漸近方法函數(shù)的展開

漸近方法函數(shù)的展開第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一第二章漸近方法

本章漸進(jìn)方法著重介紹數(shù)學(xué)物理中的近似方法，內(nèi)容包括積分的漸近展開分析與常微分方程的漸進(jìn)解法兩大部分。通過本章的學(xué)習(xí)目的是為提高數(shù)學(xué)分析的能力和將理論應(yīng)用于解決實(shí)際問題的本領(lǐng)。該方法在力學(xué)、大氣科學(xué)、物理海洋、光學(xué)、聲學(xué)等研究領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。漸近計(jì)算是數(shù)學(xué)計(jì)算的近似方法之一，它是解析方法在一定條件下的發(fā)展，其與數(shù)值方法相結(jié)合可以提高計(jì)算的精確程度及計(jì)算速度，特別在非線性問題的處理中漸近方法具有重要的地位。第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一1、量級(jí)符號(hào)；2、漸近展開；3、漸近展開式的運(yùn)算；4、積分的漸近展開式；5、最陡下降法；6、駐定相位法；7、常微分方程的漸近解；第二章漸近方法第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

由于某些特殊函數(shù)具有積分表示式，如果這些函數(shù)是微分方程的解，就可以得到一種以它們的拉普拉斯變換或傅立葉變換的積分表達(dá)式表達(dá)的解。因此求解積分的漸近展開式的問題在解析函數(shù)理論中就起特別重要的作用，它可以使我們得到積分解另一種表達(dá)，稱此為漸近方法。比較函數(shù)趨于某個(gè)極限時(shí)的性質(zhì)常定義：

例：§2漸近方法§2.1量級(jí)符號(hào)

1)同量級(jí)第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一例：稱函數(shù)f(x)至多與g(x)同階?！?漸近方法§

2.1量級(jí)符號(hào)2)量級(jí)最多為也可以說若存在某個(gè)常數(shù)A，使對(duì)定義域D某個(gè)內(nèi)點(diǎn)x0的鄰域V內(nèi)的所有x，滿足第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一例：§2漸近方法§2.1量級(jí)符號(hào)

3)量級(jí)小于也可以說若存在任一，定義域D內(nèi)點(diǎn)x0總有一的鄰域存在，使得所有，滿足稱函數(shù)f(x)是函數(shù)g(x)的高階小量。

的意義是說f(x)有界，而的意義是說f(x)趨于零。第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§2.2漸近展開

下面給出漸近展開的定義和它的一些性質(zhì)，討論在擴(kuò)充的復(fù)平面上進(jìn)行。一、漸近序列設(shè)，是定義在區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)序列，是D中的一固定點(diǎn)，若對(duì)每一個(gè)固定的n，有則稱為點(diǎn)的漸進(jìn)序列。漸近序列可以是有限項(xiàng)也可以是無限項(xiàng)的。例如：是對(duì)零點(diǎn)的漸近序列?！?漸近方法是對(duì)于無窮的漸近序列。第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一二、漸近展式

設(shè)是一個(gè)給定的函數(shù)，而是點(diǎn)的一個(gè)漸近序列，如果對(duì)每個(gè)固定的整數(shù)n，有那么稱此為在點(diǎn)的漸近展式。記為注意：漸近展式與函數(shù)的級(jí)數(shù)展式不同：對(duì)確定的z值，漸近展式的項(xiàng)數(shù)無限增多時(shí)，所得級(jí)數(shù)一般是發(fā)散的，但若滿足漸近展式的定義式，則當(dāng)時(shí)，取確定的項(xiàng)數(shù)n會(huì)得到對(duì)函數(shù)非常好的近似?！?.2漸近展開

§2漸近方法

第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一例1：求當(dāng)時(shí)的積分值。即求時(shí)的漸近展式。解：

余項(xiàng)：§2.2漸近展開

§2漸近方法

第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一因此，取展開式的前n項(xiàng)，略去余項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，其誤差量級(jí)小于所取的最后一項(xiàng)，符合漸近展式的定義，可記為§2.2漸近展開

