廣州市2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．2．某市交通部門為了提高某個(gè)十字路口通行效率，在此路口增加禁止調(diào)頭標(biāo)識（即車輛只能左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、直行），則該十字路口的行車路線共有（）A．24種 B．16種 C．12種 D．10種3．在曲線的圖象上取一點(diǎn)及附近一點(diǎn)，則為（）A． B．C． D．4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．15．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由變成時(shí)，左邊增加了（）A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)6．年平昌冬奧會期間，名運(yùn)動員從左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．7．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．8．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．C． D．9．在10個(gè)籃球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品.從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為A． B． C． D．10．若滿足約束條件則的最大值為A．2 B．6 C．7 D．811．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．已知,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．B．．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是以為直徑的半圓弧上的動點(diǎn)，為圓心，為中點(diǎn)，若，則__________．14．若將函數(shù)表示為，其中為實(shí)數(shù)，則等于_______.15．在正三棱錐中，，，記二面角，的平面角依次為，，則______．16．已知向量滿足，，的夾角為，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知實(shí)數(shù)滿足，其中實(shí)數(shù)滿足．（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）閱讀：已知a、b∈(0,+∞)，a+b=1，求y=1解法如下：y=1當(dāng)且僅當(dāng)ba=2a則y=1a+應(yīng)用上述解法，求解下列問題：（1）已知a,b,c∈(0,+∞)，a+b+c=1，求y=1（2）已知x∈(0,12)（3）已知正數(shù)a1、a2、a3求證：S=a19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求過點(diǎn)的切線方程；（2）若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍。（3）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）某飲料公司根據(jù)市場調(diào)查數(shù)據(jù)分析得到以下結(jié)果：如果某款飲料年庫存積壓率低于千分之一，則該款飲料為暢銷產(chǎn)品，可以繼續(xù)大量生產(chǎn).如果年庫存積壓率高于千分之一，則說明需要調(diào)整生產(chǎn)計(jì)劃.現(xiàn)公司2013—2018年的某款飲料生產(chǎn)，年銷售利潤及年庫存積壓相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份201320142015201620172018年生產(chǎn)件數(shù)（千萬件）3568911年銷售利潤（千萬元）2240486882100年庫存積壓件數(shù)（千件）295830907580注：（1）從公司2013—2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取2年的數(shù)據(jù)，求該款飲料這2年中至少有1年暢銷的概率.（2）公司根據(jù)上表計(jì)算出年銷售利潤與年生產(chǎn)件數(shù)的線性回歸方程為.現(xiàn)公司計(jì)劃2019年生產(chǎn)11千萬件該款飲料，且預(yù)計(jì)2019年可獲利108千萬元.但銷售部門發(fā)現(xiàn)，若用預(yù)計(jì)的2019年的數(shù)據(jù)與2013—2018年中暢銷年份的數(shù)據(jù)重新建立回歸方程，再通過兩個(gè)線性回歸方程計(jì)算出來的2019年年銷售利潤誤差不超過4千萬元，該款飲料的年庫存積壓率可低于千分之一.如果你是決策者，你認(rèn)為2019年的生產(chǎn)和銷售計(jì)劃是否需要調(diào)整？請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意?shí)數(shù)恒有（且）成立.（1）求函數(shù)的解析式；（2）討論在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性得出，再由可計(jì)算出答案．【詳解】由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，因此，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布概率的計(jì)算，充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

根據(jù)每個(gè)路口有種行車路線，一個(gè)十字路口有個(gè)路口，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】每個(gè)路口有種行車路線，一個(gè)十字路口有個(gè)路口，故該十字路口行車路線共有（種）故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了分布乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

求得的值，再除以，由此求得表達(dá)式的值.【詳解】因?yàn)?，所以．故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，考查平均變化率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

求出當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．【詳解】當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式為1k+1當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式為1k+2故用n=k+1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n=k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：12k+1【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n=k到n=k+1項(xiàng)的變化，屬于中檔題.5、D【解析】

分別寫出、時(shí)，不等式左邊的式子，從而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，則增加了項(xiàng)，故選D.【點(diǎn)睛】項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.6、C【解析】分析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①最左邊排甲；②最左邊排乙，分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，則分兩種情況討論：①最左邊排甲，則剩下4人進(jìn)行全排列，有種安排方法；②最左邊排乙，則先在剩下的除最右邊的3個(gè)位置選一個(gè)安排甲，有3種情況，再將剩下的3人全排列，有種情況，此時(shí)有種安排方法，則不同的排法種數(shù)為種.故選：C.點(diǎn)睛：解決排列類應(yīng)用題的策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排問題直排法處理．(3)“小集團(tuán)”排列問題中先集中后局部的處理方法．7、B【解析】

根據(jù)對稱性知是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【詳解】由雙曲線的對稱性可知，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì)，在遇到焦點(diǎn)時(shí)，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于中等題．8、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出，然后求出模長.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9、A【解析】

正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品兩種情況，根據(jù)情況寫出所有的組合數(shù)計(jì)算即可.【詳解】正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品這兩種情況為，總數(shù)為，所以概率為．選A.【點(diǎn)睛】本題考查概率問題，解題的關(guān)鍵是正確的求出所有可能的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在縱軸的截距最大，此時(shí)最大，由，解得，代入目標(biāo)函數(shù)得，的最大值為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.11、A【解析】

