蘇教版-必修二-第一章 立體幾何初步-1.3 空間幾何體的表面積和體積公開課

《空間幾何體的表面積與體積》學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)根據(jù)新的課程理念的要求，要“用教材教”，而不能一味地“教教材”．那么，對于《立體幾何初步》這一章的第3節(jié)《空間幾何體的表面積和體積》來說，在學(xué)習(xí)的過程中，怎樣準(zhǔn)確地把握教與學(xué)的尺度呢？本章內(nèi)容是義務(wù)教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)與發(fā)展，重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力．為了符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的興趣，增進(jìn)學(xué)生對幾何本質(zhì)的理解，本章在內(nèi)容的選編及內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，與以往相比有較大的變化．首先，通過觀察和操作，使學(xué)生了解空間簡單幾何體（柱、錐、臺、球）的結(jié)構(gòu)特征，以此作為發(fā)展空間想象能力的基本模型；然后，通過歸納和分析，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識和理解空間的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，作為思維辨證的基礎(chǔ)．由于幾何圖形的面積和體積的計算需要應(yīng)用垂直的概念，因而這一部分內(nèi)容放入本章最后一節(jié)．本章內(nèi)容的設(shè)計遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，強(qiáng)調(diào)借助實物模型，通過整體觀察、直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次地揭示空間圖形的本質(zhì)；重視合情推理和邏輯推理的結(jié)合，注意適度形式化；倡導(dǎo)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，幫助學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間想象能力．二、知識點(diǎn)撥《空間幾何體的表面積和體積》這一節(jié)，新教材沒有像以往那樣重在介紹公式的推導(dǎo)過程，而是側(cè)重介紹了公式推導(dǎo)的思想方法，采用了“閱讀”的形式介紹了祖恒原理，讓學(xué)生體會祖恒原理和積分思想．為了增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，教材還通過“問題與建?！睓谀拷榻B了兩種體積計算的近似方法，既有利于提高學(xué)生的建模能力，又為學(xué)生解決生產(chǎn)、實踐中的實際問題提供了知識基礎(chǔ)和基本思想．教材內(nèi)容突出直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算等探索、研究空間幾何圖形的過程，涉及的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合思想、符號化與形式化思想、化歸思想等，涉及的一般科學(xué)方法主要有觀察、實驗、歸納、類比、分析、綜合、抽象等．本節(jié)內(nèi)容涉及到以下一些面積與體積公式：，，，，，，，雖然以上公式較多，但對于大多數(shù)公式學(xué)生并不感到陌生，教學(xué)中只需要讓學(xué)生初步了解公式推導(dǎo)的方法，體會祖恒原理和積分思想．另外，對展圖方法與割補(bǔ)法，也要在解題的過程中加以滲透．課本中例2介紹了把圓柱沿母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的思路；對于課本的例1，應(yīng)重點(diǎn)分析六角螺帽毛坯的結(jié)構(gòu)特征（正六棱柱挖去一個圓柱），滲透“割”與“補(bǔ)”的思想和方法．三、典例精析圖1除了課本中給出的典型例題外，還可適當(dāng)補(bǔ)充一些經(jīng)典的事例，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識立體幾何，學(xué)習(xí)好立體幾何．圖1例1正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，P是面對角線BC上一動點(diǎn)，Q是底面ABVF上一動點(diǎn)，則D1P+PQ的最小值等于____________．圖2分析：如圖2，由題意可知：D1P+PQ取最小值時，點(diǎn)Q一定是P在底面上的射影．因為D1P與PQ分別在兩個平面內(nèi)，所以把△BC1C沿BC1翻轉(zhuǎn)90°，使△BC1C與對角面ABC1D1在同一平面內(nèi)，因為PQ⊥BC，圖2所以當(dāng)D1、P、Q三點(diǎn)共線且與BC垂直時，D1P+PQ最小，即為D1Q1=圖3圖3點(diǎn)評：利用“展圖法”，成功地將立體幾何問題化歸成了平面幾何問題，從而使問題得到了很好的解決．例2如圖3，圓臺上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB=18，從AB中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到A點(diǎn)．（1）求繩子的最短長度；（2）求繩子最短時，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離．分析（1）要求繩子AM繞圓臺一周的最短長度，則可沿AB將圓臺的曲面展開，得扇環(huán)面（即將曲面問題轉(zhuǎn)化為平面問題），然后求出扇環(huán)面上AM’間的距離，AM’=，即繩子的最短長度為21．（2）要研究此時上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離，則需將扇環(huán)補(bǔ)充成扇形，這樣將BB’上的點(diǎn)到AM’的最短距離問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)S到AM’的最短距離（因為點(diǎn)S到BB’上的點(diǎn)的距離等于半徑SB）．故只需求出S到AM’的距離SQ，再減去半徑SP即可．即上底圓周上的點(diǎn)到繩子最短距離PQ=SQ－SP=SQ－SB=．OABCOABCD例3一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為A，則這個球的體積是____________________．分析：將正四面體ABCD“嵌入”到正方體中，使正四面體的六條棱分別是正方體六個面的面對角線（如圖），則球O與正四面體的六條棱都相切等價于球O與正方體的六個面都相切．易知正方體棱長為，所以球半徑為，故ABSCMABSCMN例4如圖，在正三棱錐S-ABC中，M、N分別為棱SC、BC的中點(diǎn)，并且MN⊥AM，若側(cè)棱長SA=，則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為（）A．B． C．32D．分析：由條件中的MN⊥AM，可以推得．圖5又由正三棱錐S-ABC中對棱互相垂直，得．所以SB⊥平面SAC，從而該正三棱錐的三個頂角都是直角．將該三棱錐補(bǔ)成正方體，使S成為正方體的一個頂點(diǎn)，則正三棱錐S-ABC的外接球也即