吉林省長(zhǎng)春市六中2023年數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=（）A． B． C． D．3．已知，則()A． B． C． D．以上都不正確4．已知函數(shù)(其中，)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在用反證法證明命題“三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足，則a，b，c中至少有一個(gè)不大于2”時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)a，b，c都大于2 B．假設(shè)a，b，c都不大于2C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)不大于2 D．假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)大于26．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若，，，（大于零），則四面體PEFQ的體積A．與都有關(guān) B．與m有關(guān)，與無關(guān)C．與p有關(guān)，與無關(guān) D．與π有關(guān)，與無關(guān)7．區(qū)間[0，5]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則滿足x[0，1]的概率為A． B． C． D．8．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)9．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．10．若函數(shù)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．（0，1） B． C． D．11．拋物線y＝上一點(diǎn)M到x軸的距離為d1，到直線＝1的距離為d2，則d1+d2的最小值為（）A． B． C．3 D．212．圓與圓的公切線有幾條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，滿足如下條件：①第行首尾兩數(shù)均為；②表中的遞推關(guān)系類似“楊輝三角”.則第行的第2個(gè)數(shù)是__________．14．下表為生產(chǎn)產(chǎn)品過程中產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)耗能（噸）的幾組相對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得到關(guān)于的線性回歸方程為，則__________．15．已知平面向量滿足，，則的最大值是____．16．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖（1）.在中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）.（1）求證：平面；（2）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，三棱錐體積最大，并求出最大值；（3）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求與平面所成角的大小.18．（12分）已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最小值；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求m的取值范圍.19．（12分）已知實(shí)數(shù)滿足，其中實(shí)數(shù)滿足．（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù).（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，并說明理由.21．（12分）選修4—5：不等式選講設(shè)函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.22．（10分）（1）集合，或，對(duì)于任意，定義，對(duì)任意，定義，記為集合的元素個(gè)數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)此信息，若對(duì)任意，都有，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，從而得到f′（x）=＞1在（1，2）內(nèi)恒成立．分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．從而求解得到a的取值范圍．詳解：∵的幾何意義為：表示點(diǎn)（p+1，f（p+1））與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，∵實(shí)數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故p+1和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．不等式＞1恒成立，∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．由函數(shù)的定義域知，x＞﹣1，∴f′（x）=＞1在（1，2）內(nèi)恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．由于二次函數(shù)y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，故x=2時(shí)，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故選A．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.2、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解，得到答案.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得復(fù)數(shù)，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，其中解答中熟記的除法運(yùn)算方法，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】由題意可得：據(jù)此有：.本題選擇B選項(xiàng).4、D【解析】

分類討論a的范圍，根據(jù)真數(shù)的符號(hào)以及單調(diào)性，求出a的范圍．【詳解】解：函數(shù)y＝loga（8﹣ax）（其中a＞0，a≠1）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，當(dāng)a＞1時(shí)，由函數(shù)t＝8﹣ax在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減且t＞0，故8﹣4a＞0，求得1＜a＜1．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由函數(shù)t＝8﹣ax在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，可得函數(shù)y＝loga（8﹣ax）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，這不符合條件．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，1），故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．5、A【解析】

否定結(jié)論，同時(shí)“至少有一個(gè)”改為“全部”【詳解】因?yàn)椤癮，b，c至少有一個(gè)不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查反證法，在反證法中假設(shè)命題反面成立時(shí)，結(jié)論需要否定的同時(shí)，“至少”，“至多”，“都”等詞語需要改變．6、C【解析】

連接、交于點(diǎn)，作，證明平面，可得出平面，于此得出三棱錐的高為，再由四邊形為矩形知，點(diǎn)到的距離為，于此可計(jì)算出的面積為，最后利用錐體的體積公式可得出四面體的體積的表達(dá)式，于此可得出結(jié)論．【詳解】如下圖所示，連接、交于點(diǎn)，作，在正方體中，平面，且平面，，又四邊形為正方形，則，且，平面，即平面，，平面，且，易知四邊形是矩形，且，點(diǎn)到直線的距離為，的面積為，所以，四面體的體積為，因此，四面體的體積與有關(guān)，與、無關(guān)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于尋找底面和高，要充分結(jié)合題中已知的線面垂直的條件，找三棱錐的高時(shí)，只需過點(diǎn)作垂線的平行線可得出高，考查邏輯推理能力，屬于難題．7、A【解析】

利用幾何概型求解即可.【詳解】由幾何概型的概率公式得滿足x[0，1]的概率為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理進(jìn)行判斷即可【詳解】是連續(xù)的減函數(shù)，又可得f（2）f（3）＜0，∴函數(shù)f（x）的其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2,3)故選C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，若函數(shù)單調(diào)，只需端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)即可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，是一道基礎(chǔ)題．9、D【解析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.10、A【解析】

