八下勾股定理典型例題歸類(lèi)總結(jié)

.PAGE.>勾股定理典型例題歸類(lèi)總結(jié)題型一：直接考察勾股定理例１.在中，．⑴，．求的長(zhǎng)⑵，，求的長(zhǎng)跟蹤練習(xí)：1.在中，.〔1〕假設(shè)a=5,b=12,則c=;〔2〕假設(shè)a:b=3:4,c=15,則a=,b=.〔3〕假設(shè)∠A=30°，BC=2,則AB=，AC=.2.

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C分別對(duì)的邊為a，b，c，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(

)A、B、C、D、3.一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為(

)A、2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、54.等腰直角三角形的直角邊為2，則斜邊的長(zhǎng)為〔

〕A、B、C、1D、25.等邊三角形的邊長(zhǎng)為2cm，則等邊三角形的面積為〔

〕A、B、C、1D、6.直角三角形的兩邊為2和3，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)__________.7.如圖，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，，則BD=___________.

8.△ABC中，AB=AC=10，BD是AC邊上的高線(xiàn)，CD=2，則BD等于〔〕A、4B、6C、8D、9.Rt△ABC的周長(zhǎng)為，其中斜邊，求這個(gè)三角形的面積。10.如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，則從面積的角度來(lái)說(shuō)，勾股定理可以推廣.(1)如圖，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的面積、、之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由?！?〕如圖，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積、、之間有何關(guān)系？〔3〕如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，請(qǐng)?zhí)接憙蓚€(gè)陰影局部的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由?！泊岁幱熬植吭跀?shù)學(xué)史上稱(chēng)為"希波克拉底月牙〞〕題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例1.如果梯子的底端離建筑物9米，則15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？跟蹤練習(xí)：1.如圖〔8〕，水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水局部BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2.一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車(chē)到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5米，消防車(chē)的云梯最大升長(zhǎng)為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是〔〕A、12米B、13米C、14米D、15米3.如圖，有兩顆樹(shù)，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹(shù)相距8米．一只鳥(niǎo)從一顆樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一顆樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行〔〕A、8米B、10米C、12米D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用——例3.如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且則△DEF是直角三角形嗎？為什么？注：此題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。跟蹤練習(xí)：如圖，正方形ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)CD邊上一點(diǎn)，且DF=3CF，求證：∠AEF=90°

題型四：利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度——例1.如圖4，長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).跟蹤練習(xí)：1.如圖，將一個(gè)有45度角的三角板頂點(diǎn)C放在一寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)B在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線(xiàn)成30°角，求三角板的最大邊AB的長(zhǎng).

2.如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，〔1〕求證：BE=CF;〔2〕假設(shè)AE=3，CF=1，求EF的長(zhǎng).3.如圖，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上的一點(diǎn).假設(shè)AD=1，BD=3，求CD的長(zhǎng).

題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——例1.有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門(mén)上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以，燈就自動(dòng)翻開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門(mén)多遠(yuǎn)的地方燈剛好翻開(kāi)？跟蹤練習(xí)：1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.〔1〕求證：∠ABD=90°;〔2〕求的值

2.以下各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是〔

〕A、9，12，15B、7,24,25C、D、，，3.在△ABC中，以下說(shuō)法①∠B=∠C-∠A；②；③∠A:∠B:∠C=3：4：5；④a:b:c=5:4:3；⑤：：=1:2:3，其中能判斷△ABC為直角三角形的條件有〔

〕A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c.判斷以下三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個(gè)是直角？〔1〕a=26，b=10，c=24;〔2〕a=5，b=7，c=9;〔3〕a=2，，A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)5.△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿(mǎn)足，則此時(shí)三角形一定是〔

〕A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、銳角三角形6.在△ABC中，假設(shè)a=，b=2n，c=，則△ABC是〔〕A、銳角三角形B、鈍角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7.如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC是〔

〕

A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、銳角三角形或鈍角三角形8.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，以下說(shuō)法中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔

