2023年山東師大附屬中數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．2．若，則A．10 B．15 C．30 D．603．已知點為雙曲線的對稱中心，過點的兩條直線與的夾角為，直線與雙曲線相交于點，直線與雙曲線相交于點，若使成立的直線與有且只有一對，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．4．三棱錐的棱長全相等，是中點，則直線與直線所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．設(shè)，向量，，且，則（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其，把函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式為()A． B．C． D．7．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機變量的是()A．出現(xiàn)7點的次數(shù) B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C．出現(xiàn)2點的次數(shù) D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)8．設(shè)隨機變量，隨機變量，若，則（）A． B． C． D．9．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知命題若實數(shù)滿足，則或，，，則下列命題正確的是()A． B． C． D．11．盒中有只螺絲釘，其中有只是不合格的，現(xiàn)從盒中隨機地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A． B． C． D．12．.已知為等比數(shù)列，，則．若為等差數(shù)列，，則的類似結(jié)論為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，，且，則實數(shù)__________．14．己知復(fù)數(shù)和均是純虛數(shù)，則的模為________.15．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的概率為_____.16．已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題：①對于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；②對于任意，函數(shù)存在最小值；③存在，使得對于任意的，都有成立；④存在，使得函數(shù)有兩個零點．其中正確命題的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有甲、乙兩個游戲項目，要參與游戲，均需每次先付費元（不返還），游戲甲有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，可能獲得元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，這兩種情況的概率均為.（1）某人花元參與游戲甲兩次，用表示該人參加游戲甲的收益（收益=參與游戲獲得錢數(shù)-付費錢數(shù)），求的概率分布及期望；（2）用表示某人參加次游戲乙的收益，為任意正整數(shù)，求證：的期望為.18．（12分）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為(1)求橢圓C的方程；(2)當直線l的斜率為3時,求ΔPOQ的面積；(3)在x軸上是否存在點M(m,0),滿足|PM|=|QM|？若存在,求出m的取值范圍；若不存在,請說明理由.19．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).(Ⅰ)若不等式的解集是，求實數(shù)的值；(Ⅱ)若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖所示圓錐中，為底面圓的兩條直徑，，且，，為的中點.求:（1）該圓錐的表面積；（2）異面直線與所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.21．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）幾個月前，成都街頭開始興起“mobike”、“ofo”等共享單車，這樣的共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題．然而，這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問題，比如亂停亂放，或?qū)⒐蚕韱诬囌紴椤八接小钡龋疄榇?，某機構(gòu)就是否支持發(fā)展共享單車隨機調(diào)查了50人，他們年齡的分布及支持發(fā)展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計如下表：年齡受訪人數(shù)56159105支持發(fā)展共享單車人數(shù)4512973（Ⅰ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系；年齡低于35歲年齡不低于35歲合計支持不支持合計（Ⅱ）若對年齡在，的被調(diào)查人中各隨機選取兩人進行調(diào)查，記選中的4人中支持發(fā)展共享單車的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

考慮到中不等號方向，先研究C，D中是否有一個正確。構(gòu)造函數(shù)是增函數(shù)，可得當時，有,所以作差，，對可分類，和【詳解】令，顯然單調(diào)遞增，所以當時，有,所以另一方面因為所以，當時，，當時，（由遞增可得），∴，C正確。故選：C?！军c睛】本題考查判斷不等式是否成立，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。對于不等式是否成立，有時可用排除法，即用特例，說明不等式不成立，從而排除此選項，一直到只剩下一個正確選項為止。象本題中有兩個選項結(jié)論幾乎相反（或就是相反結(jié)論時），可考慮先判斷這兩個不等式中是否有一個為真。如果這兩個都為假，再考慮兩個選項。2、B【解析】

分析：由于，與已知對比可得的值1．詳解：由于，與已知對比可得故選B.點睛：本題考查二項式定理的應(yīng)用，觀察分析得到是關(guān)鍵，考查分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．3、A【解析】

根據(jù)雙曲線漸近線以及夾角關(guān)系列不等式，解得結(jié)果【詳解】不妨設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為因為使成立的直線與有且只有一對，所以從而離心率，選A.【點睛】本題考查求雙曲線離心率取值范圍，考查綜合分析求解能力，屬較難題.4、C【解析】分析：取中點，連接，由三角形中位線定理可得，直線與所成的角即為直線與直線所成角，利用余弦定理及平方關(guān)系可得結(jié)果.詳解：如圖，取中點，連接，分別為的中點，則為三角形的中位線，，直線與所成的角即為直線與直線所成角，三棱錐的棱長全相等，設(shè)棱長為，則，在等邊三角形中，為的中點，為邊上的高，，同理可得，在三角形中，，，直線與直線所成角的正弦值為，故選C.點睛：本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對值.5、B【解析】試題分析：由知，則，可得．故本題答案應(yīng)選B．考點：1.向量的數(shù)量積；2.向量的模．6、A【解析】

根據(jù)條件先求出和，結(jié)合函數(shù)圖象變換關(guān)系進行求解即可．【詳解】解：，即，，則，，，即，則，則，即，得，即，把函的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，得到，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，即，故選：．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的應(yīng)用，根據(jù)條件求出和的值以及利用三角函數(shù)圖象平移變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．7、A【解析】

