2020年數(shù)學(xué)中考專題練習(xí)：《二次函數(shù)》（含答案）

《二次函數(shù)》

姓名：班級：考號：

第I卷(選擇題)

一.選擇題

1.如果將拋物線y=3*+2向右平移1個單位，那么所得新拋物線的頂點坐標(biāo)是()

A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(7,2)D.(1,-2)

2.若拋物線了=2*+。廣，的開口向上，對稱軸是直線x=/,點/(-2,%)、B(1,%)、

C(2,%)都在該拋物線上，則%、%、%的大小關(guān)系是()

A.B.%<%<%C.yz<y2<yxD.y2<y3<yx

3.已知拋物線/=2/+云+。經(jīng)過點(-4,0)，(-3,ri'),若用,局是關(guān)于x的一元二次方

程@/+云+。=0的兩個根，且面>。，則下列結(jié)論一定正確的??是()

A.n^-n>0B.m-n<0C.m*n<0D.—>0

4.關(guān)于拋物線y=*+6x，-8,下列選項結(jié)論正確的是()

A.開口向下

B.拋物線過點(0,8)

C.拋物線與x軸有兩個交點

D.對稱軸是直線x=3

5.拋物線尸af+b戶。與直線尸a*c(a#0)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

6.已知拋物線y=af+Z?x+c(ar0)上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表:

X-2-10123

y???-40220-4

下列結(jié)論：

①拋物線開口向下；

②當(dāng)x>l時，y隨x的增大而減小；

③拋物線的對稱軸是直線x=^

④函數(shù)y=a*+Z?x+c(a#0)的最大值為2.

其中所有正確的結(jié)論為()

A.①②③B.①③C.①③④D.①②③④

7.函數(shù)尸@/+2>產(chǎn)。的圖象如圖所示，關(guān)于x的一元二次方程aV+6戶c-4=0的根的情況

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.有兩個異號的實數(shù)根

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，點4(-2,-2),8(0,3),<7(3,3),〃(4,-2).y

是關(guān)于x的二次函數(shù)，拋物』線外經(jīng)過點4B,C.拋物線為經(jīng)過點氏C,D,拋物線外

經(jīng)過點4B,D,拋物線弱經(jīng)過點4C,〃，則下列判斷其中正確的是()

①四條拋物線的開口方向均向下；

②當(dāng)x<0時，四條拋物線表達式中的y均隨x的增大而增大；

③拋物線M的頂點在拋物線為頂點的上方；

④拋物線%與y軸交點在點8的上方.

BA

6x

O

AD

A.①②④、B.①③④C.①②③D.②③④

9.如圖，拋物線y=a*+bx+c與x軸的一個交點｛在點（-2,0）和（-1,0）之間（包

括這兩點），頂點C是矩形龐？外上（包括邊界和內(nèi)部）的一點，a取值范圍是（）

10.如圖，，A,B、C三點均在二次函數(shù)的圖象上，"為線段4。的中點，身痔y軸，且

MB=2.設(shè)4，兩點的橫坐標(biāo)分別為小t2（t2>t^,則t2-右的值為（）

A.3B.2-72C.2愿D.2旄

11.二次函數(shù)y=—的圖象如圖,對稱軸為直線*=2,若關(guān)于x的一元二次方程-e+mx

-t=0（t為實數(shù)）在l<x<6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（）

y

A.-12<f<3B.-5<t<3C.-12<^4D.-5<t<4

12.如圖，拋物線y=-f+2廣卬交不軸于點/0）和6（6,0）,交y軸于點G拋物線

的頂點為〃下列四個結(jié)論：

①點。的坐標(biāo)為（0,?）;

②當(dāng)m=0時，△48〃是等腰直角三角形；

③若a--1,則6=4；

④拋物線上有兩點戶（為，％）和。（如為），若為<1<的，且毛+々>2,則%>如

其中結(jié)論正確的序號是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

第n卷(非選擇題)

二.填空題

13.在關(guān)于x的二次函數(shù)y=a/+6x+c中，自變量x可以取任意實數(shù)，下表是自變量x與函

根約等于(結(jié)果保留小數(shù)點后一位小數(shù)).

a+

14.如圖，直線y1—kx+n(AWO)與拋物線y2~^bx+c(aWO)分別交于J(-1,0,B

(2,-3)兩點，則關(guān)于x的方程4A+〃=a*+6A+c的解為.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點/是拋物線y=a/-6a盧9/〃與y軸的交點，點5是

這條拋物線上的另一點，且軸，則以48為邊的等邊三角形的周長為.