畫出的圖像，有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有3個(gè)交點(diǎn)?！驹斀狻坑?個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有3個(gè)交點(diǎn)記則過原點(diǎn)作的切線，有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有3個(gè)交點(diǎn)記則過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為：，又切線過原點(diǎn)，即，將，，代入解得，所以切線斜率所以【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，屬于中檔題。11、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，將的最小值轉(zhuǎn)化為拋物線焦點(diǎn)到直線的距離減1來求解.【詳解】根據(jù)題意的最小值等于拋物線焦點(diǎn)到直線的距離減1，而焦點(diǎn)為故，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

首先求兩圓的圓心距，然后判斷圓心距與半徑和或差的大小關(guān)系,最后判斷公切線的條數(shù).【詳解】圓，圓心，，圓,圓心，，圓心距兩圓外切，有3條公切線.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

歸納前幾行的第二個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)，第行的第2個(gè)數(shù)可以用來表示，化簡(jiǎn)上式由此可以得到答案．【詳解】由圖表可知第行的第2個(gè)數(shù)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，考查歸納推理，掌握歸納推理找規(guī)律的方法是解題的關(guān)鍵．14、【解析】分析：首先求得樣本中心點(diǎn)，然后利用回歸方程的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的值即可.詳解：由題意可得：，，線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，則：，解得：.點(diǎn)睛：本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15、2【解析】

根據(jù)已知條件可設(shè)出的坐標(biāo)，設(shè)，，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即求的最大值，根據(jù)，可得出的軌跡方程，從而求出最大值.【詳解】設(shè)，，，，點(diǎn)是以為圓心，1為半徑的圓，，，的最大值是2.故填：2.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，以及軌跡方程的綜合考查，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件設(shè)出坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為軌跡問題.16、【解析】

利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出焦點(diǎn)到漸近線的距離，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)距離等于焦距的求解出的值，即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離，所以，所以，所以，所以漸近線方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，難度一般.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長(zhǎng)度的一半.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）點(diǎn)位于中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大，最大值為（3）【解析】

(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；(2)將三棱錐的體積表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再求其最大值；(3)先找出線面角的平面角，再解三角形求角.【詳解】（1）證明：∵，，∴，因此，所以，又∵，∴平面；（2）解：設(shè)，則，由（1），又因?yàn)?，，∴平面；所以，因此?dāng)，即點(diǎn)位于中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大，最大值為；（3）解：如圖，聯(lián)結(jié)，由于，且，∴，即，因此即為與平面所成角，∵，∴，所以，即與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明和體積的最值以及求線面角，屬于中檔題.18、（1）；（2）；（3）【解析】

(1)根據(jù)二次函數(shù),則可設(shè),再根據(jù)題中所給的條件列出對(duì)應(yīng)的等式對(duì)比得出所求的系數(shù)即可.(2)根據(jù)(1)中所求的求得,再分析對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論求解的最小值即可.(3)根據(jù)題意可知需求與在區(qū)間上的最小值.再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求解最小值即可.【詳解】(1)設(shè).①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由題意知,,,對(duì)稱軸為.①當(dāng),即時(shí),函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞增,即；②當(dāng),即時(shí),函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即.綜上,(3)由題意可知,∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,故最小值為,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故最小值為,∴,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式的方法,二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間關(guān)系求解最值的問題,以及恒成立和能成立的問題等.屬于中等題型.19、（1）；（2）【解析】

試題分析：（Ⅰ）解不等式可得,可求得時(shí)命題中的范圍,若為真則說明命題均為真,應(yīng)將命題中的范圍取交集.（Ⅱ）若是的充分不必要條件,則命題的取值的集合是命題的取值集合的真子集.試題解析：解：（Ⅰ）：，時(shí),，：為真，（Ⅱ）若是的充分不必要條件，則∴解得．考點(diǎn)：1命題;2充分必要條件.20、（1）時(shí)奇函數(shù)，時(shí)非奇非偶函數(shù)；（2）單調(diào)遞增，證明見解析.【解析】

（1）討論兩種情況，分別利用奇偶性的定義判斷即可；（2）設(shè)，再作差，通分合并，最后根據(jù)自變量范圍確定各因子符號(hào)，得差的符號(hào)，結(jié)合單調(diào)性定義作出判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，顯然是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，，且，所以此時(shí)是非奇非偶函數(shù).（2）設(shè)，則因?yàn)?，所以，，，所以，，所以，所以，即，故函?shù)在上單調(diào)遞增.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任??；（2）作差；（3）判斷的符號(hào)（往往先分解因式，再判斷各因式的符號(hào)），可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)，可得在已知區(qū)間上是減函數(shù)21、(1)；(2).【解析】分析：(1)對(duì)分三種情況討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解不等式組，再求并集即可得不等式的解集；（2）因?yàn)椋?，可得，從而可得結(jié)果.詳解：（