§2漸近方法

注意：這個(gè)級(jí)數(shù)對(duì)于有限的x值均不收斂。但是，取確定的項(xiàng)數(shù)，會(huì)得到對(duì)函數(shù)很好的近似。如果僅用一項(xiàng)，給出的相對(duì)誤差為1/x,結(jié)果粗略一些，但已經(jīng)足夠用了。第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一三、展開式系數(shù)：

當(dāng)時(shí)，的漸近展式的系數(shù)為證明略§2.2漸近展開

§2漸近方法

四、展開式的構(gòu)成設(shè)在區(qū)域D中有定義，若

有定義且不為零，則是時(shí)，的一個(gè)直到N項(xiàng)的漸近展開式。當(dāng)時(shí)，的漸近展式的系數(shù)為四、展開式的構(gòu)成當(dāng)時(shí)，的漸近展式的系數(shù)為四、展開式的構(gòu)成當(dāng)時(shí)，的漸近展式的系數(shù)為四、展開式的構(gòu)成第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一證明：首先證明是一個(gè)漸近序列。由的定義得§

2.2漸近展開§2漸近方法所以：又因?yàn)椋汗蚀嬖谝粋€(gè)的鄰域使z在其中時(shí)：第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一所以。由此，各個(gè)都由這種方式定義得§

2.2漸近展開§2漸近方法五、唯一性設(shè)是在D中，的一個(gè)已知漸近序列，若是當(dāng)時(shí)，直到N項(xiàng)的一個(gè)漸近展式，則此展式是唯一的。注意：這個(gè)定理只表示用同一個(gè)已知漸近序列表示的展開式的唯一性。但是可能有多個(gè)不同的漸近序列對(duì)應(yīng)同一個(gè)函數(shù)的漸近展式，它們可以不同，而且可以是收斂的也可是發(fā)散的。反過來，一個(gè)已知的漸近展式可以表示不止一種函數(shù)。第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

的一個(gè)漸近冪級(jí)數(shù)展式，記為六、冪函數(shù)的展式§

2.2漸近展開§2漸近方法則：是D中，時(shí)，其中一種重要的特殊情形是在D中，當(dāng)時(shí)，如果則在D中，當(dāng)時(shí)第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.3漸近展式的運(yùn)算若在D中，當(dāng)時(shí)，直到N項(xiàng)有則：和1.加法：2.乘法：§2漸近方法本節(jié)討論漸近展開式的普通運(yùn)算，由于實(shí)際應(yīng)用中，展式多用冪函數(shù)，以下均以冪函數(shù)作為漸近序列。第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一3.除法：即除法為兩個(gè)函數(shù)漸近展開式分別保留到N項(xiàng)相除。推論：§

2.3漸近展式的運(yùn)算§2漸近方法第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一4.積分:當(dāng)時(shí)，若則：其中積分沿從到的一條直線路徑。推論:當(dāng)時(shí)，若則：§

2.3漸近展式的運(yùn)算§2漸近方法5.求導(dǎo):當(dāng)時(shí)，若，且當(dāng)時(shí)，在D中存在并有第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一則在D中漸近展開式滿足可逐項(xiàng)積分的條件時(shí)，有推論1：在D中，當(dāng)有且在D中§

2.3漸近展式的運(yùn)算§2漸近方法存在并有若在D中，漸近冪級(jí)數(shù)滿足逐項(xiàng)積分的條件，則第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一推論2：對(duì)，當(dāng)時(shí)有且存在于相同的區(qū)域，當(dāng)時(shí)，有則

對(duì)于解析函數(shù)，若在區(qū)域當(dāng)時(shí)有則在中，當(dāng)有§

2.3漸近展式的運(yùn)算§2漸近方法根據(jù)漸近展式的定義和相關(guān)運(yùn)算法則，就可以討論在解析函數(shù)理論中常用的積分的漸近展式。第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

