華師大版九年級(jí)上第21章二次根式2二次根式（區(qū)一等獎(jiǎng)）

《二次根式》教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)二次根式的概念及化簡(jiǎn)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．了解二次根式的定義．2．會(huì)求二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍．3．會(huì)利用二次根式的非負(fù)性解題．【過程與方法】經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)二次根式的定義，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力．【情感態(tài)度】經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，并提高應(yīng)用意識(shí)．重點(diǎn)難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的概念．【教學(xué)難點(diǎn)】利用二次根式的非負(fù)性解決具體問題．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知1．什么是平方根、算術(shù)平方根？2．試一試，說出下列代數(shù)式的意義．eq\r(16)，eq\r(81)，eq\r(0)，eq\r(\f(1,5))，eq\r.3．根據(jù)下圖所示的直角三角形、正方形和等邊三角形的條件，完成以下填空：(1)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是________；(2)正方形的邊長(zhǎng)是________；(3)等邊三角形的邊長(zhǎng)是________．(讓學(xué)生在實(shí)際情境中寫出表示算術(shù)平方根的式子)4．第2題及第3題中所得的各代數(shù)式的共同特點(diǎn)是什么？(學(xué)生通過觀察，從中感知二次根式的特征．鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言總結(jié)出共同特征，從而引出課題．教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽表述意見，然后作適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，板書本課課題)二、合作探究，理解新知1．二次根式的概念(1)引導(dǎo)學(xué)生概括二次根式的定義：像eq\r(a2＋4)，eq\r(b－3)，eq\r(2s)這樣表示的算術(shù)平方根，且根號(hào)內(nèi)含字母的代數(shù)式大于或等于0，這樣的式子叫做二次根式．為了方便，我們把一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根也叫做二次根式．因此我們把形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)概念深化：提問：eq\r(a)＋1是不是二次根式？eq\r(a＋1)呢？議一議：二次根式eq\r(a＋1)表示什么意義？此算術(shù)平方根的被開方數(shù)是什么？被開方數(shù)必須滿足什么條件的二次根式才有意義？其中字母a需滿足什么條件？為什么？經(jīng)學(xué)生討論后，讓學(xué)生回答，并讓其他學(xué)生點(diǎn)評(píng)．教師總結(jié)：強(qiáng)調(diào)二次根式根號(hào)內(nèi)字母的取值范圍必須滿足被開方數(shù)大于或等于零．(3)思考：根據(jù)你已有知識(shí)，說說你對(duì)二次根式eq\r(a)的認(rèn)識(shí)．學(xué)生分組討論，回答，最后教師總結(jié)：①表示a的算術(shù)平方根；②a可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式；③從形式上含有二次根號(hào)“eq\r()”；④a≥0，eq\r(a)≥0；⑤表示開平方運(yùn)算，也可表示運(yùn)算結(jié)果．2．例題講解例1：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？eq\r(2)，eq\r(3,3)，eq\f(1,x)，eq\r(x)(x>0)，eq\r(0)，eq\r(4,2)，－eq\r(2)，eq\f(1,x＋y)，eq\r(x＋y)(x≥0，y≥0)．分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“eq\r()”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.