16.如圖，一段拋物線：y=-x(^-3)(0WxW3),記為卬它與x軸交于兩點0，4；

將G繞4旋轉(zhuǎn)180°得到乙,交x軸于為將G繞4旋轉(zhuǎn)180°得到乙，交/軸于“

過拋物線G，G頂點的直線與乙、乙圍成的如圖中的陰影部分，那么該面積為

G

17.如圖為二次函數(shù)y=a/+6x+c圖象，直線y=t(t>0)與拋物線交于46兩點，A,B

兩點橫坐標(biāo)分別為如n.根據(jù)函數(shù)圖象信息有下列結(jié)論：

①a6c>0；

②若對于t>0的任意值都有m<-1,則心1；

③研n=1；

@m<-1；

⑤當(dāng)￡為定值時，若a變大,則線段46變長.

其中，正確的結(jié)論有(寫出所有正確結(jié)論的番號)

三.解答題

18.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=a(*+x-1)的圖象交于點/(I,a)

和點6(-1,-a).

(1)求直線48與y軸的交點坐標(biāo);

（2）要使上述反比例函數(shù)和二次函數(shù)在某一區(qū)域都是y隨著/的增大而增大，求a應(yīng)滿

足的條件以及x的取值范圍：

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為0,當(dāng)。在以45為直徑的圓上時，求a的值.

19.如圖，對稱軸為x=l的拋物線經(jīng)過力（-1,0）,B（2,-3）兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）一是拋物線上的動點，連接。。交直線AB于■點、Q,當(dāng)0是。尸中點時，求點尸的坐標(biāo):

（3）C在直線上，〃在拋物線上，￡在坐標(biāo)平面內(nèi)，以B,C,D,￡為頂點的四邊形為

正方形，直接寫出點￡的坐標(biāo).

20.某商場購進某種商品時的單價是40元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是60

元時，銷售量是300件，而銷售單價?每漲1元，就會少售出10件.

（1）設(shè)該種商品的銷售單價為x元（x>40）,請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量了件

和銷售該品牌玩具獲得利潤及元，并把結(jié)果填寫在表格中：

銷售單價（元）X

銷售量y（件）

銷售服裝獲得利潤/（元）

（2）在（1）的條件下，若商場獲得了4000元銷售利潤，求該商品銷售單價x應(yīng)定為多

少元？

（3）當(dāng)定價多少時，該商場獲得的最大利潤，最大利潤是多少元？

21.某坦克部隊需要經(jīng)過一個拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高8=6處跨

度AB=20m,有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH,相鄰兩支柱的距離均為5加

（1）以用的中點為原點，協(xié)所在直線為x軸，支柱切所在直線為y軸，建立平面直角

坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；

（2）若支柱每米造價為2萬元，求5根支柱的總造價；

（3）拱橋下面是雙向行車道（正中間是一條寬2加的隔離帶），其中的一條行車道是坦克

的行進方向，現(xiàn)每輛坦克長4處寬2m,高3加，行駛速度為24媯/A,坦克允許并排行駛,

坦克前后左右距離忽略不計，試問120輛該型號坦克從剛開始進入到全部通過這座長

1000/^的拱橋隧道所需最短時間為多少分鐘？

22.已知拋物線y=/+{2m-1）X-2R（勿＞0.5）的最低點的縱坐標(biāo)為-4.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,拋物線與x軸交于48兩點、（點/在點8的左側(cè)），與y軸交于點GD

為拋物線上的一點，如平分四邊形/I靦的面積，求點。的坐標(biāo)；

（3）如圖2,平移拋物線y=*+（2加-1）x-2m,使其頂點為坐標(biāo)原點，直線y=-2

上有一動點只過點夕作兩條直線，分別與拋物線有唯一的公共點反直線PE、PF不

與y軸平行)，求證：直線跖恒過某一定點.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系*行中，二次函數(shù)尸與x軸交于點4(10,0),點8

(1,2)是拋物線上點，點”為射線仍上點(不含。，6兩點)，且.物吐x軸于點"

(1)求直線加及拋物線解析式；

(2)如圖1,過點材作旅〃x軸，且與拋物線交于C,。兩點(〃位于。左邊)，若必=

例/，點0為直線式'上方的拋物線上點，求△68面積的最大值，并求出此時點。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,過點8作緲〃x軸，且與拋物線交于￡,在線段的上有點只在點〃從左

向右運動時始終有加-2?！?，過點戶作QVCLx軸，且7W與直線仍交于點當(dāng)〃與/V重

合時停止運動，試判斷在此運動過程中△歷出與48監(jiān)1能否全等，若能請求出全等時的利

長度，若不能請說明理由.

