2021年北京高考數(shù)學(xué)模擬仿真試卷(一)含答案

金博教育高中數(shù)學(xué)測試題

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.已知集合4={%|1082%>1},B={x|xNl},則AU8=

A.(1,2]B.(1,+w)C.(1,2)D.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(l+i)對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2」

3.已知\c=log31,則

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

4.為了解某年級400名女生五十米短跑情況，從該年級中隨機抽取8名女生進行五十跑測試，她們的測

試成績（單位：秒）的莖葉圖（以整數(shù)部分為莖，小數(shù)部分為葉）如圖所示.由此可估計該年級女生五十米

跑成績及格（及格成績?yōu)?.4秒）的人數(shù)為

78

8618

91578

A.150B.250C.200D.50

1、10

5.------X的展開式中/的系數(shù)是

X7

A.-210B.-120C.120D.210

6.已知平面/3,直線加，〃滿足mua,〃u￡,則“加〃〃”是“。//月”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知向量2=（//），石=。,2）.若￡_1加，則實數(shù)f的值為

1￡

A.-2B.2C.——D.

2~2

8.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是

A.4B.8C.276D.4>/6

9.直線/與圓O:V+y2=i交于A，B兩點，若AB=6,則點。到直線/的距離為

萬1

A.J2B.1C.—D.—

22

10.已知函數(shù)=2%+。（01+"川）（其中。＞o）的最小值為1,則。二

1一11

A.1B.-C.—D.---

322

第二部分（非選擇題共110分

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.6個學(xué)生站成一排，學(xué)生甲與學(xué)生乙相鄰，學(xué)生甲與學(xué)生丙不相鄰，則不同的排法有.

12.在銳角三角形ABC中，A=23，則的取值范圍是.

13.已知直線/過拋物線V=8x的焦點尸，與拋物線交于A,B兩點,與其準(zhǔn)線交于點C.若點尸是AC的

中點，則線段8c的長為.

14.設(shè)函數(shù)/（x）的定義域為R,滿足/（x+1）=2于（x）,且當(dāng)xd（0,1］時，/（x）=*-2乂若對任意

Q

xe（-oo,m］,都有則根的取值范圍是.

15.已知他“｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，0=1,“3=100,則僅“｝的通項公式小=;設(shè)數(shù)列｛/g%｝的

前n項和為T,?則7；=.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

/（-芻=門0）

16.(本小題13分)已知函數(shù)/(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x滿足3,

（1）求函數(shù)Ax）的最小正周期；（2）求函數(shù)八幻在］，工上的最大值和最小值.

17.（本小題13分）某工廠從一批產(chǎn)品中隨機抽取20件進行檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單

位：克）數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是［140,200J,樣本數(shù)據(jù)分組為［140,150）,［150,

160),[160,170),[170,180),[180,190),[190,200].

（1）求圖中a的值；

（2）若頻率視為概率，從這批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件，求至少有2件產(chǎn)品的凈重在［160,180）中

的概率；

（3）若產(chǎn)品凈重在［150,190）為合格產(chǎn)品，其余為不合格產(chǎn)品，從這20件抽樣產(chǎn)品中任取2件，記X

表示選到不合格產(chǎn)品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.（本小題14分）如圖①，四邊形A3CD中，AD//BC,CD1BC,BC=CD=LAL>=2，E為

AD的中點.將AABE沿BE折起到AABE的位置，如圖②.

（I）求證：平面平面4EO；

（II）若NAEO=90°,求4。與平面ABO所成角的正弦值.

V1

19.（本小題15分）已知函數(shù)=

（I）求函數(shù)/（x）的極值；

（H）求證：當(dāng)XG（0,"KO）時，/（x）>—+1；

（III）當(dāng)x>0時，若曲線y=/（x）在曲線丁=辦2+1的上方，求實數(shù)〃的取值范圍.

fv2

20.體小題15分）已知橢圓C：J+二=l（a〉。>0）的焦距和長半軸長都為2.過橢圓C的右焦點F作斜

cT

率為％(%NO)的直線/與橢圓c相交于p,。兩點.

(1)求橢圓c的方程；

(2)設(shè)點A是橢圓。的左頂點，直線AP，A。分別與直線x=4相交于點M,N.求證：以MN為直

徑的圓恒過點尸.

21.(本小題15分)已知集合P的元素個數(shù)為3〃(〃eN*)且元素均為正整數(shù)，若能夠?qū)⒓螾分成元素個

數(shù)相同且兩兩沒有公共元素的三個集合A，B,C,即夕=4口53。，403=0,AcC=0,

3rle=0,其中A={q,4Z2,,B=曲也，…也},C={c,,c2,■■■,€?},且滿足

c,<c2<---<c?,ak+bk=ck,k=l,2,…,n,則稱集合P為“完美集合”.

(I)若集合尸={1,2,3},。={1,2,3,4,5,6},判斷集合尸和集合。是否為“完美集合”？并說明理由；

(II)己知集合D=”,乂3,4,5,6}為“完美集合”，求正整數(shù)x的值；

(III)設(shè)集合P={x|lWxW3〃,〃eN*},證明：集合P為“完美集合”的一個必要條件是〃=4左或

〃=4Z+1(“GN").