該空間幾何體是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱錐組合而成，分別求出體積即可.【詳解】該空間幾何體是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱錐組合而成，底面三角形的面積為，三棱柱和三棱錐的高為1，則三棱柱的體積，三棱錐的體積為，故該幾何體的體積為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了空間組合體的三視圖，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】試題分析：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，同理當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，顯然不等式有正數(shù)解（如，（當(dāng)然可以證明時(shí)，）），即存在，使，因此C錯(cuò)誤．考點(diǎn)：存在性量詞與全稱量詞，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先用中點(diǎn)公式的向量式求出，再用數(shù)量積的定義求出的值．【詳解】，【點(diǎn)睛】本題主要考查向量中的中點(diǎn)公式應(yīng)用以及數(shù)量積的定義．14、20.【解析】

把函數(shù)f（x）＝x6＝[﹣1+（1+x）]6按照二項(xiàng)式定理展開，結(jié)合已知條件，求得a3的值．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝x6＝[﹣1+（1+x）]6＝1?（1+x）?（1+x）2?（1+x）3?（1+x）6，又f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6為實(shí)數(shù)，則a320，故答案為20.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解析】

作平面ABC，連接CO延長交AB于點(diǎn)D，連接可得D為AB的中點(diǎn)，，于是二面角的平面角為作，垂足為E點(diǎn)，連接BE，根據(jù)≌，可得可得為的平面角，利用余弦定理即可得出．【詳解】如圖所示，作平面ABC，連接CO延長交AB于點(diǎn)D，連接PD．則D為AB的中點(diǎn)，，．二面角的平面角為．，，，．．作，垂足為E點(diǎn)，連接BE，≌，．為的平面角，．．在中，．．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正三棱錐的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，屬于難題．16、【解析】

先計(jì)算，再由展開計(jì)算即可得解.【詳解】由，，的夾角為，得.所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量的模長，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

試題分析：（Ⅰ）解不等式可得,可求得時(shí)命題中的范圍,若為真則說明命題均為真,應(yīng)將命題中的范圍取交集.（Ⅱ）若是的充分不必要條件,則命題的取值的集合是命題的取值集合的真子集.試題解析：解：（Ⅰ）：，時(shí),，：為真，（Ⅱ）若是的充分不必要條件，則∴解得．考點(diǎn)：1命題;2充分必要條件.18、（3）3；（2）2；（3）證明見解析.【解析】

利用“乘3法”和基本不等式即可得出．【詳解】解（3）∵a+b+c＝3，∴y=1a+1b+1c=（a+b+當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c=13時(shí)取等號．即y=1（2）y=22x+而x∈(0，12)當(dāng)且僅當(dāng)2(1-2x)2x=8?2x1-2x，即x=16∈∴函數(shù)y=1x+（3）∵a3+a2+a3+…+an＝3，∴2S＝（a12a1+a2+a22a2+a3+a32=(a≥(a12+a2當(dāng)且僅當(dāng)a1=a【點(diǎn)睛】本題考查了“乘3法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）；（3）【解析】

求導(dǎo)帶入求出切線斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出切線。求出的單調(diào)區(qū)間，極值，則在極小值與極大值之間。參變分離，求最值?！驹斀狻?1)設(shè)切點(diǎn)為切線過(2)對函數(shù)求導(dǎo)，得函數(shù)令，即，解得，或，即，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是及，單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng),有極大值；當(dāng)，有極小值當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)方程有3個(gè)不同實(shí)根。實(shí)數(shù)的取值范圍為(3)時(shí)，恒成立，也就是恒成立，令，則，的最小值為，【點(diǎn)睛】本題考查曲線上某點(diǎn)的切線方程，兩方程的交點(diǎn)問題以及參變分離。屬于中檔題。20、（1）；（2）不需要調(diào)整.【解析】

（1）計(jì)算出每年的年度庫存積壓率，可知13，15，17，18年暢銷，14，16年不暢銷；列舉出所有年份中任取2年的取法共15種，其中2年均為不暢銷的取法僅有1種，故根據(jù)古典型及對立事件的概率可求得結(jié)果；2）數(shù)據(jù)重組后依據(jù)公式計(jì)算出新的回歸直線方程，并求出2019年的年銷售利潤預(yù)估值；再計(jì)算出原回歸直線方程的2019年的年銷售利潤預(yù)估值，可知兩值相差3.66千萬元，由此可得結(jié)論【詳解】（1）公司年年度存積壓率分別為：，，，，，則該飲品在13，15，17，18年暢銷記為，，，，14，16年不暢銷記為，任取2年的取法有：，，，，，，，，，，，，，，共15種.其中2年均不暢銷的取法是，共1種∴該款飲料這年中至少有1年暢銷的概率為：（2）由題意得，2019年數(shù)據(jù)與2013，2015，2017，2018年數(shù)據(jù)重組如下表：年份20132015201720182019年生產(chǎn)件數(shù)（千萬件）3691111年銷售利潤（千萬元）224882100108經(jīng)計(jì)算得，∵，∴∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)預(yù)估年銷售利潤為103.26千萬元將代入中得，，此時(shí)預(yù)估年銷售利潤為99.6千萬元∵，故認(rèn)為2019年的生產(chǎn)和銷售計(jì)劃不需要調(diào)整.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，回歸方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決問題的能力.21、（1）（2）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù).【解析】試題分析：（1）①，用替換①式中的有：②，由①②消去即可得結(jié)果；（2）討論兩種情況，分別利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，再利用定義意且，判定的符合，即可證明結(jié)