參考答案

選擇題

1.解：由將拋物線y=3f+2向右平移1個單位，得

y=3（x-1）2+2,

頂點坐標(biāo)為（1,2）,

故選：C.

2.解：拋物線尸aV+6戶c的開口向上，對稱軸是直線x=/,當(dāng)時，y隨x的增大

而增大，

:點4（-2,乂）、6（1,%）、C（2,%）都在該拋物線上，

.?.點力關(guān)于對稱軸■的對稱點是（3,力），

；?%<%<外，

故選：D.

3.解：..‘拋物線y=af+6A+c經(jīng)過點（-4,加），（-3,n）,xt,々是關(guān)于x的一元二次方

程a?+8Ac=0的兩個根，且-4<%<-3,*2>。，

〃<0或z?<0,z?>0,

,當(dāng)加>0,〃<0時;研〃的正負(fù)不好確定，ni-n>0,mn<0,—<0,

當(dāng)卬<0,〃>0時，帆〃的正負(fù)不好確定，m-n<0,mn<0,—<0,

由上可得，一定正確的結(jié)論是在<0,,

故選：C.

4.解：/、拋物線y=V+6x-8中a=l>,則拋物線開口方向向上，故本選項不符合題意.

B、x=0時，尸拋物線與y軸交點坐標(biāo)為（0,-8）,故本選項不符合題意.

C.A=62-4XlX8>0,拋物線與x軸有兩個交點，本選項符合題意.

D、拋物線y=/+6x-8=（廣3）2-17,則該拋物線的對稱軸是直線x=-3,故本選項

不符合題意.

故選：C.

5.解：/、一次函數(shù)y=aAc與y軸交點應(yīng)為（0,c）,二次函數(shù)y=a*+/+c與y軸交點

也應(yīng)為（0,c）,圖象不符合，故本選項錯誤;

B、由拋物線可知，a>0,由直線可知，a<0,a的取值矛盾，故本選項錯誤；

C,由拋物線可知，a<0,由直線可知，a>0,a的取值矛盾，故本選項錯誤；

D、由拋物線可知，a<0,由直線可知，a<0,且拋物線與直線與y軸的交點相同，故本

選項正確.

故選：D.

6.解：由表格可知，

a~b+c=O

1a+b+c=2

,c=2

'a=-l

解得，b=l

.c=2

拋物線的解析式為y=-*+戶2,

Va=-1<0,拋物線開口向下，①正確；

拋物線的對稱軸是直線”=等=[,故②③正確，

拋物線的頂點坐標(biāo)是（!，當(dāng),故④錯誤，

24

故選：4

7.解：由函數(shù)圖象可知，

函數(shù)y=ax^bx^c的最大值是4,

即4=對應(yīng)的矛的值只有一個，

即一元二次方程a^bx^c-4=0有兩個相等的實數(shù)根，

故選：A.

8.解：根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法可得：

1

2

--fzW

2x

8

5

--(

4

93一

516

--z+

8k289,

%=-(x-1)2+7=-產(chǎn)+2/6.

%與y軸交點為（0，6）.

①四條拋物線的開口方向均向下；

②當(dāng)x<0時，四條拋物線表達式中的y均隨X的增大而增大;

③拋物線外的頂點在拋物線為頂點的下方；

④拋物線出與y軸交點在點8的上方.

所以①②④正確.

故選：A.

9.解：?.,頂點。是矩形Z?%上(包括邊界和內(nèi)部)的一個動點，

二當(dāng)頂點。與〃點重合，頂點坐標(biāo)為(1,3),則拋物線解析式尸a(x-1).3,

.a(-2-l)2+340

-

ta(1~1)2+3>0

解得--4；

43

當(dāng)頂點c與尸點重合，頂點坐標(biāo)為(3,2),則拋物線解析式y(tǒng)=a(X-3)、2,

./a(-2-3)2+2<0

2

La(-l-3)+2>0

解得-

o25

???頂點可以在矩形內(nèi)部，

-law-義，

425

故選:A.

