第三節(jié)直線的投影

第三節(jié)直線的投影2023/5/31第1頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三第三章直線的投影下一頁返回上一頁§3-1直線的投影一、直線投影圖的畫法

直線的空間位置是由線上任意兩點決定的。畫直線的投影時，可根據(jù)“直線的投影一般還是直線”的性質(zhì)，在直線上任取兩點，畫出該點的投影后，再將其同面投影連接起來即為直線的投影。

同面投影：幾何形體在同一投影面上的投影。比較A、B兩點坐標(biāo)值，可知AB的空間位置。第2頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三HVWXZYABaba′b′b〞a〞直線的三面投影b,,a,,abb,a,xzOyWyH作圖：1.作出直線上兩點的投影2.用直線分別連接其各同面投影。第3頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三Ｐ二、直線相對于一個投影面的的投影特性ＡＡＡＢＢＢaaabb(b)直線的投影特性1．AB∥P直線實形性2．AB∠P直線類似性3．AB⊥P直線重影性或積聚性第4頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

三、直線在三投影面體系中的投影特性直線對投影面的相對位置可分為三類（1）不平行于任何一個投影面的直線，稱為一般位置直線（2）平行于一個投影面的直線，稱為投影面平行線（3）垂直于一個投影面（平行于另外兩個投影面）的直線稱為投影面垂直線

(2)、(3)為特殊位置直線，下面分別予以討論。

第5頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

投影面平行線

正平線//Ｖ面水平線//Ｈ面?zhèn)绕骄€//Ｗ面

平行于一個投影面傾斜于另外兩個投影面。平行線分三種：第6頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

水平線（//Ｈ面、傾斜Ｖ和Ｗ面）XZYOaababb

Xa

b

ab

baOzYHYWAB投影特性：1、正面和側(cè)面投影比實長短，abOX;abOYW2、ab=AB反映實長，傾斜于OX軸，反映、

角。第7頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三XZYO正平線（//Ｖ面、傾斜Ｈ和Ｗ面）aababbXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、水平和側(cè)面投影比實長短，abOX;abOZ2、ab=AB反映實長,傾斜于OX軸，反映、角第8頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三XZYO側(cè)平線（//Ｗ面、傾斜Ｖ和Ｈ面）XZa

b

bbaOYHYWaaa

b

a

bbAB投影特性：1、正面和水平投影比實長短，abOZ;abOYH2、ab

=AB反映實長,傾斜于OZ軸，反映、角第9頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三投影面平行線的投影特性（1）直線在所平行的投影面上的投影表達實長（2）其它投影平行于相應(yīng)的投影軸（3）表達實長的投影與投影軸所夾的角等于空間直線對相應(yīng)投影面的傾角。第10頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三投影面垂直線側(cè)垂線⊥Ｗ面正垂線⊥Ｖ面鉛垂線⊥Ｈ面垂直于一個投影面平行于另外兩個投影面。垂直線分三種：第11頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三OXZYb

a(b)a

abZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、水平投影ab積聚成一點2、ab//OZ;ab//

OZ；

abOX;ab

OY

3、ab=ab=AB反映實長鉛垂線（Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）AB第12頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三正垂線（Ｖ面、//Ｈ面、//Ｗ面）OXZYbababa投影特性：1、正面投影ab積聚成一點。2、ab//OY;ab//OY；

ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映實長。ABzXab

baOYHYWab第13頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三側(cè)垂線（Ｗ面、//Ｖ面、//Ｈ面）OXZYAB投影特性：1、側(cè)面投影ab積聚成一點2、ab//

OX

;ab//

OX；ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映實長。baababZXabbaOYHYWab第14頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三投影面垂直線的投影特性：

（1）直線所垂直的投影面上的投影積聚一點，有積聚性

（2）其它兩面投影反映實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸下一頁返回上一頁第15頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三從屬于V面的直線ZXabaOYHYWabbOXZYABbbabaa第16頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三從屬于V投影面的鉛垂線OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa第17頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

