第2章離散時(shí)間系統(tǒng)變換域分析

北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁1第二章

離散時(shí)間系統(tǒng)變換域分析1、變換域是指什么？2、有哪幾種常用的變換域？3、從何種層面描述變換域中的離散系統(tǒng)？4、常見(jiàn)的LTI在變換域中有何獨(dú)特的方面？北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁2第二章

離散時(shí)間系統(tǒng)變換域分析2.1序列的傅立葉變換2.2Z變換及其性質(zhì)2.3Z、L、F變換之間的關(guān)系2.4離散時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)2.5LTI系統(tǒng)幅相特性分析北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁3定義？基本序列的DTFT?其主要性質(zhì)？2.1 序列傅立葉變換(DTFT)北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁4一、DTFT及逆變換定義序列的傅立葉變換（DTFT)用來(lái)表示離散時(shí)間非周期信號(hào)及其傅立葉頻譜之間的關(guān)系：正變換：反變換:由于三角函數(shù)的周期性，反變換右邊的積分區(qū)間可以為任何一個(gè)周期區(qū)間。

北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁5二、DTFT反變換推導(dǎo)北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁6（一）單位沖激序列（二）單位常數(shù)序列（三）單位階躍序列（四）指數(shù)序列三、典型序列的傅立葉變換：北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁7四、序列傅立葉變換的主要性質(zhì)1、線性2、時(shí)域平移->頻域調(diào)制3、時(shí)域調(diào)制->頻域平移4、時(shí)域翻褶北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁85、時(shí)域相乘6、時(shí)域卷積7、帕塞瓦爾定理北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁9共軛對(duì)稱(chēng)序列：共軛反對(duì)稱(chēng)序列：可以證明：共軛反對(duì)稱(chēng)序列的性質(zhì)如何？？8、DTFT的對(duì)稱(chēng)性北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁10序列共軛分量的傅立葉變換

與序列傅立葉變換的共軛分量的關(guān)系北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁11同理可得：

結(jié)論：對(duì)實(shí)序列而言，其傅立葉變換是共軛對(duì)稱(chēng)的，即：實(shí)序列的傅立葉變換的

實(shí)部是偶對(duì)稱(chēng)，虛部是奇對(duì)稱(chēng)；

幅度是偶對(duì)稱(chēng)，幅角是奇對(duì)稱(chēng)。

北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁12北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁13北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁142.2Z變換及性質(zhì)一、Z變換定義二、Z變換收斂域三、Z變換性質(zhì)定理四、Z反變換北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁15設(shè)序列為x(n)，則冪級(jí)數(shù)：

稱(chēng)為序列x(n)的Z變換，其中z為變量。

也可記作：當(dāng)冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，Z變換才有意義。Z變換收斂的所有z值的集合稱(chēng)為收斂域。在收斂域內(nèi)，Z變換處處解析，不含任何奇異點(diǎn)。一、Z變換定義及收斂域北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁16根據(jù)級(jí)數(shù)理論，冪級(jí)數(shù)收斂的充分且必要條件是該級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即要求：對(duì)于不同形式的序列，其收斂域的形式亦有所不同，分類(lèi)討論如下二、不同序列的收斂域北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁171、有限長(zhǎng)序列這類(lèi)序列僅在數(shù)軸上的有限區(qū)間內(nèi)具有有限值，在此區(qū)間之外，皆為零值。x(n)n北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁18其具體的Z變換為：X(z)為有限項(xiàng)級(jí)數(shù)之和，只要級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)有界，則級(jí)數(shù)就是收斂的。收斂域至少包括有限Z平面北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁19根據(jù)區(qū)間的不同，級(jí)數(shù)有可能在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)出現(xiàn)奇異點(diǎn)，故仍可細(xì)分為如下三種情況：1）、正半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)橛邢轟平面和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；2）、負(fù)半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)橛邢轟平面和原點(diǎn)；3）、跨原點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，則收斂域僅為有限Z平面；北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁20第一部分之所以括起來(lái)，意味著在某些n1的取值情況下，此部分有可能不存在。若此部分存在，則為一負(fù)半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)椴话o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有Z平面。第二部分是z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理可知，存在一個(gè)最小的收斂半徑，在此半徑外的任何點(diǎn)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。