解：二次根式有：eq\r(2)，eq\r(x)(x>0)，eq\r(0)，－eq\r(2)，eq\r(x＋y)(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：eq\r(3,3)，eq\f(1,x)，eq\r(4,2)，eq\f(1,x＋y).交流歸納：從形式上看，一個(gè)代數(shù)式是二次根式必須具備以下兩個(gè)條件：(1)必須有二次根號(hào)；(2)被開方數(shù)不能小于0.例2：x取何值時(shí)，下列二次根式有意義？(1)eq\r(x－1)；(2)eq\r(\f(1,1－2x))；(3)eq\r(（1－x）2).教師提問，學(xué)生回答，教師板書解題過程．問題是：①被開方數(shù)需滿足什么？②由此可得怎樣的不等式？③第(1)、(2)題可以轉(zhuǎn)化為解怎樣的不等式？第(3)題不解不等式就能確定x的取值范圍嗎？解：(1)由x－1≥0，得x≥1.所以當(dāng)x≥1時(shí)二次根式eq\r(x－1)有意義．(2)由eq\f(1,1－2x)>0，得1－2x>0，x<eq\f(1,2).所以當(dāng)x<eq\f(1,2)時(shí)，二次根式eq\r(\f(1,1－2x))有意義．(3)因?yàn)闊o論x取何值，都有(1－x)2≥0，所以當(dāng)x取全體實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式eq\r(（1－x）2)都有意義．交流歸納：由于二次根式的被開方數(shù)只能取非負(fù)值，因此二次根式要有意義就必須滿足被開方數(shù)大于或等于0，而求二次根式被開方數(shù)中字母取值范圍可列不等式求解．三、嘗試練習(xí)，掌握新知1．下列式子哪些是二次根式？eq\r(32)，4，eq\r(－12)，eq\r(－x)，eq\r(x2＋1)，eq\r(3,5)，eq\r(xy)(x，y異號(hào))，eq\r(2－x)(x<2)．2．教材練習(xí)第2題．3．請(qǐng)同學(xué)們完成《探究在線·高效課堂》“隨堂練習(xí)”部分．四、課堂小結(jié)，梳理新知本節(jié)課你有什么收獲或困惑？(學(xué)生自己完成，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié))(1)式子eq\r(a)(a≥0)叫做二次根式，實(shí)質(zhì)是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根的表達(dá)式；(2)式子eq\r(a)中，被開方數(shù)(式)必須大于或等于零；(3)求二次根式中字母取值范圍的方法：①觀察配方法，如例2中的(3)題；②列不等式或不等式組求解．五、深入練習(xí)，鞏固新知請(qǐng)同學(xué)們完成《探究在線·高效課堂》“課時(shí)作業(yè)”部分．課后作業(yè)1．教材習(xí)題第1題．2．當(dāng)x是多少時(shí)，eq\r(2x＋3)＋eq\f(1,x＋1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(答案：x≥－eq\f(3,2)且x≠－1)3．已知y＝eq\r(2－x)＋eq\r(x－2)＋5，求eq\f(x,y)的值．(答案：eq\f(2,5))3．若eq\r(a＋1)＋eq\r(b－1)＝0，求a2022＋b2022的值．(答案：0)第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】理解二次根式的基本性質(zhì)：(eq\r(a))2＝a(a≥0)及eq\r(a2)＝|a|，并能利用它們進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算．【過程與方法】通過對(duì)二次根式性質(zhì)的探究，提高數(shù)學(xué)探究能力和歸納能力．【情感態(tài)度】經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，并提高應(yīng)用的意識(shí)．重點(diǎn)難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式性質(zhì)的應(yīng)用．【教學(xué)難點(diǎn)】二次根式性質(zhì)eq\r(a2)＝|a|的應(yīng)用．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知1．什么叫二次根式？2．當(dāng)a≥0時(shí)，eq\r(a)叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，eq\r(a)有意義嗎？3．(eq\r(2))2，eq\r(22)表示的意義分別是什么？分別等于多少？教師點(diǎn)評(píng)，由3引出新課．二、合作探究，理解新知(一)(eq\r(a))2＝a(a≥0)的探究1．做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：(eq\r(4))2＝______；(eq\r(2))2＝______；(eq\r(9))2＝______；(eq\r(3))2＝______；(eq\r(\f(1,3)))2＝______；(eq\r(\f(7,2)))2＝______；(eq\r(0))2＝______．