從屬于OX軸的直線ZXabaOYHYWa(b)bOOXZYABbba(b)aa第18頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三一般位置直線傾斜于三個投影面的直線。直線與它的水平投影、正面投影、側(cè)面投影的夾角，分別稱為該直線對投影面Ｈ、Ｖ、Ｗ的傾角，用、、表示。第19頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三OXZY一般位置直線的投影特性ABbbabaa投影特性：1、ab、ab、ab均小于實長2、ab、ab、ab均傾斜于投影軸

3、不反映

、

、

實角與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。ZXabaOYYabb第20頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

直角三角形法求解實長、傾角。1求直線的實長及對水平投影面的夾角角2求直線的實長及對正面投影面的夾角角3求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角角

§3-2

一般位置線段的實長

及其對投影面的傾角第21頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三|zB-zA

|ABABbbaaboXO1求直線的實長及對水平投影面的夾角角XaabbABab|zB-zA|AB|zB-zA|ab|Z第22頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三ABbbaaCXO2求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|第23頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三XZYO3求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角

角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|第24頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三直線實長直線實長直線實長α水平投影長△Z正面投影長側(cè)面投影長△Y△Xβγ距離差實長投影傾角:H投影,Z，實長:V投影,Y，實長:W投影,X，實長第25頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三用直角三角形法求線段的實長XOaba′b′b0b01Yb-YaZb-ZaZb-ZaαβAB實長AB實長Yb-YaXOaba′b′abAB實長α第26頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例：已知EF=30，試完成如圖所示的e’f’

下一頁返回上一頁Xee'fα△Zf'第27頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例已知正平線AB＝30mm、

＝30°、AB距Ｖ面20mm、A點在B點的右上方，試作該直線的兩面投影。XO30°b′a′3020ba第28頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三試用直角三角形法確定直線AB的實長及對投影面V的傾角。例題ababXOAB第29頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三投影長度a'b'Y實長投影長度a'b'實長例題

已知線段AB＝30毫米及其投影ab和a，試求出ab。baab第30頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例題已知線段的實長AB，求它的水平投影。a|zB-zA|abab|yA-yB|ABABab|zB-zA|bXabABa第31頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三§3-3直線上點的投影特性和直線的跡點ＰＡＢＣabc１２１２一、直線上點的投影特性

點在直線上，點的各個投影必在該直線的同面投影上，并且符合點的投影特性。直線上的點分割直線之比，在其投影后保持不變。

利用上述性質(zhì)，可以在直線上求點和分割線段成定比。ABbbaaXOccCc第32頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三HaZVWXYABba′b′b〞a〞Cc′c〞cXYHYWOZa′b′abb〞a〞cc′c〞第33頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三10b,aefbf,e,a,例1E點在AB直線上F點不在AB直線上判斷E、F點是不是在直線AB上。第34頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例2已知點C在AB上，求c’，c’’。XYHYWOZa′b′abb〞a〞cc′c〞第35頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

例3求點C使AC：CB=1：4如圖：解：因AC：CB=1：4根據(jù)直線上點的投影特性可得ac：cb=a’c’：c’b’=1：4這樣只要將aba’b’分成5等分后取一份即可求得c，c’。15下一頁返回上一頁Xb’a’bacc’B0第36頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例4判斷點D是否在直線AB上

若D在AB上，那么應(yīng)有a’d’：d’b’=ad：db因為a’B1=aba’D1=ad，D1d’不平行B1b’所以D不在AB上。下一頁返回上一頁XB1da’bab’d’D1第37頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三試判斷K點是否在直線EF上。feefkkXOYZVfefeefEFKkkkXO直接判斷第38頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例題5已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV第39頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三已知K點在直線AB上，試求作K點的H面投影。ababXOk'k例6第40頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三二、直線的跡點

直線和投影面的交點叫跡點。直線和水平面的交點叫水平跡點，通常用M(m，m‘，m”)表示和正面的交點叫正面跡點，

N(n，n`，n”)和側(cè)面的交點叫側(cè)面跡點。

L(l，l`，l”)

