華師大版八年級(jí)下矩形菱形與正方形1正方形“十市聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

《正方形》同步練習(xí)一、選擇題（共5小題）1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．有一個(gè)角為直角的菱形是正方形B．有一組鄰邊相等的矩形是正方形C．對(duì)角線相等的菱形是正方形D．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形2．在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點(diǎn)E、F、G、H．這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．無(wú)窮多個(gè)3．如圖，四邊形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四邊形ABCD面積為16，則DE的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C．4 D．84．△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為（）A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm5．如圖，在一個(gè)大正方形內(nèi)，放入三個(gè)面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，則大正方形的面積是（單位：平方厘米）（）A．40 B．25 C．26 D．36二、填空題（共4小題）6．現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)等于a（a＞16）的正方形紙片，從距離正方形的四個(gè)頂點(diǎn)8cm處，沿45°角畫線，將正方形紙片分成5部分，則陰影部分是_________（填寫圖形的形狀）（如圖），它的一邊長(zhǎng)是_________．7．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以AD為邊向外作Rt△ADE，∠AED=90°，連接OE，DE=6，OE=8，則另一直角邊AE的長(zhǎng)為_________．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長(zhǎng)是_________．9．四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)有下列條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，則在下列推理不成立的是_________A.①④?⑥B.①③?⑤C.①②?⑥D(zhuǎn).②③?④三、解答題（共11小題）10．如圖，已知點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分別相交于點(diǎn)A′、B′、C′、D′．求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AD的延長(zhǎng)線上，且BM=DN．點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F．試猜想線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜想．12．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6．菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，且AH=2，連接CF．（1）當(dāng)DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；（2）設(shè)DG=x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．13．如圖，正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)（其他條件都保持不變），問(wèn)四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．14．已知，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．（1）若DG=2，求證四邊形EFGH為正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面積；（3）當(dāng)DG為何值時(shí)，△FCG的面積最?。?5．如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想．16．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、ND分別交l2于Q、P．求證：四邊形PQMN是正方形．17．在正方形ABCD各邊上一次截取AE=BF=CG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．試問(wèn)四邊形EFGH是否是正方形？18．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AP于點(diǎn)E，BF⊥AP于點(diǎn)F，CH⊥DE于點(diǎn)H，BF的延長(zhǎng)線交CH于點(diǎn)G．（1）求證：AF﹣BF=EF；（2）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；（3）若AB=2，BP=1，求四邊形EFGH的面積．19．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．問(wèn)四邊形CFDE是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形DEAF是正方形．

參考答案一、選擇題（共5小題）1．答案：D解答： 解：A、有一個(gè)角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，則該菱形是正方形．故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；B、有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．則該矩形為正方形．故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；C、對(duì)角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對(duì)角線相等的平行四邊形，即該菱形為正方形．故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D、對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；故選D．考點(diǎn)： 正方形的判定．2．答案：D解答： 解：無(wú)窮多個(gè)．如圖正方形ABCD：AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，則EH=HG=GF=FE，另外很容易得四個(gè)角均為90°則四邊形EHGF為正方形．故選D．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定．3．答案：C解答： 解：過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于F，∵∠ADC=∠ABC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，∴∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四邊形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4．故選C．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．4．答案：A解答： 解：連接OA，OB，OC，則△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)∴四邊形OECD是正方形，則點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離=CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=﹣2CD+14，又根據(jù)勾股定理可得：AB=10，即﹣2CD+14=10∴CD=2，即點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為2cm．故選A考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．5．答案：B解答： 解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，大正方形的邊長(zhǎng)為b，由這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，可得ab+a（b﹣a）=24①，由未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，可得（b﹣a）2=a2﹣3，②將①②聯(lián)立解方程組可得：a=4，b=5，∴大正方形的邊長(zhǎng)為5，∴面積是25．