第七章 空間解析幾何曲面

第七章空間解析幾何曲面第1頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標(biāo)面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅰ第2頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點A,B,C點M特殊點的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標(biāo))原點O(0,0,0);第3頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三例1.在z

軸上求與兩點等距解:設(shè)該點為解得故所求點為及離的點.2、空間兩點間的距離公式:第4頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且思考:

(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?第5頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三二、曲面及其方程求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:

動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

1、曲面方程的概念第6頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三定義.

如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀第7頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:2、常見的曲面方程第8頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當(dāng)M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面

.第9頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三例2.

研究方程解:配方得此方程表示:說明:都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.第10頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三3、柱面的方程引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點第11頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三定義.平行定直線l并沿定曲線C

移動的直線形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.第12頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2.母線第13頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習(xí)1.指出下列方程的圖形:第14頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三定義2.一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:第15頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到第16頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖將代入第17頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？第18頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三例3.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方第19頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三例4.求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為第20頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三四、二次曲面三元二次方程就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)第21頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓第22頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))第23頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三2.拋物面(1)橢圓拋物面(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）第24頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為平面上的截痕情況:雙曲線:(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）第25頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:第26頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面第27頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①第28頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第36頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第38頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第39頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第40頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第41頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第42頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第43頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第44頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第45頁，共53頁，2023年，2月20日，星期三第46頁，共53頁，2023年，2月2