在兩投影面系中的直線，最多只有兩個跡點。跡點是直線和投影面的共有點，它的投影同時具有直線上的點和投影面內(nèi)的點的投影特性。根據(jù)這些特點可以求跡點的投影。第41頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三ＶHa′m′b′XabM(m)ABnN(n′)Xaa′m′bM(m)nb′N(n′)第42頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

例4如圖所示、求作直線AB的跡點M，N的投影圖解：若M為水平跡點，由于M在H面內(nèi)，m必與M重合；ZM=0m’必在X軸上，又因為M在AB上，m’必在a’b’或其延長線上，m必在ab或其延長線上。同理N為V面內(nèi)的點n’表達N的位置，且yN=0n必是X軸與ab或其延長線的交點。作圖方法是：（1）將a’b’或ab延長與X軸交于m’或n（2）在ab或a’b’上求出m或n’下一頁返回上一頁Xm′nN(n′)aa′bb′M(m)第43頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三§3-4兩直線的相對位置

一、兩直線平行二、兩直線相交三、兩直線交叉第44頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三兩直線的相對位置Va'b'd'c'a'a'b'b'd'c'c'e'(f')AAABBBDCCCDEF平行兩直線相交兩直線交叉兩直線第45頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三XOV一兩直線平行5規(guī)則：若空間兩直線平行，則它們的各同面投影平行。abcdbacdABDCbadcbacdabcd同向、同比例第46頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三6不平行判斷空間兩直線是否平行。badcbacdXO平行cdcdghhg第47頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三XOYZVfefeefCDdccddc7EF第48頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三基本作圖8過已知點A作直線AB平行于已知直線CD。bacdcdab第49頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk二相交兩直線

交點K的三面投影符合點的投影規(guī)律。第50頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三10dcaba'b'c'd'c''d''b''a''k'kk''投影圖利用投影判兩斷直線是否相交？e'f'efg'h'ghe'f'第51頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三基本作圖過已知點作直線與已知直線相交。11答案有多少個？關(guān)鍵問題是什么？交點。無數(shù)個。第52頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三c'd'cd1220mmb'k'a'答案有多少個？無數(shù)個。abk舉例

如圖所示，作一條與V面相距20mm并與已知直線CD相交的直線AB。x第53頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三dd'kk'aa'bb'cc'??例：過C點作水平線CD與AB相交。先作CD的正面投影第54頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三三交叉兩直線空間既不平行又不相交的二直線為交叉直線。bXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21交叉兩直線的同面投影可能相交，但不符合空間點的投影規(guī)律。第55頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三aa'bb'cc'dd'cdcdghhg第56頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三XOYZVfefeefCDdccddc7EF第57頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三判斷交叉兩直線重影點的可見性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。

前遮后、上遮下、左遮右上遮下前遮后第58頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三aa'bb'cc'dd'

交叉兩直線投影的交點并不是空間兩直線真正的交點，而是兩直線上相應(yīng)點投影的重影點。

11'22'33'44'()()第59頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三基本作圖過已知點作直線與已知直線交叉。cdc'd'a'abb'15能否過A點隨意作線呢？答案有多少個？無數(shù)個。第60頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例題判斷兩直線的相對位置dacboYWYHzXaacddcbb第61頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例題判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c1第62頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例：判斷兩直線的相對位置。交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩線?！遖b與cd在一直線上，而a'b'∥c'd'，∴兩直線平行?！逤D為側(cè)平線，利用點分割線段成比例進行判斷。為交叉兩直線。OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'Emk第63頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例：已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水平投影m，試作一直線MN∥CD并與直線AB相交于N點。nn'm'作圖：過m作mn∥cd，并與ab交于n；由n求出n'；過n'作n'm'∥c'd'，求得m'。aa'bb'cc'dd'mOX第64頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例題判斷兩直線重影點的可見性bbcddcXaa3(4)34121(2)第65頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

§3-4直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。第66頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三一、垂直相交的兩直線的投影AHBCacbcXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有abac第67頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三二、交叉垂直的兩直線的投影定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。第68頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三二、交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB垂直于MN,