獲得積分漸近展式的方法有兩種把被積函數(shù)的一部分展開為級(jí)數(shù)，然后形式上逐項(xiàng)積分；重復(fù)地進(jìn)行分部積分。一、逐項(xiàng)積分法：瓦特森引理：設(shè)§

2.4積分的漸近展式

§2漸近方法第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一式對(duì)Re(z)>0成立，因?yàn)樵诖硕x域兩邊都解析且在實(shí)軸上它們一致?？蓱?yīng)用瓦特森引理得到其積分的漸近展開式。做變量代換，令解：令則例：求當(dāng)，的Γ函數(shù)的漸近展式?！?漸近方法則對(duì)給定的值上述變換給出兩個(gè)解s(u)和σ(u)，其中§

2.4積分的漸近展式

即且第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一兩個(gè)解分別位于最大值s=1的兩邊其中于是§2漸近方法§

2.4積分的漸近展式

可以證明且因當(dāng)時(shí)，故在有界第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§2漸近方法§

2.4積分的漸近展式

則可得與的關(guān)系：剩下要證明的是其中對(duì)小的有一個(gè)麥克勞林展開式。再做代換，令。它在處是解析的。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有即與的鄰域有兩個(gè)分支。根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論：若解析，且則在的鄰域存在解析的反函數(shù)現(xiàn)在在鄰域解析，且在點(diǎn)不等于零，故在第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§2漸近方法§

2.4積分的漸近展式

另一支是注意到則對(duì)足夠小的有故令的鄰域存在解析的反函數(shù)式中是處的留數(shù)，容易算出等。將最后的表示式帶入被積式，并在形式上逐項(xiàng)積分，則由瓦特森引理，在時(shí)，有第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§23漸近方法§

2.4積分的漸近展式

式中二、分部積分法：對(duì)形式進(jìn)行分部積分。在，且當(dāng)時(shí)的條件下得?？梢钥闯?，所得積分與原來積分形式相似，故可重復(fù)同一過程。第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§2漸近方法§

2.4積分的漸近展式

在和的一定假設(shè)條件下，式中第一項(xiàng)是的積分漸近形式。條件:（1）對(duì)，連續(xù)且有界：，同時(shí)（2）對(duì)，為實(shí)函數(shù)且連續(xù)；存在，且（3）（4）對(duì)所有正，，且當(dāng)時(shí)，（5）對(duì)，存在，則對(duì)當(dāng)時(shí)第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§2漸近方法§

2.4積分的漸近展式

例：在，條件下，求誤差函數(shù)的漸近展開式。令現(xiàn)在的積分和定理的假設(shè)相符，重復(fù)地應(yīng)用此定理，對(duì)于可得第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§2漸近方法§

2.4積分的漸近展式

如果，則應(yīng)將方法修改。但對(duì)這種情形，可以采用下面兩節(jié)的方法，這里不再贅述。以上只把分部積分法用于上限為的積分，現(xiàn)在考慮a和b

有限，且的情形，即設(shè)，而當(dāng)，時(shí)第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§2漸近方法§

2.4積分的漸近展式

當(dāng)，時(shí)，因?yàn)楣实?9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一最徒下降法的思路：首先令：則：§2漸近方法§

2.5最陡下降法積分其中C

是復(fù)平面Z上的路徑，在其中假定緩變，且f和g

均具有適當(dāng)?shù)恼齽t性。其中u和v是實(shí)函數(shù)。當(dāng)S很大時(shí)，沿積分路徑微小位移所引起的υ

的微小變化會(huì)引起注意到：第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.5最陡下降法也就是說，最徒下降法的本質(zhì)就是盡可能利用這樣的積分路徑：使被積函數(shù)在這個(gè)路徑上u為最大，而υ等于常數(shù)。這樣可以保證被積函數(shù)變化最速下降，也就保證積分值只與u為最大的點(diǎn)（鞍點(diǎn)）附近的鄰域有關(guān)，從而可以漸近計(jì)算。事實(shí)上，使υ等于常數(shù)的路徑也就是u變化最快的路徑。以下對(duì)此證明：§2漸近方法中復(fù)數(shù)項(xiàng)的迅速震蕩。但如選擇積分路徑使在其上