10.解：設(shè)6點坐標(biāo)為6(x,A2),

“"〃y軸，，監(jiān)=2,

*+2),

；/、B、C三點均在二次函數(shù)尸V的圖象上，

2)

：.A(匕2),C(t2,t2-

為線段47的中點，

2+2=+2

tl+t2—2x,tj12-^>

/.(t2-&)2=8,

?t?f

：.t2-tx=2y12'

故選：B,

11.解：?.?對稱軸為直線X=-cszV-=2,

2X（-JJ

??加=4,

.?.拋物線解析式為y=-f+4x,

當(dāng)x=2時，y—-4+8=4,即拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,4）,

???關(guān)于x的一元二次方程-f+儂-t=0（［為實數(shù)）在KVx<6的范圍內(nèi)有解，

，拋物線y=-f+4x與直線y=t在l<x<6的范圍內(nèi)有交點，

當(dāng)x=l時，y—-1+4=3；當(dāng)x=6時，y=-36+24=-12,

即1V/V6時，y的范圍為-12Vj<4,

.?.當(dāng)-12<tW4時，關(guān)于x的一元二次方程-^+mx-t—0（t為實數(shù)）在1<XV6的范

圍內(nèi)有解.

故選：C.

12.解：①：拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0,加，

C（0,/?）,

故①正確；

②當(dāng)加=0時，拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為（0,0）、（2,0）,

對稱軸方程為x—\,

...△4劭是等腰直角三角形，

故②正確；

③當(dāng)a=-1時;拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（-1,0）,

?.,對稱軸x=l,

，另一個交點坐標(biāo)為（3,0）,

Ab=-3,

故③錯誤；

④觀察二次函數(shù)圖象可知：

當(dāng)且%+々>2，則

故④正確.

故選：C.

二.填空題（共5小題）

13.解:由表格可知,

當(dāng)x=5時，y=-1.10<0,當(dāng)x=6時，y=0.14>0,

則關(guān)于x的一元二次方程af+6戶c=0的兩個實數(shù)根中，其中的一個實數(shù)根約等于5.8,

故答案為：5.8.

14.解：?直線%=%x+/?(AWO)與拋物線必=af+b戶c(。#0)分別交于4(-1,0),B

(2,-3),

當(dāng)外=為時，即公什〃=af+Ar+c,x的值是x=-1或x=2.

關(guān)于的方程的解為為=-1,X2—2,

故答案為：*=-1,々=2.

15.解：拋物線y=ax2-6aA^■9a+4的對稱軸是x=3,

作破1四于點〃，則4?=3,

貝ijAB=2AD=6,

則為邊的等邊△49C的周長為3X6=18.

故答案是：18.

16.解:當(dāng)x=^|時，尸左,則點G仔》同理點G(寫,》

由圖象可以看出陰影部分的面積等于△GQG的面積=/XGGX2%=/X6X5=

27

T,

故答案為：~~-

2

17.解：由圖象可知，a>0,c--2,

b--a<0,

/.abc>0；

.?.①正確;

/、6兩點關(guān)于x=-^■對稱，

2

研〃=1,

③正確；

a>0時，當(dāng)a變大，函數(shù)尸aV-ax-2的開口變小,

則18的距離變小，

⑤不正確；

若m<-1,n>2,

由圖象可知n>\,

④不正確；

當(dāng)a=l時，對于t>0的任意值都有m<-1,

當(dāng)a>l時，函數(shù)開口變小，則有m>-1的時候，

②不正確；

故答案①③.

三.解答題（共6小題）

18.解：（1）設(shè)直線的解析式為：尸kx+b,

由題意可得卜=k+b

（-a=-k+b

:?b=G,k=a,

/.直線力3的解析式為：y=ax,

.?.當(dāng)x=0時，y=0,

.?.直線股與y軸的交點坐標(biāo)(0,0)；

(2):反比例函數(shù)過點4(1,a),

...反比例函數(shù)解析式為：尸曳，

X

??,要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著X的增大而增大，

aV0.

'?,二次函數(shù)p=d(x+x-1)=a(^+―)2--a,

24

?，?對稱軸為：直線x=-

要使二次函數(shù)y=a(/+x-1)滿足上述條件，在k<0的情況下，x必須在對稱軸的左

邊，即■時，才能使得y隨著x的增大而增大.

