課件自動控制原理第5章nyquist stability criterion

評判一個控制系統(tǒng)，首先要看它是否穩(wěn)定。

Routh判據(jù)、根軌跡法可判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定及穩(wěn)定的相對程度。

Routh判據(jù)需要系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，根軌跡法也要知道系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布。

1932年H.Nyquist提出了利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性判別系統(tǒng)穩(wěn)定的方法。至今仍是研究系統(tǒng)穩(wěn)定及相對穩(wěn)定性的有效方法，稱為奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)TheNyquistCriterion。 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在實際中得到了廣泛地應(yīng)用。奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的映射定理mapping

theorem(

Cauchy‘stheorem)，又稱幅角定理principleoftheargument。該定理基于復(fù)平面的一種圍線映射contourmapping。5.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)

frequency-domainstabilitycriterion5.4.1映射定理設(shè)s為復(fù)數(shù)變量s=σ+jω

，F(xiàn)(s)=u+jv是s的有理分式rationalfraction函數(shù)，設(shè)其形式為假設(shè)F(s)是s的單值解析函數(shù)singlevaluedanalyticfunction，則對于s平面上的任一點，在F(s)平面上必定有一個對應(yīng)的映射點pointofmapping

。如果在s平面畫一條封閉曲線acontourΓs

，并使其不通過F(s)的任一奇點singularity，則在F(s)平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線

mapping

contour

ΓF

。復(fù)變函數(shù)F(s)的幅角可表示為:

假定在s平面上的封閉曲線Γs包圍了F(s)的一個零點(-z1)，而其它零、極點都位于封閉曲線之外，則當變點s沿著s平面上的封閉曲線Γs順時針方向移動一周時，向量(s+z1)的幅角增量Δ∠(s+z1)=-2π

弧度，而其它各向量的幅角增量為零。這時，函數(shù)F(s)幅角的增量為

這意味著在F(s)平面上的映射曲線ΓF沿順時針方向圍繞坐標原點變化一周，即F(s)的幅角(繞原點)變化了-2π

弧度。同理，若s平面上的封閉曲線Γs包圍F(s)的Z個零點，則在F(s)平面上的映射曲線ΓF將按順時針方向圍繞坐標原點變化Z周。推論：若s平面上的封閉曲線Γs包圍F(s)的P個極點，則當s沿著s平面上的封閉曲線Γs順時針移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線ΓF將按逆時針方向圍繞坐標原點變化P周。結(jié)論(映射定理

mapping

theorem

)

：如果s平面上的封閉曲線Γs以順時針方向包圍函數(shù)F(s)的Z個零點和P個極點，則F(s)平面上的映射曲線ΓF相應(yīng)地包圍坐標原點N次，且

Ｎ

=Z-P若Ｚ>P，N為正值，包圍方向順時針；若Ｚ<P，N為負值，包圍方向逆時針。例1:F(s)=2s+1，當s沿特定封閉曲線一周，試繪制在F(s)平面的映射曲線1-1j-jjABCDs-planej2j-2j-13ABCDF(s)-planeF(s)=2s+1F(s)=u+jvs=σ+jωF(s)=2s+1=

2(σ+jω)+1=2σ+1+j2ω=u+jvu=2σ+1,v=2ωF(s)=2s+1S=1/2為F(s)的一個零點映射封閉曲線順時針包圍F(s)的一個零點一周，映射曲線順時針包圍F(s)的原點一周Cauchy’sArgumentPrinciple例2:F(s)點幅值相角-110o-0.707+j0.7071.4728.70oj2.2426.57o0.707+j0.7072.8014.64o130o0.707-j0.7072.80-14.64o-j2.24-26.57o-0.707-j0.7071.47-28.70osplaneContourAvF(s)planeContourBv紅色封閉曲線redcontour沒有包圍零、極點藍色封閉曲線Bluecontour沒有包圍原點originExample3:AssumecomplexfunctionF(s)PointsMagnitudePhase-11180o-0.707+j0.7071135oj190o0.707+j0.707145o110o0.707-j0.7071-45o-j1-90o-0.707-j0.7071-135osplaneContourAvAzeroinsideclockwiseredcontour.BluecontourencirclesoriginonceclockwiseF(s)planeContourBvExample4:AssumecomplexfunctionF(s)PointsMagnitudePhase-11-180o-0.707+j0.7071-135oj1-90o0.707+j0.7071-45o110o0.707-j0.707145o-j190o-0.707-j0.7071135oApoleinsideclockwise

redcontour.Bluecontourencirclesoriginoncec.clockwiseF(s)planeContourBvsplaneContourAvclockwiseCounterclockwiseclockwiseCounterclockwiseContourBdoesnotcontainorigin1zeroinexteriorofcontourA1poleinexteriorofcontourA1zeroininteriorofcontourA1poleininteriorofcontourAContourBdoesnotcontainoriginContourBdoescontainoriginContourBdoescontainoriginCounterclockwiseGivenaclockwisecontourAinthes-planeandafunctionF(s)ThecontourcannotpassthroughpolesorzerosofthefunctionF(s)LetZbethenumberofzerosofF(s)insidecontourAP

bethenumber