υ為常數(shù)，

則震蕩就會(huì)迅速消失，于是被積函數(shù)變化最速部分將為，而顯然其主要貢獻(xiàn)部分將來自u(píng)為最大點(diǎn)的鄰域。因而此方法的本質(zhì)是盡可能地改變積分路徑循著通過u

為最大的點(diǎn)，而υ等于常數(shù)的路線進(jìn)行。第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.5最陡下降法§2漸近方法證明:令是在鄰近的一點(diǎn)，于是由得：當(dāng)

等于常數(shù)時(shí)，應(yīng)有，即注意到柯西－黎曼關(guān)系:可得此式表明因此，由極值的條件，在點(diǎn)，υ等于常數(shù)的方向也正是u

的最大變化方向。第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.5最陡下降法§2漸近方法為尋找的最大點(diǎn)，令，因而故當(dāng)且僅當(dāng)在該點(diǎn)，時(shí)，取得極值，這樣的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。曲面有極大極小值的條件為而現(xiàn)在有，即，故，因而因?yàn)閡是解析函數(shù)滿足拉普拉斯方程表明這里的駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)而是鞍點(diǎn)，它連接曲面的“山谷”和“山脊”沿山脊上升和山谷下降均是u最大變化方向。對(duì)我們有意義的是山谷下降路徑，即最徒下降路徑，因?yàn)橹挥羞@一路徑上在鞍點(diǎn)附近對(duì)積分有顯著的貢獻(xiàn)，所以這種漸近計(jì)算的方法稱為：最徒下降法。第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.5最陡下降法§2漸近方法鞍點(diǎn)若點(diǎn)為鞍點(diǎn)，即此點(diǎn)的υ等于常數(shù)的曲線方程為，則通過，或其中t是實(shí)數(shù)，t為正代表下降路徑，t為負(fù)代表上升路徑。由在點(diǎn)的Tailor展開式現(xiàn)在，若(A為正實(shí)數(shù))，接近處，則，（略去高階項(xiàng)）第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.5最陡下降法§2漸近方法因?yàn)椋哼€可得：由此可以畫出實(shí)部虛部時(shí)的等高線如圖所示。如果，則圖形將更復(fù)雜，可能有三個(gè)或更多的山谷在鞍點(diǎn)相會(huì)。第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.5最陡下降法§2漸近方法

現(xiàn)在可以假定起止于無限遠(yuǎn)的積分路徑能變形到起點(diǎn)和終點(diǎn)都在山谷的路徑，這是積分收斂的要求。

積分路徑要盡可能地變形到最陡下降路徑上沿著山谷的底在鞍點(diǎn)處越過一個(gè)山谷進(jìn)入下一個(gè)山谷。

一般說來，這種路徑由一系列曲線組成，每一個(gè)是從鞍點(diǎn)到無窮或到某個(gè)奇點(diǎn)。以下假定來計(jì)算一個(gè)這種路徑對(duì)積分的貢獻(xiàn)。為此，設(shè)其中。于是最陡下降路徑由下式給出或(t為正實(shí)數(shù)）其中取主值。計(jì)及，故得第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.5最陡下降法§2漸近方法上式的不同符號(hào)對(duì)應(yīng)于自鞍點(diǎn)出發(fā)的兩條最陡下降路徑。若“+”號(hào)與第三象限的路徑有關(guān)，“-”與第一象限的路徑。有關(guān)考慮負(fù)號(hào)時(shí)所代表的路徑如圖所示，所得的積分是負(fù)號(hào)所對(duì)應(yīng)的路徑其中是上式中取負(fù)號(hào)的z值。另一路徑的積分其中是上式中取正號(hào)的z值。第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