參考答案

1.D2.B3.D4.B5.B6.D7.A8.C9.C10.A

11.192

12.(1,2)

13.2

3

4

14.(-oo,—]；

15.10〃?------L

2

16.(D)，(2)最大值為2,最小值為公

【解析】

TT

(1)因為/(—§)=/(0)，

所以cos(一可)[asin(一1)-cos(—y)]+sin(-])=—1,解得〃=2>/3，

所以/(x)=cosx(2百sinx-cosx)+sin2x

=2V3sinxcosx-cos2x+sin2x

=6sin2x-cos2x

71

-2sin(2x--),

27r

所以fM的最小正周期為——=*

2

(2)由x￡—,,得一<2x<---，所以一<2x——<—，

1424」212364

所以立<sin(2x--)<1.所以&42sin(2x-^)<2,

266

jr1\TT

所以/(X)在上的最大值為2,最小值為J5

17.(1)a=0.010(2)0.648(3)見解析

【解析】

(1)由頻率分布直方圖知：

(<7+0.005+0.020+0.040+0.020+0.005)x10=1,解得?=0.010；

(2)凈重在［160,180)內(nèi)的頻率為(0.020+0.040)x10=0.6,

將頻率視為概率，從這批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件，

至少有2件產(chǎn)品的凈重在［160,180)中的概率為

P=C；0.62-0.4+Cf-O.63=0.648；

(3)這20件產(chǎn)品中，不合格產(chǎn)品有20x(0.05+0.05)=2件，合格產(chǎn)品有18件;

???X的可能取值為0,1,2；

_153_36_181

計算P(X=0):P(X=l)=P(X=2)：

4一190'-190-一95'-190

，隨機變量X的分布列為

X012

153181

P

19095190

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x—+lx—+2x—=1.

1901901905

18.(I)證明見解析；(II)

3

【解析】

(I)因為四邊形ABCO中，AD//BC，CD±BC,BC=1,AZ)=2，E為的中點，

:.BCHDE且BC=DE,則四邊形8COE為矩形，所以即B￡_LDE，BE±AE.

在圖②中，BE工DE，BELAE,

又因為AECZ)E=E,所以班，平面

又因為5Eu平面AEB,所以平面平面4。后.

(II)由NAEO=90得

又BE±DE,以點E為坐標(biāo)原點，EB、ED、￡&所在直線分別為x、y、z軸建立空間

直角坐標(biāo)系七一町z,

由AE=CO=OE=I,得4(0,0,1)、o,o),c(i,i,o),r>(o,i,o),

48=(1,o,-i),40=(0,

設(shè)平面ABO的法向量為n=（x,y,z）,

九?=ox-z=0一,、

則《即《y-z=0'令z=l'得x=)'=l，可得〃HU，])，

萬?4。=o

又后=（1』,—1）,設(shè)直線4。與平面ABQ所成角為兄

I——?I|,ac1

所以sin°=gs<〃，AC〉卜布二及而]_

3

因此，直線AC與平面A3。所成角的正弦值為g.

19.（1）極大值1,無極小值；（JI）見解析；（III）I-oo,-1

【解析】

V*|1V-,

(I)因為〃x)='，定義域R,所以f(x)=-=.令/(x)=0,解得x=o.

CC

隨X的變化，/（X）和/（X）的情況如下:

X（F,0）0（。,+8）

r（x）+0—

/(x)增極大值減

由表可知函數(shù)/(X)在x=0時取得極大值/⑼=1,無極小值；

(H)證明：令g(x)=-1=+-1(尤>0),

g(x)=T+A?l-￡P(guān)(g/

由x>0得e*-1>0，于是g'(x)>0,故函數(shù)g(x)是[0,+oo)上的增函數(shù).

所以當(dāng)xw(0,+oo)時，g(x)>g(0)=(),BP/(x)>—^x2+l；

(III)當(dāng)g時，由(H)知/(力〉一；爐+12ax2+i,滿足題意.

令//(1)=/(力_*2_]=￡^1_加_],"(X)=^-2ax--x\-^-+2a

當(dāng)一g<a<0時，若xe(0,ln-y-jj,〃'(x)<0,則〃(x)在(1

0,ln上是減函數(shù).

I2。力

所以時，〃(x)〈力(0)=0,不合題意.

當(dāng)a20時，/i(x)<0,則〃(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，所以〃(x)</?(0)=0,不合題意.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍(f,-g

20.(1)—+^-=1；(2)證明見解析

43

【解析】

(1)由題意，橢圓中c=l,a=2,所以>2=—/=4—1=3,

22

所以橢圓C的方程為土+二=1.

43

(2)由(1)知，/(1,0),設(shè)直線PQ的方程為工=加y+1,

’22

土+匕=1

聯(lián)立<43，可得(3加？+4);/+6沖一9=0,

x=my+1

顯然△=(6m)2+4x9(3m2+4)>0恒成立，

設(shè)P(&y),。(私幻，貝5+

易知直線4尸的斜率存在‘勤二段,則直線AP的方程為，=會("+2),

(6丫、（6、,同理可得（6

所以M4,一工,即M4,—^―N4,%

、玉+

2叼+i3JImy2+3J

則兩=3,

FM-FN^9+-------3”|%--------=9+---------36-V|^2-------------

（加）1+3）（團%+3）府%%+3〃?（>i+必）+9

-9

3"+4_______

=9+=9-9=0,

-9?-6m八

—：-----1-3m?—：-------F9

3m~+43w+4

所以月0_L/W,即以MN為直徑的圓恒過點尸