教師點(diǎn)評(píng)：eq\r(4)是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，eq\r(4)是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有(eq\r(4))2＝4.同理可得：(eq\r(2))2＝2，(eq\r(9))2＝9，(eq\r(3))2＝3，(eq\r(\f(1,3)))2＝eq\f(1,3)，(eq\r(\f(7,2)))2＝eq\f(7,2)，(eq\r(0))2＝0.2．思考：根據(jù)上面的計(jì)算，你得出了什么結(jié)論？學(xué)生討論，得出結(jié)論：(eq\r(a))2＝a(a≥0)．3．例題講解例1：計(jì)算：(1)(eq\r(\f(3,2)))2；(2)(eq\r(\f(5,6)))2；(3)(3eq\r(5))2；(4)(eq\f(\r(7),2))2.分析：我們可以直接利用(eq\r(a))2＝a(a≥0)的結(jié)論解題．解：(1)(eq\r(\f(3,2)))2＝eq\f(3,2)；(2)(eq\r(\f(5,6)))2＝eq\f(5,6)；(3)(3eq\r(5))2＝32×(eq\r(5))2＝9×5＝45；(4)(eq\f(\r(7),2))2＝eq\f(（\r(7)）2,22)＝eq\f(7,4).4．練習(xí)：計(jì)算：(1)(eq\r(18))2；(2)(eq\r(0))2；(3)(eq\f(\r(9),4))2；(4)(4eq\r(\f(7,8)))2；(5)(3eq\r(5))2－(5eq\r(3))2.(二)二次根式性質(zhì)eq\r(a2)＝|a|的探究1．做一做：(學(xué)生活動(dòng))填空：eq\r(22)＝________；eq\r＝________；eq\r(（\f(1,10)）2)＝________；eq\r(（\f(2,3)）2)＝________；eq\r(02)＝________；eq\r(（\f(3,7)）2)＝________．教師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：eq\r(22)＝2；eq\r＝；eq\r(（\f(1,10)）2)＝eq\f(1,10)；eq\r(（\f(2,3)）2)＝eq\f(2,3)；eq\r(02)＝0；eq\r(（\f(3,7)）2)＝eq\f(3,7).2．根據(jù)上面的計(jì)算你得出了什么結(jié)論？學(xué)生討論得出，一般地：eq\r(a2)＝a(a≥0)．3．思考：當(dāng)a<0時(shí)，eq\r(a2)＝a還成立嗎？學(xué)生小組討論，教師舉反例說明結(jié)論不成立，最后得出結(jié)論：當(dāng)a<0時(shí)，eq\r(a2)＝－a.4．通過上面的學(xué)習(xí)你認(rèn)為eq\r(a2)等于多少？eq\r(a2)＝|a|.5．例題講解例2：化簡(jiǎn)：(1)eq\r(9)；(2)eq\r(（－4）2)；(3)eq\r(25)；(4)eq\r(（－3）2).分析：因?yàn)椋?1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，所以都可運(yùn)用eq\r(a2)＝a(a≥0)去化簡(jiǎn)．解：(1)eq\r(9)＝eq\r(32)＝3；(2)eq\r(（－4）2)＝eq\r(42)＝4；(3)eq\r(25)＝eq\r(52)＝5；(4)eq\r(（－3）2)＝eq\r(32)＝3.(三)應(yīng)用拓展1．計(jì)算：(1)(eq\r(x＋1))2(x≥0)；(2)(eq\r(a2＋2a＋1))2；(3)(eq\r(4x2－12x＋9))2.提示：(1)因?yàn)閤≥0，所以x＋1>0；(2)a2＋2a＋1＝(a＋1)2≥0(3)4x2－12x＋9＝(2x)2－2·2x·3＋32＝(2x－3)2≥0.2．當(dāng)x>2時(shí)，化簡(jiǎn)eq\r(（x－2）2)－eq\r(（1－2x）2).(四)鞏固練習(xí)1．(－eq\r(3))2＝________；eq\r(（－）2)＝________．\r(a2)＝a成立的條件是________．\r(（2\f(1,3)）2)＋eq\r(（－2\f(1,3)）2)的值是()A．0\f(2,3)C．4eq\f(2,3)D．以上都不對(duì)4．教材練習(xí)第1、3題．三、嘗試練習(xí)，掌握新知請(qǐng)同學(xué)們完成《探究在線·高效課堂》“隨堂練習(xí)”部分．四、課堂小結(jié)，梳理新知通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲或困惑？五、深入練習(xí)，鞏固新知請(qǐng)同學(xué)們完成《探究在線·高效課堂》“課時(shí)作業(yè)”部分．課后作業(yè)1．教材習(xí)