〕A、如果∠C-∠B=∠A,則∠C=90°B、如果∠C=90°，則C、如果〔a+b〕〔a-b〕=，則∠A=90°D、如果∠A=30°，則AC=2BC9.△ABC的三邊分別為a，b，c，且a+b=3，ab=1，，求的值，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由10.觀察以下各式：，，，……，根據(jù)其中規(guī)律，寫(xiě)出下一個(gè)式子為_(kāi)____________11.，m＞n，m、n為正整數(shù)，以，2mn，為邊的三角形是___三角形.12.一個(gè)直角三角形的三邊分別為n+1，n-1，8，其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時(shí)，三角形為直角三角形？題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例題6.如圖，P是等邊三角形ABC一點(diǎn)，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的邊長(zhǎng).跟蹤練習(xí)1.如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試探究間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題例題7.如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).跟蹤練習(xí)1.如圖，AD是△ABC的中線(xiàn)，∠ADC=45°，把△ADC沿直線(xiàn)AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C’的位置，BC=4,求BC’的長(zhǎng).折疊直角三角形1.如圖，在△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，沿CD折疊△ABC，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的處，AB=4，AC=3，求BD的長(zhǎng)。2.如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．將△ABC折疊使C與A重合，折痕為DE，求BE的長(zhǎng)．〔二〕折疊長(zhǎng)方形1.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=5，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿折痕AF折疊，點(diǎn)D恰好落在BC上的點(diǎn)E處，求CF的長(zhǎng)。2.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與C'重合.〔1〕求DE的長(zhǎng);〔2〕求折痕EF的長(zhǎng).3.〔2013?〕如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使邊CD落在對(duì)角線(xiàn)AC上，折痕為CE，且D點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)D′處．假設(shè)AB=3，AD=4，則ED的長(zhǎng)為〔〕4.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折疊使A到A′處DA′交BC于F點(diǎn).〔1〕求證：FB=FE〔2〕求證：CA′∥BD〔3〕求△DBF的面積7.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,G為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AG、CF.〔1〕求證：AG∥CF;〔2〕求的值.題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00米以會(huì)受到噪音影響，則拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，則學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？例2.一輛裝滿(mǎn)貨物高為1.8米，寬1.5米的卡車(chē)要通過(guò)一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過(guò)嗎？跟蹤練習(xí)：*市氣象臺(tái)測(cè)得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時(shí)26km的速度向北偏東60°方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心200km的圍為受影響區(qū)域。試問(wèn)A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請(qǐng)求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒(méi)有受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由。2.一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē),其外形高2.5米,寬1.6米,要開(kāi)進(jìn)廠(chǎng)門(mén)形狀如以下圖的*工廠(chǎng),問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠(chǎng)的廠(chǎng)門(mén)"3.有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長(zhǎng)？〔結(jié)果保存整數(shù)〕4.如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？題型九：關(guān)于最短性問(wèn)題例1、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它成心不走直線(xiàn)，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線(xiàn)，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)展突然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)"〔π取3.14，結(jié)果保存1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算〕例2.跟蹤練習(xí)：1.如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿外表爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？2.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線(xiàn)路是多少？BBA5313.一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，6cm，12cm,一只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn),你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線(xiàn)路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？BBAA4.如圖將一根13.5厘米長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，能全部放進(jìn)去嗎？33？？A題型十：勾股定理與特殊角直接運(yùn)用30°或45°的直角三角形1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，假設(shè)AC=，求AD的長(zhǎng)。2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，CD⊥AB于D，∠A=30°，CD=2，求AB的長(zhǎng)。3.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=60°，∠,C=45°，AC=2，求BD的長(zhǎng)。作垂線(xiàn)構(gòu)造30°或45°的直角三角形將105°轉(zhuǎn)化為45°和60°1.如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠A=105°，AC=2，求BC的長(zhǎng)。2.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°,=1\*GB2⑴假設(shè)AD=2,求AB的長(zhǎng)；=2\*GB2⑵假設(shè)AB+CD=+2，求AB的長(zhǎng)。AABDC〔2〕將75°轉(zhuǎn)化為30°和45°3.如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°，AB=，求BC的長(zhǎng)。題型十一：運(yùn)用勾股定理列方程〔一〕直接用勾股定理列方程1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD=3,BD=5，求AD的長(zhǎng)。2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠CAD=2∠BAD,假設(shè)BD=3，CD=8，求AB的長(zhǎng)。(二)巧用"連環(huán)勾〞列方程1.如圖，在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=,求.2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，求AD的長(zhǎng)。3.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，BD=4，求AC的長(zhǎng)4.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=3，BD=4，求AD的長(zhǎng)題型十二：勾股定理與分類(lèi)討論銳角與鈍角不明時(shí)需分類(lèi)討論1.在△ABC中，AB=AC=5，，求BC的長(zhǎng)2.在△ABC中，AB=15，AC=13，AD為△ABC的高，且AD=12，求△ABC的面積?！捕逞偷撞幻鲿r(shí)需分類(lèi)討論3.如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為射線(xiàn)AC上一點(diǎn)，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周長(zhǎng).

