微積分期末測試題(附答案)

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦微積分期末測試題(附答案)

一單項挑選題(每小題3分,共15分)

1.設(shè)lim()xa

fxk→=,那么點x=a是f(x)的().

①延續(xù)點②可去間斷點③跳動間斷點④以上結(jié)論都不對

2.設(shè)f(x)在點x=a處可導(dǎo),那么0()(2)

lim

hfahfahh

→+--=().

①3()fa'②2()fa'③()fa'④1

()3

fa'

3.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1],則復(fù)合函數(shù)f(sinx)的定義域為().①(-1,1)②,22ππ??

-

???

?③(0,+∞)④(-∞,+∞)4.設(shè)2

()()

lim

1()

xa

fxfaxa→-=-,那么f(x)在a處().①導(dǎo)數(shù)存在,但()0fa'≠②取得極大值③取得微小值④導(dǎo)數(shù)不存在5.已知0

lim()0xxfx→=及(),則0

lim()()0xxfxgx→=.

①g(x)為隨意函數(shù)時②當(dāng)g(x)為有界函數(shù)時③僅當(dāng)0

lim()0xxgx→=時④僅當(dāng)0

lim()xxgx→存在時

二填空題(每小題5分,共15分)

1.sinlim

sinxxx

xx

→∞-=+____________.

2.3

1lim(1)xxx

+→∞+=____________.

3.()fx=那么左導(dǎo)數(shù)(0)f-'=____________,右導(dǎo)數(shù)(0)f+'=____________.三計算題(1-4題各5分,5-6題各10分,共40分)1.1

11

lim(

)ln1

xxx→--2.tt

xeyte

?=?=?,求22dydx

3.ln(yx=,求dy和22dy

dx

.

4.由方程0xy

e

xy+-=確定隱函數(shù)y=f(x),求

dydx

.5.設(shè)1

11

1,11nnnxxxx--==+

+,求limnxx→∞.

6.lim(32xx→∞

=,求常數(shù)a,b.

四證實題(每小題10分,共30分)1.設(shè)f(x)在(-∞,+∞)上延續(xù),且()()

lim

lim0xxfxfxxx

→+∞

→-∞==,證實:存在(,)ξ∈-∞+∞,使()0fξξ+=.

2.若函數(shù)f(x)在[a,+∞]上可導(dǎo),對隨意x∈(a,+∞),有()fxM'≤,M是常數(shù),則

2()

lim

0xfxx

→+∞

=.3.證實函數(shù)1

sinyx

=在(c,1)內(nèi)全都延續(xù),但在(0,1)內(nèi)非全都延續(xù).

答案

一單項挑選題(每小題3分,共15分)1.④2.①3.④4.③5.②二填空題(每小題5分,共15分)

1.sinlim

sinxxx

xx

→∞-=+__1_.

2.3

1lim(1)xxx

+→∞+=__e_.

3.()fx=那么左導(dǎo)數(shù)(0)f-'=__-1__,右導(dǎo)數(shù)(0)f+'=__1__.三計算題(1-4題各5分,5-6題各10分,共40分)

1

11111111,lim(

)ln1

1

111(1)ln1:lim()limlimlim(1)ln1(1)lnln1ln1

limln11

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x→→→→→→

===+-

==∞+-解2.tt

xeyte?=?=?,求22dydx2

21

()(1)()1

tttt

dydydtetetdxdtdxeddydydtdxdxdxedt

=?=+?=+==解:

3.ln(yx=,求dy和22dy

dx

.

22:ln(()

,

122dydxxdxddxdydxdxdx==

+=+====-=解

4.由方程0xy

e

xy+-=確定隱函數(shù)y=f(x),求

dy

dx

.:()0,(),xyxyxyxy

xy

dexydedxyedxdyydxxdydyyedxex

+++++-==+=+-=-解方程兩邊求微分得即所以

5.設(shè)1

11

1,11nnnxxxx--==+

+,求limnxx→∞.

211111

111111

1

1(1)1)11(1)(1)0,(1)(1)(1)(1)

12,1limnkkkkkkkkkkkkkknkkkknnnnxxxnkxxxx

nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxx--+>=>=+-=+-++++-+-=

=>++++=+

≤+證實：先證{}單調(diào)增強(qiáng).明顯，設(shè)時成立，即，當(dāng)初，（所以{}單調(diào)增強(qiáng)；

明顯所以由單調(diào)增強(qiáng)有界數(shù)列必有極限得{}收斂.

令0

10000

lim,limlim(1)111lim111,().122

n

n

nnnnnnnn

nxxxaxxxaaaaa→+→→→→==+=+++=+

==+則即得

6.lim(32xx→∞

=,求常數(shù)a,b

.

:0,lim(3lim293,90,2,9,3.

xxxxaxxaxbx

aa

bb

→∞

→∞→∞>-====

+-====--解明顯所以得四證實題(每小題10分,共30分)1.設(shè)f(x)在(-∞,+∞)上延續(xù),且()()

lim

lim0xxfxfxxx

→+∞

→-∞==,證實:存在(,)ξ∈-∞+∞,使()0fξξ+=.

()

:lim

0,1,0,,()

,(),(1)()(1)0,,()0,()0.0,()0.()(,),[,],()()[,](xfxXxXx

fxxfxxx

xfxxxbXxbfxxfbafafxabFxfxxabFεεεεεε→+∞

=>≥--∞+∞=-證實由于所以對0∈-∞+∞=+=所以由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)性質(zhì)零點存在定理得存在使得

2.若函數(shù)f(x)在[a,+∞]上可導(dǎo),對隨意x∈(a,+∞),有()fxM'≤,M是常數(shù),則

2

()

lim

0xfxx→+∞=.

121212222

:()(,)(),,,(,),()().,(,),()().()()()()

lim

0,lim0,lim0.

,0,()()xxxfxafxMxxafxfxMxxbaxafxfbMxbfbfxfxfbxxxxbfxfbxε→+∞→+∞→+∞'+∞≤∈+∞-≤->∈+∞-≤--===>>-證實由于在區(qū)間滿足所以滿足李普希茲條件即:對隨意的有令則有成立我們知故要證只需證時對隨意給定的要使

2222

2

2

()()222,max{,},

()()

,