2023年廣東省華附南海實驗高中數學高二下期末考試模擬試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設雙曲線C：的一個頂點坐標為（2，0），則雙曲線C的方程是（）A． B． C． D．2．在中，，則角為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．設i為虛數單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為()A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix45．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．6．已知隨機變量X服從正態(tài)分布Na,4，且PX>1=0.5A．1B．3C．2D．47．甲、乙等人在南沙聚會后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）．A．種 B．種 C．種 D．種8．袋中有6個不同紅球、4個不同白球，從袋中任取3個球，則至少有兩個白球的概率是（）．A． B． C． D．9．等差數列的前9項的和等于前4項的和，若，則k=（）A．10 B．7 C．4 D．310．下列關于正態(tài)分布的命題：①正態(tài)曲線關于軸對稱；②當一定時，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；③設隨機變量，則的值等于2；④當一定時，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①④11．某校從6名學生干部（其中女生4人，男生2人）中選3人參加學校的匯演活動，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．12．某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進價為3元，銷售價為8元，每天售出的第20個及之后的半價出售.該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設x(個)為每天商品的銷量，y(元)為該商場每天銷售這種商品的利潤.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率是()A．110 B．19 C．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．14．若二項式展開式的常數項為，則實數的值為__________．15．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于（）．16．設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式的解集是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數的定義域為.（1）若，解不等式；（2）若，求證：.18．（12分）已知函數，.（1）求的極值點；（2）求方程的根的個數.19．（12分）已知函數.（1）若函數是偶函數，求的值；（2）若函數在上，恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知函數．（1）若，求函數的最大值；（2）令，討論函數的單調區(qū)間；（3）若，正實數滿足，證明.21．（12分）在四棱錐中，，是的中點，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）已知橢圓滿足：過橢圓C的右焦點且經過短軸端點的直線的傾斜角為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設為坐標原點，若點在直線上，點在橢圓C上，且，求線段長度的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用雙曲線的一個頂點坐標為，求得的值，即可求得雙曲線的方程，得到答案.【詳解】由題意，因為雙曲線的一個頂點坐標為，所以，所以雙曲線的標準方程為，故選D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.2、D【解析】

利用余弦定理解出即可．【詳解】【點睛】本題考查余弦定理的基本應用，屬于基礎題．3、C【解析】

利用指數函數、對數函數的單調性，將a，b，c分別與1和0比較，得到結論.【詳解】因為所以故選：C【點睛】本題主要考查指數函數、對數函數的單調性的應用，還考查了轉化化歸的思想和理解辨析的能力，屬于基礎題.4、A【解析】試題分析：二項式(x+i)6的展開式的通項為Tr+1=C6rx6-ri【考點】二項展開式，復數的運算【名師點睛】本題考查二項式定理及復數的運算，復數的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考的內容，屬于容易題.一般來說，掌握復數的基本概念及四則運算即可．二項式(x+i)6可以寫為(i+x)6，則其通項為C6ri5、A【解析】

由正視圖和側視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，再利用棱錐的體積公式求解即可.【詳解】由三棱錐的正視圖和側視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，所以該三棱錐的體積.故選：A【點睛】本題主要考查三視圖和棱錐的體積公式，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題.6、A【解析】試題分析：正態(tài)分布曲線關于均值對稱，故均值a=1,選A.考點：正態(tài)分布與正態(tài)曲線.7、B【解析】由題意利用捆綁法求解，甲、乙兩人必須相鄰的方法數為種．選．8、D【解析】

事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，然后利用古典概型的概率的計算公式可求出所求事件的概率．【詳解】事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個白球一個紅球”的概率為，事件“三個都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個球是白球”的概率為，故選D．【點睛】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時要弄清楚事件所包含的基本情況，結合概率的加法公式進行計算，考查分類討論數學思想，屬于中等題．9、A【解析】

由等差數列的性質可得，然后再次利用等差數列的性質確定k的值即可.【詳解】由等差數列的性質可知：,故，則，結合題意可知：.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查等差數列的性質及其應用，屬于中等題.10、C【解析】分析：根據正態(tài)分布的定義，及正態(tài)分布與各參數的關系結合正態(tài)曲線的對稱性，逐一分析四個命題的真假，可得答案．詳解：①正態(tài)曲線關于軸對稱，故①不正確，②當一定時，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；正確；③設隨機變量，則的值等于1；故③不正確；④當一定時，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.正確.故選C.點睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了正態(tài)分布及正態(tài)曲線，熟練掌握正態(tài)分布的相關概念是解答的關鍵．11、B【解析】