故選B．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．二、填空題（共4小題）6．答案：正方形；cm解答： 解：如圖，作AB平行于小正方形的一邊，延長(zhǎng)小正方形的另一邊與大正方形的一邊交于B點(diǎn)，∴△ABC為直角邊長(zhǎng)為8cm的等腰直角三角形，∴AB=AC=8，∴陰影正方形的邊長(zhǎng)=AB=8cm．故答案為：正方形，cm．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．7．答案：10解答： 解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠AED=90°，∴四邊形EMON是矩形，∵正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD+∠AED=180°，∴點(diǎn)A，O，D，E共圓，∴=，∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°，∴OM=ON，∴四邊形EMON是正方形，∴EM=EN=ON，∴△OEN是等腰直角三角形，∵OE=8，∴EN=8，∴EM=EN=8，在Rt△AOM和Rt△DON中，，∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，∴AE=AM+EM=2+8=10．故答案為：10．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．8．答案：3解答： 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長(zhǎng)線于E，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴四邊形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，∴∠ADP=∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE=DP，四邊形ABCD的面積=四邊形DPBE的面積=18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP==3．故答案為：3．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．9．答案：C質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．解答： 解：A、由①④得，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故正確；B、由③得，四邊形是平行四邊形，再由①，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故正確；C、由①②不能判斷四邊形是正方形；D、由③得，四邊形是平行四邊形，再由②，一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故正確．故選C．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性三、解答題（共11小題）10．答案：矩形A′B′C′D′是正方形解答： 證明：在正方形ABCD中，∵在△ABF和△BCG中，∴△ABF≌△BCG（SAS）∴∠BAF=∠GBC，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠GBC+∠AFB=90°，∴∠BB′F=90°，∴∠A′B′C′=90°．∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°，∴四邊形A′B′C′D′是矩形．∵在△AB′B和△BC′C中，∴△AB′B≌△BC′C（AAS），∴AB′=BC′∵在△AA′E和△BB′F中，∴△AA′E≌△BB′F（AAS），∴AA′=BB′∴A′B′=B′C′∴矩形A′B′C′D′是正方形．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．11．答案：DF=AC解答： 猜想：線段DF垂直平分線段AC，且DF=AC，證明：過(guò)點(diǎn)M作MG∥AD，與DF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．則∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，∵∠MEG=∠NED，ME=NE，∴△MEG≌△NED，∴MG=DN．∵BM=DN，∴MG=BM．作GH⊥BC，垂足為H，連接AG、CG．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，∴四邊形MBHG是矩形．∵M(jìn)G=MB，∴四邊形MBHG是正方形，∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90°，∴AM=CH，∴△AMG≌△CHG．∴GA=GC．又∵DA=DC，∴DG是線段AC的垂直平分線．∵∠ADC=90°，DA=DC，∴DF=AC即線段DF垂直平分線段AC，且DF=AC．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．12．答案：（1）正方形；（2）S△FCG=CG?FM=6﹣x解答： （1）證明：在△HDG和△AEH中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=HE，∵DG=AH=2，∴Rt△HDG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH為正方形；（2）解：過(guò)F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM，在Rt△AHE和Rt△GFM中，∵，∴Rt△AHE≌Rt△GFM，∴MF=2，∵DG=x，∴CG=6﹣x．∴S△FCG=CG?FM=6﹣x．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．13．答案：（1）BF=DE；（2）正方形解答： （1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；（2）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)四邊形AFBE是正方形，理由：∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE，又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四邊形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．14．答案：（1）正方形；（2）；（3）（）解答： 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG=∠HEA，∵∠AHE+∠HEA=90°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=90°，∴四邊形HEFG為正方形；（2）過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM=HA=2，即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2，因此；（3）設(shè)DG=x，則由第（2）小題得，S△FCG=7﹣x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值為，此時(shí)DG=，∴當(dāng)DG=時(shí)，△FCG的面積最小為（）．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．15．答案：（1）PB=PQ；（2）PB=PQ解答： （1）PB=PQ，證明：過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；（2）PB=PQ，證明：過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．16．答案：正方形解答： 證明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，∴∠QMN=∠P=∠N=90°，∴四邊形PQMN為矩形，∵AB=AD，∠M=∠N=90°∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°，∴∠ADN=∠BAM，又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（AAS），∴AM=DN同理AN=DP，∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．∴四邊形PQMN是正方形．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．17．答案：正方形解答： 解：四邊形EFGH是正方形．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，∵AE=BF=CG=DH，∴AB﹣AE=BC﹣BF=CD﹣CG=AD﹣DH，即BE=CF=DG=AH，∴△AHE≌△B