2、右邊序列x(n)n北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁21右邊序列Z變換的收斂域至少?gòu)哪骋徊粸榱愕挠邢薨霃教幭蛲鈹U(kuò)張的有限Z平面；若，還要包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。時(shí)的右邊序列又稱(chēng)為因果序列，是最重要的一種右邊序列。因此，在無(wú)窮遠(yuǎn)處收斂是因果序列的重要特征。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁22x(n)n3、左邊序列若第一部分存在，則為正半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)椴话ㄔc(diǎn)的所有Z平面。第二部分是z的正冪級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理知，存在一個(gè)最大的收斂半徑，在此半徑內(nèi)的任何點(diǎn)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁23左邊序列的收斂域至少?gòu)哪骋徊挥邢薨霃教幭騼?nèi)收斂的圓形區(qū)域；在時(shí)（反因果序列），還包括原點(diǎn)。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁244、雙邊序列在全部時(shí)軸上皆有定義的序列，可以看作左邊序列和右邊序列之和（或者因果序列與反因果序列之和）。其收斂域應(yīng)該是正半軸序列與負(fù)半軸序列收斂域的重疊北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁25設(shè)第一項(xiàng)的收斂區(qū)域?yàn)椋海诙?xiàng)的收斂區(qū)域?yàn)椋海?/p>

1）、若,則雙邊序列Z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域：；

2）、若，則雙邊序列Z變換在Z平面上處處不收斂。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁26解：這是一個(gè)無(wú)窮項(xiàng)等比級(jí)數(shù)求和，由比例判定法可知，只有在，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂為：Ex:求Z變換及收斂域。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁27

Ex:求Z變換及收斂域。解：這是一個(gè)無(wú)窮項(xiàng)等比級(jí)數(shù)求和，由比例判定法可知，只有在，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂為：北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁28結(jié)論：不同的序列其Z變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以完全一致。對(duì)于一個(gè)序列而言，僅僅用其Z變換來(lái)表示是不夠充分的，必須同時(shí)給出其Z變換的收斂范圍，才能夠和原序列唯一對(duì)應(yīng)，這就充分說(shuō)明了收斂域的重要性。同一個(gè)Z變換函數(shù)，當(dāng)收斂域不同時(shí)，代表時(shí)軸上性質(zhì)不同的序列。對(duì)于僅具有三個(gè)極點(diǎn)的Z變換，可以代表四種序列。如下圖所示：北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁29

北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁30三、Z變換性質(zhì)定理1、線性需要注意的是若參與和運(yùn)算的序列在時(shí)域上不重合，則相加后的和序列的收斂域?yàn)楦鱾€(gè)序列的收斂域的交集若不滿(mǎn)足上述條件，則線性組合過(guò)程中兩個(gè)序列Z變換的零、極點(diǎn)可能會(huì)互相抵消，導(dǎo)致收斂域的擴(kuò)大。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁312、序列的移位序列的移位僅對(duì)有限長(zhǎng)、單邊序列（左邊序列、右邊序列）在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的是否收斂有影響。對(duì)于雙邊序列，由于它的收斂域?yàn)榄h(huán)形域，不包括原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以收斂域不發(fā)生變化。