先求出女生甲被選中的情況下的基本事件總數，再求出在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數為，結合條件概率的計算方法，可得.【詳解】女生甲被選中的情況下，基本事件總數，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數為，則在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為.故選B.【點睛】本題考查了條件概率的求法，考查了學生的計算求解能力，屬于基礎題.12、A【解析】

分別計算每個銷量對應的利潤，選出日利潤不少于96元的天數，再利用排列組合公式求解.【詳解】當x=18時：y=18×5=90當x=19時：y=19×5=95當x=20時：y=19×5+1=96當x=21時：y=19×5+2=97日利潤不少于96元共有5天，2天日利潤是97元故P=C故答案選A【點睛】本題考查了頻率直方圖，概率的計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．【點睛】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解析】

先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數等于0，求出的值，即可求得展開式中的常數項，結合常數項為列方程求解即可.【詳解】二項式展開式的通項為，，令，得，常數項為，，得，故答案為.【點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.15、【解析】試題分析：根據題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯；有相互獨立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案為0.128.法二：根據題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯，由此分兩類，第一個答錯與第一個答對；有相互獨立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128考點：相互獨立事件的概率乘法公式16、【解析】

根據題意,構造函數,,利用導數判斷的單調性,再把不等式化為,利用單調性求出不等式的解集.【詳解】解:根據題意,令,其導函數為時,,,在上單調遞增;又不等式可化為,即,;解得,該不等式的解集是為.故答案為:.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性問題,也考查了利用函數的單調性求不等式的解集的問題,是綜合性題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】分析：（1）由可得，然后將不等式中的絕對值去掉后解不等式可得所求．（2）結合題意運用絕對值的三角不等式證明即可．詳解：（1），即，則，∴，∴不等式化為．①當時，不等式化為，解得；②當時，不等式化為，解得.綜上可得．∴原不等式的解集為.（2）證明：∵，∴.又，∴.點睛：含絕對值不等式的常用解法（1）基本性質法：當a>0時，|x|＜a?－a＜x＜a，|x|＞a?x＜－a或x＞a．（2）零點分區(qū)間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法去掉絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解．（3）幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數軸，將絕對值轉化為數軸上兩點的距離求解．（4）數形結合法：在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數的圖象，利用函數圖象求解．18、（1）時，僅有一個極小值；（2）當時，原方程有2個根；當時，原方程有3個根；當時，原方程有4個根【解析】

（1）求導得到，計算函數的單調區(qū)間得到極值.（2）令，求導得到在，上時，單調遞減，為偶函數，根據零點存在定理得到答案.【詳解】（1）的定義域為，由，得，在內為減函數，在內為增函數，故僅有一個極小值.（2）令，.當時，，當時，.因此在，上時，單調遞減，在，上時，單調遞增.又為偶函數，當時，的極小值為.當時，，當時，，當時，，當時，.由根的存在性定理知，方程在和一定有根，故的根的情況為：當時，即時，原方程有2個根；當時，即時，原方程有3個根.當時，即時，原方程有4個根.【點睛】本題考查了函數的極值問題，零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.19、(1);（2）【解析】

(1)利用偶函數的定義判斷得解；（2）對x分三種情況討論，分離參數求最值即得實數k的取值范圍.【詳解】（1）由題得，由于函數g(x)是偶函數，所以，所以k=2.（2）由題得在上恒成立，當x=0時，不等式顯然成立.當，所以在上恒成立，因為函數在上是減函數，所以.當時，所以在上恒成立，因為函數在上是減函數，在上是增函數，所以.綜合得實數k的取值范圍為.【點睛】本題主要考查函數的奇偶性的判斷，考查函數的單調性的判斷和應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）f（x）的最大值為f（1）=1．（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）代入求出值，利用導數求出函數的極值，進而判斷最值；（Ⅱ）求出，求出導函數，分別對參數分類討論，確定導函數的正負，得出函數的單調性；（Ⅲ）整理方程，觀察題的特點，變形得，故只需求解右式的范圍即可，利用構造函數，求導的方法求出右式的最小值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以a=-2，此時f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，故當x=1時函數有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，當a=1時，g'（x）＞1，g（x）單調遞增；當a＞1時，x∈（1，）時，g'（x）＞1，g（x）單調遞增；x∈（，+∞）時，g'（x）＜1，g（x）單調遞減；當a＜1時，g'（x）＞1，g（x）單調遞增；（Ⅲ）當a=2時，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．從而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，則由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在區(qū)間（1，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正實數x1，x2，∴．21、（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