1．相似三角形的判定“衡水杯”一等獎(jiǎng)

淺談探索題的特征及解法探索型題目在近幾年的中考試卷中頻頻出現(xiàn)．這類問題由于其條件或結(jié)論不確定，解題方法靈活，故能考察學(xué)生的觀察、分析、比較、歸納、綜合能力．下面介紹幾種常見的探索性題型．一、探索條件這類問題是指結(jié)論已知，而條件未知(或僅知部分條件)，要求補(bǔ)充和完善結(jié)論成立的條件．解決這類問題需執(zhí)果索因，充分利用結(jié)論和有限的已知條件，通過計(jì)算或推理，找出使得結(jié)論成立的其它有關(guān)條件．例1如圖1，已知ΔABC，P是AB上一點(diǎn)，連CP，問：滿足什么條件時(shí)，ΔACP∽ΔABC．圖1，分析由結(jié)論ΔACP∽ΔABC出發(fā)，探索此時(shí)問題應(yīng)具備的條件．根據(jù)兩個(gè)三角形相似的定義和判定定理，從不同角度進(jìn)行分類討論．解∵∠A=∠A，∴當(dāng)∠1=∠ABC時(shí)，ΔACP∽ΔABC；當(dāng)∠2=∠ACB時(shí)，ΔACP∽ΔABC；二、探索結(jié)論這類問題的特點(diǎn)是：給出命題成立的條件，結(jié)論有待探索．解決這類問題，應(yīng)充分利用已知條件，運(yùn)用類比、歸納、聯(lián)想等方法，合理猜想，嚴(yán)格推理，探求符合條件的結(jié)論．=β，問α、β能否相等？并說明理由．圖2分析如圖2，方程x2-(k-3)x+k+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2就是拋物線y=x2-(k-3)x+k+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．α、β都是銳角，則表明A、B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，則x1、x2異號(hào)．若α=β，則OA＝OB，x1=-x2，即x1+x2=0．解已知α、β都是銳角，則A、B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，故x1、x2必異號(hào)，∴x1·x2＜0，即k+4＜0，∴k＜-4．假設(shè)α＝β，則OA=OB，即x1=-x2，這時(shí)x1＋x2＝0，即k-3=0，∴k=3．這與k＜-4矛盾．∴α≠β．三、探索存在性存在型問題的特點(diǎn)是：給出命題的一定條件，求滿足某種條件的數(shù)(點(diǎn)、圖形)是否存在．它的解題方法是：先假設(shè)結(jié)論存在，然后從題設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理或求解，若能求出正確結(jié)果，說明存在；若得出矛盾，說明不存在．這是一類層次較高的題型，它要求我們依據(jù)題目條件，準(zhǔn)確把握住題目的特征，從而對(duì)是否存在的問題作出正確的推斷．例3如圖3，已知拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過A(-3，3)、B(3，-3)兩點(diǎn)，試問：拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得PA=PB，并證明你的結(jié)論．圖3分析和解假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得PA＝PB，則P點(diǎn)也在線段AB的垂直平分線上．又A(-3，3)、B(3，-3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．則線段AB的垂直平分線是第一、三象限的角平分線，即直線y＝x．于是有由圖象可知：①當(dāng)a＞0時(shí)，有c＜0；②當(dāng)a＜0時(shí)，有c＞0．由①②均可推出Δ=(b-1)2-4ac＞0，即方程