〔三〕直角邊和斜邊不明時(shí)需分類(lèi)討論1.直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)____________2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB為邊向外作等腰直角三角形ABD，求CD的長(zhǎng)3.如圖，D(2,1),以O(shè)D為一邊畫(huà)等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在*軸上，這樣的等腰三角形能畫(huà)多少個(gè)"寫(xiě)出落在*軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo).題型十三：或問(wèn)題的證明1.如圖1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，M、N分別為AC、BC上一點(diǎn)，且DM⊥DN.〔1〕求證：CM+=BD〔2〕如圖2，假設(shè)M、N分別在AC、CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，探究CM、、BD之間的數(shù)量關(guān)系式。2.∠BCD=α，∠BAD=β，CB=CD.〔1〕如圖1，假設(shè)α=β=90°，求證：AB+AD=AC；〔2〕如圖2，假設(shè)α=β=90°，求證：AB-AD=AC；〔3〕如圖3，假設(shè)α=120°，β=60°，求證：AB=AD=AC；〔4〕如圖3，假設(shè)α=β=120°，求證：AB-AD=AC；題型十四：?jiǎn)栴}的證明1.如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，連MN、ON.求證：MN=ON.

2.△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，AE=CF，連DE、EF.〔1〕如圖1，假設(shè)E、F分別在AB、AC上，求證：EF=DE；〔2〕如圖2，假設(shè)E、F分別在BA、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則(1)中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．3.如圖，△ABD中，O為AB的中點(diǎn)，C為DO延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠ACO=135°，∠ODB=45°探究OD、OC、AC之間相等的數(shù)量關(guān)系．

4.如圖，△ABD是等腰直角△，∠BAD=90°，BC∥AD，BC=2AB，CE平分∠BCD，交AB于E，交BD于H．求證：

〔1〕DC=DA；〔2〕BE=DH題型十五：勾股定理〔逆定理〕與網(wǎng)格畫(huà)圖1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為．

2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在圖中畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是3,2，，且三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

3.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在圖中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，且正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．

4.在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使其部已標(biāo)注的格點(diǎn)只有3個(gè)．

5.如圖，在4個(gè)均勻由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，則這4個(gè)三角形中，與眾不同的是__________中的三角形，圖4中最長(zhǎng)邊上的高為_(kāi)____________

6.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按以下要求畫(huà)圖：

〔1〕畫(huà)一條線(xiàn)段MN，使MN=；〔2〕畫(huà)△ABC，三邊長(zhǎng)分別為3，，2。7.如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線(xiàn)段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上．

〔1〕圖1中以AB為腰的等腰三角形有___________個(gè)，畫(huà)出其中的一個(gè)，并直接寫(xiě)出其底邊長(zhǎng)．〔2〕圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有___________個(gè)，畫(huà)出其中的一個(gè)，并直接寫(xiě)出其底邊上的高．題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且AB=10，BD=6，AD=8，AC=7，其求CD的長(zhǎng).

2.如圖，在四