完整的級(jí)數(shù)太繁，我們將只導(dǎo)出首項(xiàng)。于是，如果把C變形到通過鞍點(diǎn)，其方向如右圖，則可以得到§

2.5最陡下降法§2漸近方法由于和都可用t表示，其中函數(shù)f

已假定是緩變的，故和均可用代替。令引理漸近計(jì)算的積分式。，則可以得到用瓦特森負(fù)號(hào)所對(duì)應(yīng)的路徑

此式即利用最徒下降法得到的積分的漸近展開。如果C通過鞍點(diǎn)的方向與前圖示相反的話，結(jié)果反號(hào)即可。第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一例：求階乘的斯特林（Stirling)公式。（即階乘的漸近展式）解：已知階乘的積分表達(dá)式符合前邊積分的形式，其中而積分路徑C為實(shí)軸?！?/p>

2.5最陡下降法§2漸近方法它在時(shí)成立，現(xiàn)在我們只考慮s此積分形式不適合用最陡下降法，但如用sz來代替z就得出是實(shí)數(shù)的情形。注意到有一鞍點(diǎn)，且在該處第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一在時(shí)：因此積分路徑應(yīng)該是和（零點(diǎn)為奇點(diǎn)）兩部分根據(jù)公式：§

2.5最陡下降法§2漸近方法這就是斯特林公式。第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.6駐定相位法積分：§2漸近方法當(dāng)參量k

很大時(shí)可以用駐定相位法求解。從被積函數(shù)的形式上看，可當(dāng)作波的相位。當(dāng)k很大時(shí)，它表示一種迅速的振蕩。在積分過程中，這種振蕩正負(fù)相消，而只有在的部分，處有平坦因而對(duì)積分的主要貢獻(xiàn)來自于點(diǎn)附近。使的點(diǎn)稱為駐定相位點(diǎn)，所以這種用相位駐定鄰近的積分結(jié)果來近似代表整個(gè)區(qū)間的精確結(jié)果的方法稱為駐定相位法。為證明對(duì)積分的主要貢獻(xiàn)來自駐定相位點(diǎn)附近，先看變量z為實(shí)變量x的情形。函數(shù)的駐點(diǎn)是使的點(diǎn)，如

，而則稱為的N級(jí)駐點(diǎn)。第41頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一考察積分：§

2.6駐定相位法§2漸近方法①如果積分區(qū)間(a,b)內(nèi)f(x)沒有駐點(diǎn)，g(x)在(a,b)內(nèi)可微，則可作積分變量代換，而上面的積分可記為由f(x)反演x可以表示為f的函數(shù)，故在積分區(qū)間是可微的。由分部積分，得第42頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.6駐定相位法§2漸近方法等號(hào)右邊第一項(xiàng)在時(shí)趨于零，其量級(jí)為；右邊第二項(xiàng)形式上與原積分一樣，可微能對(duì)它再進(jìn)行分部積分，積分后的量級(jí)也是，但其前面已有系數(shù)，故上式等號(hào)右邊第二項(xiàng)的量級(jí)為，再繼續(xù)進(jìn)行分部積分，可見整個(gè)在k很大時(shí)量級(jí)最多為1/k的小量。②如果在積分區(qū)間內(nèi)有一個(gè)一級(jí)駐點(diǎn)

，則由于而使在處失去可微性，因而不能直接進(jìn)行分部積分。第43頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一則：后一個(gè)積分中把f作為積分變量，則其中：令§

2.6駐定相位法§2漸近方法它在駐點(diǎn)處(為型)的極限為，從而也在積分區(qū)間內(nèi)可微。由此，上面后一個(gè)積分的量級(jí)也是

現(xiàn)在來考慮前一個(gè)積分，將按Taylor級(jí)數(shù)展開，則第44頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一§

2.6駐定相位法§2漸近方法略去后面的高階項(xiàng)，計(jì)及g(x)在區(qū)間內(nèi)是x的緩變函數(shù)，于是上述積分整個(gè)地可寫為令，則再令，同時(shí)考慮到時(shí)積分限，則得第45頁