第一章 數(shù)值分析與科學(xué)計算引論

第一章數(shù)值分析與科學(xué)計算引論第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)值分析研究的對象與特點

誤差的來源與誤差分析的重要性誤差的基本概念

數(shù)值運算中誤差分析的方法與原則小結(jié)

第一章緒論第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三算法的研究和應(yīng)用正是本課程的主題！現(xiàn)代科學(xué)研究的三大支柱理論研究科學(xué)實驗科學(xué)計算計算數(shù)學(xué)第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三21世紀(jì)信息社會的兩個主要特征：“計算機無處不在”“數(shù)學(xué)無處不在”21世紀(jì)信息社會對科技人才的要求：--會“用數(shù)學(xué)”解決實際問題--會用計算機進行科學(xué)計算第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)數(shù)值分析研究的對象與特點

數(shù)值分析也常稱為計算方法，或者叫數(shù)值計算方法。是研究用計算機解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論，是把理論與計算機緊密結(jié)合起來，著重研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論。它的內(nèi)容包括：第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三建立數(shù)學(xué)模型選取數(shù)值計算方法程序設(shè)計上機計算求得結(jié)果科學(xué)計算解題過程實際問題第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)值分析具有的特點：第一：面向計算機；第二：有可靠的理論分析；第三：有較好的計算復(fù)雜性；第四：有數(shù)值試驗；第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)誤差來源與誤差分析的重要性

模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型過程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對問題作一些簡化,因此和實際問題有一定的區(qū)別；觀測誤差在建模和具體運算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有誤差；由于計算機只能完成有限次算術(shù)運算和邏輯運算,因此要將有些需用極限或無窮截斷誤差過程進行的運算有限化,對無窮過程進行截斷,這就帶來誤差；舍入誤差在數(shù)值計算過程中還會遇到無窮小數(shù),因計算機受到機器字長的限制,它所能表示的數(shù)據(jù)只能有一定的有限位數(shù),如按四舍五入規(guī)則取有限位數(shù),由此引起的誤差。第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三如:若將前若干項的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差Taylor展開第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三過失誤差由于模型錯誤或方法錯誤引起的誤差.這類誤差一般可以避免第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)值計算中除了過失誤差可以避免外,其余誤差都是難以避免的.數(shù)學(xué)模型一旦建立,進入具體計算時所考慮和分析的就是截斷誤差和舍入誤差經(jīng)過大量的運算之后,積累的總誤差有時會大得驚人,因此如何控制誤差的傳播也是數(shù)值方法的研究對象.第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)誤差的基本概念1．絕對誤差與絕對誤差限例2:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，大約為1.45米，求1.45米的絕對誤差。1.45米的絕對誤差=？不知道！是近似值的絕對誤差,簡稱為誤差。

定義1：設(shè)x是準(zhǔn)確值，x*為x的一個近似值，稱

（1.5）第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三但實際問題往往可以估計出不超過某個正數(shù)，即，，則稱

為絕對誤差限，有了絕對誤差限就可以知道x范圍為即x落在內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫法來刻劃x*的精度。第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三2．相對誤差和相對誤差限（1.6）定義2：設(shè)x是準(zhǔn)確值，x*是近似值，稱滿足

則稱為的相對誤差限。

為近似值的相對誤差，相應(yīng)地，若正數(shù)，relativeerror第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三絕對誤差限相對誤差限往往未知代替相對誤差代替相對誤差限因此第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例1.解:第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例2.解:可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對誤差限將不超過其末位數(shù)字的半個單位第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三定義有6位有效數(shù)字有4位有效數(shù)字有8位有效數(shù)字只有4位有效數(shù)字3有效數(shù)字第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三且因此,可根據(jù)上述分析對有效數(shù)字有如下結(jié)果:或?qū)懗蓸?biāo)準(zhǔn)形式：第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例3.求下列四舍五入近似值的有效數(shù)字個數(shù).3個3個4個4個3個5個第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三定理2.證明:第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三即則有則由定理1.可知第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例6:解:第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三定理3．該結(jié)論可以參照定理2的證明，請同學(xué)們自證第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例7.解:則有定理3,相對誤差滿足即應(yīng)取4位有效數(shù)字,近似值的誤差不超過0.1%.第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三即第四節(jié)數(shù)值運算中的誤差分析方法與原則第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三絕對誤差增長因子相對誤差增長因子思考:試分析四則運算、乘方和開方的誤差傳播規(guī)律第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三關(guān)于算法的數(shù)值穩(wěn)定性的實際例子

例8.計算定積分解:第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三誤差放大5千倍!但如果利用遞推公式第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三因此在計算公式選用及算法設(shè)計時,應(yīng)注意以下原則1.四則運算中的穩(wěn)定性問題(1)防止大數(shù)吃小數(shù)這一類問題主要由計算機的位數(shù)引起假如作一個有效數(shù)字為4位的連加運算誤差會放大誤差不會放大第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三誤差的傳播與積累例：蝴蝶效應(yīng)——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺風(fēng)來了？！NYBJ以上是一個病態(tài)問題第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三而如果將小數(shù)放在前面計算在作連加時,為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(2)作減法時應(yīng)避免相近數(shù)相減兩個相近的數(shù)相減,會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重損失由于在算法設(shè)計中,若可能出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減,則改變計算公式,如使用三角變換、有理化等等第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例9.解方程解:由中學(xué)知識韋達定理可知,方程的精確解為而如果在字長為8,基底為10的計算機上利用求根公式機器吃了因此在計算機上第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三上式是解二次方程的數(shù)值公式第38頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(3)避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù)由誤差傳播的估計式在算法設(shè)計時,要避免這類算法在