蘇科版八年級(jí)下冊(cè)《平行四邊形矩形》概念剖析和例題學(xué)案

《平行四邊形、矩形》見解剖析與經(jīng)典反例寫在前面今年，因新冠肺炎疫情，全國(guó)都緩期開學(xué)，“停課不休學(xué)”的口號(hào)火了，同學(xué)們足不出戶，就能獲得線上的優(yōu)秀教育，這幾天來(lái)，我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，《八下第1講旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱、平四見解全梳理》這一講，已經(jīng)波及了多個(gè)方面，但對(duì)于一些自定義命題的判斷和平行四邊形存在性問(wèn)題，同學(xué)們可能還掌握不到位，本講就重點(diǎn)關(guān)注這兩塊的內(nèi)容．一、判斷命題的對(duì)錯(cuò)例1：以下列圖形是平行四邊形嗎？是，請(qǐng)證明；不是，請(qǐng)繪圖舉反例．(1)一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形(2)兩組對(duì)角分別相等的四邊形(3)有兩對(duì)鄰角互補(bǔ)的四邊形(4)一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形(5)一組對(duì)邊平行，一組鄰角互補(bǔ)的四邊形(6)兩條邊相等，而且其他的兩條邊也相等的四邊形(7)對(duì)角線相等的四邊形(8)一條對(duì)角線均分另一條對(duì)角線的四邊形(9)一組對(duì)邊相等，且一條對(duì)角線均分另一條對(duì)角線的四邊形(10)一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角(銳角)相等的四邊形剖析：平行四邊形的判斷方法，課本中介紹了四種，分別是：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④對(duì)角線互相均分的四邊形是平行四邊形．我們?cè)谧C明一個(gè)圖形是平行四邊形，只能先依照題目的條件，將其轉(zhuǎn)變?yōu)橛靡陨纤姆N中的一種進(jìn)行證明．而有些命題，我們?cè)鯓觼?lái)判斷其是假命題呢？其實(shí)很簡(jiǎn)單，我們都知道平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，那么其中一條對(duì)角線將其分紅的兩個(gè)三角形，必定是全等的，而且對(duì)于對(duì)角線的交點(diǎn)成中心對(duì)稱．而在有些命題中，按條件畫出四邊形后，作出一條對(duì)角線分得的兩個(gè)三角形，卻不全等，而且，十有八九是SSA型，我們下面逐個(gè)作圖剖析．解答：(1)假命題反例：如圖，AD∥BC，AB＝CD，四邊形ABCD不是平行四邊形．反例畫法：先畫平行四邊形ABCD’，以C為圓心，CD’為半徑畫弧，交AD’于點(diǎn)D，則四邊形ABCD是等腰梯形．(2)真命題原因：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°則2∠A＋2∠B＝360°，∠A＋∠B＝180°，AD∥BC同理，∠A＋∠D＝180°，AB∥DC，四邊形ABCD是平行四邊形．(3)假命題反例：如圖，∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，四邊形ABCD不是平行四邊形．原因：兩個(gè)條件都只能推得AD∥BC．反例畫法：隨意梯形即可．(4)真命題原因：∵∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠C＋∠B＝180°，AB∥DC，四邊形ABCD是平行四邊形．(5)假命題反例：如圖，AD∥BC，∠A＋∠B＝180°，四邊形ABCD不是平行四邊形．原因：∠A＋∠B＝180°與AD∥BC是重復(fù)條件．反例畫法：隨意梯形即可(6)假命題反例：如圖，AB＝AD，BC＝DC，四邊形ABCD不是平行四邊形．原因：誠(chéng)然連結(jié)AC后，能夠證明△ABC≌△ADC，但不是成中心對(duì)稱，而是成軸對(duì)稱．反例畫法：尺規(guī)作圖，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，連結(jié)四個(gè)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)箏形．(7)假命題反例：如圖，AC＝DB，四邊形ABCD不是平行四邊形．原因：無(wú)全等能夠證明．反例畫法：隨意畫兩條訂交且相等長(zhǎng)度的線段，按次連結(jié)兩條線段的四個(gè)端點(diǎn)．假命題反例：如圖，AC均分DB，四邊形ABCD不是平行四邊形．原因：無(wú)全等能夠證明．反例畫法：畫一條線段，取中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)畫中點(diǎn)兩側(cè)不等長(zhǎng)的線段，按次連結(jié)兩條線段的四個(gè)端點(diǎn)．經(jīng)典假命題(詳見2013年無(wú)錫中考24題)反例：如圖，AD＝BC，AO＝CO，四邊形ABCD不是平行四邊形．原因：△AOD和△COB中，AD＝BC，AO＝CO，∠AOD＝∠COB，兩個(gè)三角形又是SSA，無(wú)法證明全等．反例畫法：與(1)近似，先畫平行四邊形AB’CD，以C為圓心，CB’為半徑畫弧，交DB’于點(diǎn)B，四邊形ABCD符合條件，但不是平行四邊形．(10)經(jīng)典假命題反例：如圖，AB＝CD，∠B＝∠D，四邊形ABCD不是平行四邊形．原因：連結(jié)AC，△ABC和△CDA中，AB＝CD，AC＝CA，∠B＝∠D，又是SSA，不能夠結(jié)構(gòu)全等．反例畫法：能夠先認(rèn)識(shí)左側(cè)兩種，此后學(xué)了圓會(huì)加深理解．重點(diǎn)掌握右上，結(jié)構(gòu)等腰△ABD’，在底邊BD’上任取非中點(diǎn)C，連結(jié)AC，將△ACD’沿著AC中垂線翻折到△ACD，則四邊形ABCD符合條件，不是平行四邊形．右下，先結(jié)構(gòu)平行四邊形ABC’D’，將△AC’D’繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使C’再次落在BC’上，即為C，則D’旋轉(zhuǎn)后的地點(diǎn)即為D，四邊形ABCD符合條件，但不是平行四邊形．例2：以下列圖形是矩形嗎？是，請(qǐng)證明；不是，請(qǐng)繪圖舉反例．(1)有兩個(gè)角是直角的四邊形(2)對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角的四邊形(3)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形(4)一組鄰角相等的平行四邊形(5)一條對(duì)角線是一條邊長(zhǎng)2倍的平行四邊形剖析：矩形的判斷，有兩大類思路，第一類：間接證明，即先證明平行四邊形，再證矩形；第二類直接證明，即證明四邊形是矩形．課本中介紹了3種，分別是：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．前兩種是間接證明，第三種是直接證明．這道題，只畫反例，或說(shuō)出反例圖形的名稱，相信大家都能理解．解答：(1)假命題反例：直角梯形(2)假命題反例：畫法：結(jié)構(gòu)Rt△ABC，∠ABC＝90°，以B為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，在弧上選一點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD，四邊形ABCD符合對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角，不是矩形．(3)假命題反例：畫法：隨意畫兩條互相垂直且相等的訂交線段AC，BD，按次連結(jié)四個(gè)極點(diǎn)，四邊形ABCD符合條件，但不是矩形．(4)真命題原因：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，∠A＋∠B＝180°，又∵∠A＝∠B，∴∠A＝90°，平行四邊形