綜上所述，a<0且xW-

(3)?.?二次函數(shù)y=a(9+x-l)=a(廣上)2-—a,

24

；?頂點0(-5，-

24

在以四為直徑的圓上，

：.OA=OQ,

：.(--)2+(-—)2=l2+a2,

24a

:.a=^區(qū)

3

19.解：(1)對稱軸為x=l的拋物線經(jīng)過4(-1,0),則拋物線與x軸的另外一個交點坐

標(biāo)為：(3,0),

則拋物線的表達式為：y=a(廣1)(x-3),

將點8的坐標(biāo)代入上式并解得：a=l,

故拋物線的表達式為：尸f-2x-3；

(2)設(shè)點、P5/-2m-3),

將點/、6的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線48的表達式為：y=-x-\,

當(dāng)0是8中點時，則點例

22

將點0的坐標(biāo)代入直線4?的表達式并解得：勿=）土匹,

2

故點Q（上強，金區(qū)）或（土金，二1M￡）；

2222

（3）①當(dāng)比為正方形的對角線時，如圖1所示,

圖1

直線的表達式為：y=-x-1,則點C（0,，-1）,點〃（0,-3）,

BD=CD=2,故點E、（3,-2）；

②當(dāng)外是正方形的一條邊時，

（I）當(dāng)點。在根下方時，如圖2所示，

拋物線頂點尸的坐標(biāo)為：（1，-4）,點6（2,-3）,椒PD1BC,

有圖示兩種情況，左圖，點C、￡的橫坐標(biāo)相同，在函數(shù)對稱軸上，故點回（1,-4）；

此時，點以￡的位置可以互換，故點耳（0,-3）；

右圖，點反￡的橫坐標(biāo)相同，同理點鳥（2,-5）；

（II）當(dāng)點〃在48上方時，

此時要求點8與點〃橫坐標(biāo)相同，這是不可能的，故不存在；

綜上，點￡的坐標(biāo)為：（3,-2）或（1,-4）或（0,-3）或（2,-5）.

20.解,:(1)由題意得，銷售量為：300-10(%-60)=900-10%,

銷售獲服裝得利潤為：(x-40)(900-10A-)=-10/+1300A--36000；

(2)列方程得：-10/+1300X-36000=4000,

解得：x,=50,西=80.

答：玩具銷售單價為50元或80元時，可獲得4000元銷售利潤;

(3)--10A1300X-30000=-10(x-65)2+6250,

所以當(dāng)定價為65元時的利潤最大，最大利潤為6250元.

故答案為：900-10x,-10/+1300A--36000.

21.【解】(1)設(shè)/=@/+￡?,把C(0,6)、6(10,0)代入，

得a--c—&.

50

".y^——^+6.

50

(2)當(dāng)x=5時，y———X52+6=—,

502

911

：.EF^10--,310-6=4,

22

支柱的總造價為2(2X?2X10+4)=70(萬元).

(3)?.?坦克的高為3米，令y=3時，+6=3,

50

解得：X—±5-72'

：7<5&<8,坦克寬為2米，

,可以并排3輛坦克行駛，此時坦克方陣的長為120+3X4=160(米),

坦克的行駛速度為24km/h=400米/分，

???通過隧道的最短時間為10°??60=2.9(分).

400

22.解：(1)?.?/=*+(2/z?-1)x-2勿=(肝勿-0.5)2-/-勿-0.25,

，頂點坐標(biāo)為(0.5-加，0.25)

??,最低點的縱坐標(biāo)為-4,

-nf-m-0.25=-4,即4#+4m-15=0,

：?/n=l.5或-2.5,

Vm>0.5,?,?勿=1.5.

...拋物線的解析式為y=f+2x-3；

(2)???尸/+2*-3與x軸交于48兩點、(點4在點6的左側(cè))，與y軸交于點G

：.A(-3-,0),B(1,0),C(0,-3).

如圖1,連4c交BD于E,過1作AMYBD于M,過C作CNLBD于N,

?：如平分四邊形ABCD的面積，

,,/”幽一S&CRU，

：.—BDXAM=—BDXCN,

22

：.AM=CN,且//￡￥=/G稠；NAME=NCNE=90°

二△力￡儂△例(A4S),

AE=CE,

：.E(-1.5,-1.5),且8(L0),

，直線班1的解析式為y=0.&x-0.6.

A0.6%-0.6=*+2x-3,

解得-孕，4=1，

5

：.D(-—,

525

(3)由題意可得平移后解析式為尸

設(shè)￡(匕，t2),F(n,6)，

設(shè)直線"為y=4(A--t)