根據(jù)隨機變量的定義可得到結(jié)果.【詳解】拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)點，出現(xiàn)點為不可能事件出現(xiàn)點的次數(shù)不能作為隨機變量本題正確選項：【點睛】本題考查隨機變量的定義，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】試題分析：∵隨機變量，∴，解得．∴，∴，故選C．考點：1．二項分布；2．n次獨立重復(fù)試驗方差．9、D【解析】

根據(jù)各選項的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【點睛】本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡單證明，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】由題意可知，p是真命題，q是假命題，則是真命題.本題選擇C選項.11、A【解析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.詳解：由古典概型公式得故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.12、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列中等差中項性質(zhì)推導(dǎo)可得.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)，有＝＝…＝2.易知選項D正確．【點睛】等差中項和等比中項的性質(zhì)是出題的熱點,經(jīng)常與其它知識點綜合出題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】依題設(shè)，，由∥得，，解得.14、1【解析】

通過純虛數(shù)的概念，即可求得，從而得到模長.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，則，又為虛數(shù)，則，故，則，故答案為1.【點睛】本題主要考查純虛數(shù)及模的概念，難度不大.15、.【解析】

根據(jù)題意，拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，則且的情況有2種：①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，分別計算相應(yīng)的概率求和即可.【詳解】拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的情況為：①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，相應(yīng)的概率，②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，相應(yīng)的概率為，所以概率為.故答案為：.【點睛】本題考查二項分布概率計算，結(jié)合排列組合與數(shù)列的知識，屬于綜合題，解題的關(guān)鍵在于對所求情況進行分析，再利用二項分布進行概率計算即可，屬于中等題.16、②④【解析】函數(shù)的定義域是，且，當時，在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于，存在，使，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對于任意，函數(shù)存在最小值，故②正確；函數(shù)的圖象在有公共點，所以對于任意，有零點，故③錯誤；由②得函數(shù)存在最小值，且存在，使，當時，，當時，，故④正確；故填②④.點睛：本題的易錯點在于正確理解“任意”和“存在”的含義，且正確區(qū)分兩者的不同.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析，期望為；（2）見解析．【解析】分析：（1）表示該人參加游戲甲的收益，可能取值為，，，，分布列為：（2）用表示某人參加次游戲乙的收益可能取值為，，，…，，…（且），每次獨立，獲獎的概率為.滿足二項分布。詳解：（1）則的所有可能取值為，，，，，，，，，，；（2）證明：的所有可能取值為，，，…，，…（且），（且），，，兩式相加即得，所以.點睛：（1）離散型隨機變量的分布列，根據(jù)題意，搞清隨機變量的最小值和最大值，其它值隨之確定。（2）根據(jù)題意，要能判斷出是否為二項分布，抓題目的關(guān)鍵詞：事件相互獨立（放回），每次事件成功的概率相等.（3）二項分布的期望公式，方差18、（1）x24+y23=1（2）453（3）在【解析】

（1）根據(jù)題中條件列有關(guān)a、b、c的方程組，解出這三個數(shù)，可得出橢圓C的標準方程；（2）先寫出直線l的方程，并設(shè)點Px1,y1、Qx2,y2，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，利用弦長公式求出（3）①當直線l的斜率為零時，得出m=0；②當直線l的斜率不為零時，設(shè)直線l的方程為y=kx-1，設(shè)點Px1,y1、Qx2,y2，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，并列出韋達定理，求出線段PQ的中點【詳解】（1）由已知得2b=23ca所以橢圓C的方程為x2（2）設(shè)直線l:?y=3(x-1)，設(shè)點由y=3(x-1)x24點O到直線l的距離為d=32，則（3）當直線l的斜率不存在時，不符合題意；當直線l的斜率為0時，m=0，當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l:y=k(x-1)(k≠0)，設(shè)P由y=k(x-1)x2∴x1+xPQ的中點N4k23+4kkMN?kPQ綜上，在x軸上存在點M(m,0)，滿足PM=QM，且m的取值范圍為【點睛】本題考查橢圓方程的求解，考查橢圓中三角形面積的計算以及直線與橢圓位置關(guān)系的綜合問題，這種類型問題常用韋達定理法求解，解題時要將題中一些問題等價轉(zhuǎn)化，考查計算能力，屬于中等題。19、(1);(2)實數(shù)的取值范圍是.【解析】分析：(1)先根據(jù)不等式解集與對應(yīng)方程根的關(guān)系得,再解得.(2)先根據(jù)絕對值三角不等式得最大值為，再解不等式得實數(shù)的取值范圍.詳解：(Ⅰ)由,可得,得,解得.因為不等式的解集是,所以,解得.(Ⅱ)，若對一切恒成立,則．解得,即．故實數(shù)的取值范圍是.點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．20、(1)；(2).【解析】

(1)先計算出圓錐的母線長度，然后計算出圓錐的側(cè)面積和底面積，即可計算出圓錐的表面積；(2)連接，根據(jù)位置關(guān)系可知異面直線與所成的角即為或其補角，根據(jù)線段長度即可計算出的值，即可求解出異面直線所成角的大小.【詳解】(1)因為，所以，所以圓錐的側(cè)面積為：，圓錐的底面積為：，所以圓錐的表面積為：；(2)連接，如下圖所示：因為為的中點，為的中點，所以且，所以異面直線與所成的角即為或其補角，因為，，，所以平面，因為平面，所以，所以，所以異面直線與所成的角的大小為：.【點睛】本題考查圓錐的表面積計算以及異面直線所成角的求解，難度較易.(1)圓錐的表面積包含兩部