(1)正多邊形的中心角怎么計(jì)算？(2)邊長a，半徑R，邊心距r有什么關(guān)系？(3)正多邊形的面積如何計(jì)算？圖27－4－6師生活動(dòng)：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，結(jié)合圖形，得到結(jié)論：正n邊形的中心角等于360°÷n，(eq\f(a,2))2＋r2＝R2.活動(dòng)二：提出問題：如何把一個(gè)圓進(jìn)行n等分呢？師生活動(dòng)：學(xué)生小組內(nèi)討論，得到：把中心角n等分，則弧被n等分，即可得到正多邊形．教師引導(dǎo)分析：①正方形的中心角為90°，說明兩條半徑互相垂直；②正六邊形的中心角為60°，說明兩條半徑和一邊構(gòu)成等邊三角形．1.將結(jié)論由特殊推廣到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并交給學(xué)生一種研究問題的方法．2．教學(xué)中，使學(xué)生明確圓內(nèi)接正多邊形必須滿足各邊相等，各角相等，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和思維批判性．3．通過學(xué)生探索、歸納，教給學(xué)生等分圓周的方法，尤其是尺規(guī)作正方形、正六邊形.活動(dòng)三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用【應(yīng)用舉例】例1如圖27－4－7，有一個(gè)亭子，它的地基是邊心距為2eq\r(3)的正六邊形，求地基的周長和面積(結(jié)果保留根號(hào))．圖27－4－7解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝eq\f(1,6)×360°＝60°，而OB＝OC，OP⊥BC，∴△OBC是等邊三角形，∠BOP＝∠COP＝30°，∴BC＝OB，cos30°＝eq\f(OP,OB)，而OP＝2eq\r(3)，∴BC＝OB＝4，∴該地基的周長＝4×6＝24，面積＝6×eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝24eq\r(3).師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，進(jìn)行分析，完成例題的解答．教師總結(jié)：正六邊形中由兩條半徑和邊組成的三角形為等邊三角形，所以半徑與邊相等，所以正六邊形的周長為半徑的6倍；正六邊形的面積分割為六個(gè)全等的等邊三角形，先求每個(gè)等邊三角形的面積再乘6即可．變式訓(xùn)練如圖27－4－8，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個(gè)扳手的開口a的值應(yīng)是(A)A．2eq\r(3)cm\r(3)cm圖27－4－8\f(2\r(3),3)cmD．1cm學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，將正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等集中在一個(gè)三角形中研究，可以利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而能夠求得正多邊形的所有量．教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.【拓展提升】例2已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形．師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立解決問題，然后小組中討論，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索實(shí)踐，然后與同桌交流，上講臺(tái)演示，教師要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的解題過程．圖27－4－9(續(xù)表)活動(dòng)三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用方法一：①用量角器畫圓心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；②連結(jié)AB，BC，CA，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．方法二：①用量角器畫圓心角∠BOC＝120°；②在⊙O上用圓規(guī)截取弧AB＝弧BC；③連結(jié)AC，BC，AB，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．方法三：①作直徑AD；②以點(diǎn)D為圓心，OD長為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)B，C；③連結(jié)AB，BC，CA，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．例3如圖27－4－10，AB，CD是⊙O中互相垂直的兩條直徑，以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧，與⊙O交于E、F兩點(diǎn)．(1)求證：AE是正六邊形的一邊；(2)請(qǐng)?jiān)趫D上繼續(xù)畫出這個(gè)正六邊形．解：(1)證明：連結(jié)OE，OF，AF，∵AE＝OA＝OE，∴△AOE是等邊三角形，故∠OAE＝60°，同理可證：△OAF是等邊三角形．∴∠OAF＝60°，∴AE＝AF，且∠EAF＝∠OAE＋∠OAF＝120°，∴AE是正六邊形的一邊．圖27－4－10(2)以B為圓心，AE長為半徑畫弧，與⊙O交于點(diǎn)G，H，然后順次將A，E，G，B，H和F連結(jié)起來就得到正六邊形.及時(shí)獲知學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況，落實(shí)本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)．分層設(shè)計(jì)可讓不同程度的同學(xué)最大限度地發(fā)揮他們的潛力，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.活動(dòng)四：課堂總結(jié)反思【達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】1．若正六邊形的邊長為6，則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為(B)A．6，3eq\r(2)B．6，3eq\r(3)C．3eq\r(3)，6D．6，32．如圖27－4－11，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(A)A．∠BAC＝30°\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))C．線段OB的長等于圓內(nèi)接正六邊形的半徑D．弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長圖27－4－11圖27－4－123.如圖27－4－12，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為6的正六邊形ABCDEF的對(duì)稱中心與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)位于第一象限的圖象上，則k的值為__9_eq\r(3)__.(續(xù)表)活動(dòng)四：課堂總結(jié)反思4.如圖27－4－13，已知正五邊形ABCDE，AF∥CD交DB的延長線于點(diǎn)F，交DE的延長線于點(diǎn)G.(1)寫出圖中所有的等腰三角形；(2)求證：∠G＝2∠F.圖27－4－13解：(1)∵五邊形ABCD是正五邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝108°，∵DC＝BC，∴△CDB是等腰三角形．∵∠C＝108°，∴∠1＝∠CBD＝36°.∵AF∥CD，∴∠F＝∠1＝36°.∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝108°－36°＝72°，∴∠F＝∠BAF＝36°，∴△BAF是等腰三角形，進(jìn)而可得∠GEA＝∠G＝∠2＝72°，∴△FDG，△AEG是等腰三角形，故等腰三角形有△BCD，△ABF，△FDG，△AEG.(2)證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠C＝∠CDE＝108°，CD＝CB，得∠1＝36°，∴∠2＝108°－36°＝72°.又∵AF∥CD，∴∠F＝∠1＝36°，故∠G＝180°－∠2－∠F＝180°－72°－36°＝72°＝2∠F.師生活動(dòng)：學(xué)生完成達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)后，教師進(jìn)行個(gè)別提問，并指導(dǎo)學(xué)生解釋做題理由和做題方法，使學(xué)生在個(gè)別思考解答的基礎(chǔ)上，共同交流、形成共識(shí)、確定答案.設(shè)置達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)的目的是使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，在問題的選擇上以基礎(chǔ)為主、疑難點(diǎn)突出，增加開放型、探究型問題，使學(xué)生思維得到拓展、能力得以提升.【課堂小結(jié)】(1)談一談你在本節(jié)課中有哪些收獲？哪些進(jìn)步？(2)學(xué)習(xí)本節(jié)課后，還存在哪些困惑？布置作業(yè)：教材P67習(xí)題第1，2，3題．鞏固、梳理所學(xué)知識(shí)．對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)、進(jìn)行思想教育.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.(續(xù)表)活動(dòng)四：課堂總結(jié)反思【教學(xué)反思】①[授課流程反思]在探究新知的過程中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是普遍聯(lián)系的，是可以相互轉(zhuǎn)化的，并培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)和解決實(shí)際問題的意識(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法．