北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁32在尺度變換中，若a為實(shí)數(shù)，則零、極點(diǎn)在Z平面上沿徑向運(yùn)動(dòng)；若a為單位復(fù)數(shù)，則零、極點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的園上旋轉(zhuǎn)；若a為任意復(fù)數(shù)，則零、極點(diǎn)既有徑向伸縮，又有角度旋轉(zhuǎn)。3、Z域尺度變換北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁334、序列線性加權(quán)（Z域求導(dǎo)）序列的線性加權(quán)對(duì)收斂域的影響與序列的移位相類(lèi)似，僅對(duì)有限長(zhǎng)、單邊序列（左邊序列、右邊序列）在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的是否收斂有影響。對(duì)于雙邊序列，由于它的收斂域?yàn)榄h(huán)形域，不包括原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以收斂域也不發(fā)生變化。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁345、共軛序列此處要注意，原序列Z變換極點(diǎn)的共軛是共軛序列Z變換的極點(diǎn)。由于共軛關(guān)系僅關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，不影響極點(diǎn)矢徑的長(zhǎng)度，因而不改變收斂半徑和收斂域。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁356、序列翻褶序列的翻褶導(dǎo)致Z變換的收斂域以單位圓為基準(zhǔn)作了鏡像映射北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁367、初值定理（因果序列）北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁378、終值定理若序列為因果序列，并且極點(diǎn)處于單位圓以?xún)?nèi)（若恰好在單位圓上，則最多可在z=1處有一階極點(diǎn)），則：北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁38北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁399、時(shí)域累加（因果序列）北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁4010、時(shí)域卷積和若時(shí)域?yàn)榫矸e和，則Z域是相乘，乘積的收斂域是X(z)收斂域和H(z)收斂域的交集。需要注意的是，上述結(jié)論是在兩個(gè)卷積和序列無(wú)零、極點(diǎn)對(duì)消的情況下才成立。若出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。

利用卷積和定理，可以求得LTI系統(tǒng)的響應(yīng)北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁4111、時(shí)域相乘（Z域復(fù)卷積）北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁42

證明：北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁43為了使復(fù)卷積數(shù)學(xué)意義明顯，令圍線為一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓，即：則復(fù)卷積公式變?yōu)椋河捎诜e分是在到的周期上進(jìn)行的，所以稱(chēng)為周期卷積。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁4412、帕塞瓦定理北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁45若積分圍線取為單位圓，即：則有：再進(jìn)一步，若令，則有：

上式表明：時(shí)域中序列的能量與變換域中頻譜的能量是一致的。

北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁46從給定的Z變換及其收斂域中還原出原始序列x(n)，稱(chēng)為Z反變換Z反變換的實(shí)質(zhì)是求X(Z)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，通常有三種方法：長(zhǎng)除法、部分分式法、留數(shù)法（圍線積分法）。四、

Z反變換北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁47部分分式法在實(shí)際應(yīng)用中，一般X(z)是z的有理分式：A(z)及B(z)都是變量z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，并且沒(méi)有公因式，則可展成部分分式形式然后利用Z變換的性質(zhì)定理及典型函數(shù)的Z變換求每一個(gè)部分分式的z反變換，將各個(gè)反變換相加起來(lái)，得到所求序列，即：北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁48例題：求x(n)解：由可知有兩個(gè)一階極點(diǎn)，可展成由所給的收斂域可知，對(duì)應(yīng)第一極點(diǎn)z1=2為反因果序列，對(duì)應(yīng)第二極點(diǎn)z2=0.5為因果序列,所以原始序列為：北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁492.3

Z、L、F變換之間的關(guān)系已經(jīng)討論的Z、L、F定義如下：北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁50實(shí)際上，上面的四種變換可以分為兩大類(lèi)：

1)連續(xù)域變換（傅立葉變換、拉普拉斯變換）

2)離散域變換（Z變換、序列傅立葉變換）。有了上面的定義和條件不難看出：（1）單位圓上的Z變換就是DTFT；（2）虛軸上的拉氏變換就是傅立葉變換；（3）連續(xù)域和離散域變換之間？北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁51連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的Z變換北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁52連續(xù)信號(hào)為，理想采樣信號(hào)為，采樣后的信號(hào)為，其對(duì)應(yīng)的離散序列為，則：著重研究第三類(lèi)關(guān)系北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁53北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁54對(duì)比序列的Z變換：容易看出，當(dāng)：采樣序列的Z變換就等于其理想采樣信號(hào)的拉氏變換，其間的關(guān)系就是從復(fù)S平面到復(fù)Z平面的映射（多值映射）。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國(guó)梁55下面，我們來(lái)討論這一映射。令：

將其代入映射關(guān)系式中可得：復(fù)變量Z的模值只與S的實(shí)部相對(duì)應(yīng),其角頻率W只與S的虛部