基本初等函-三角函數(shù)的圖象與性質-正弦函數(shù)的圖象與性質（市一等獎）

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(二)一、素質教育目標(一)知識教學點正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質：定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性．(二)能力訓練點1．經過觀察和推證揭示正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質．2．應用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質解決一些簡單的問題．(三)德育滲透點在揭示正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質的過程中，注意培養(yǎng)學生多觀察、勤思考、善應用的品格．二、教學重點、難點、疑點及解決辦法(一)教學重點：正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的性質．(二)教學難點：周期函數(shù)的概念．(三)教學疑點：周期函數(shù)是否一定有最小正周期．三、課時安排本課題安排1課時．四、教與學課程設計(一)復習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象師：上一節(jié)課我們研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的畫法，現(xiàn)在請一位同學來講怎樣畫正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象(師用幻燈打出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象)．生：在直角坐標系的x軸上任取一點O1，以O1為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點A起把圓分成12等份，作出對應于角O1分成12等份，把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點就是正弦函數(shù)圖象上的點，連線即得正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．余弦函數(shù)的圖象，只要把余弦線“豎立”起來，就同樣可以得到余弦函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象．然后向左、右平移．師：回答正確．今天，我們要研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質．(二)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質師：我們觀察正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx，它們的定義域是什么？生：都是(-∞，+∞)．師：值域是什么？生：都是[-1，1]師：最值是什么？當x為何值時，取得最佳？函數(shù)y=cosx在x=2kπ，k∈Z時取最大值y=1；在x=(2k+1)π，k∈Z時取最小值y=-1．師：觀察正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx，發(fā)現(xiàn)它們的值按照一定的規(guī)律不斷重復出現(xiàn)．由誘導公式sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx(x∈R)，也能知道它們的值按照一定的規(guī)律不斷重復出現(xiàn)．這就是它們的一個重要性質．一般地，對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)下，使得當x取定義域內的每一個值時，f(x+Y)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．例如，對于正弦函數(shù)y=sinx，x∈R來說，2π，4π，…，-2π，-4π，…都是它的周期，一般地，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期．對于一個周期函數(shù)來說，如果在所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期．例如，2π是正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的所有周期中的最小正數(shù)，因而2π是這個函數(shù)的最小正周期．正弦函數(shù)y=sinx，x∈R和余弦函數(shù)y=cosx，x∈R都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它們的周期，最小正周期是2π．今后讀到三角函數(shù)的周期時，一般指的是三角函數(shù)的最小正周期．師：現(xiàn)在我們來研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的多奇性．什么叫做奇函數(shù)？什么叫做偶函數(shù)？生：如果對于函數(shù)定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．如果對于函數(shù)定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．師：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？為什么？生：∵sin(-x)=-sinx，∴正弦函數(shù)y=sinx，x∈R是奇函數(shù)．∵cos(-x)=cosx，∴余弦函數(shù)y=cosx，x∈R是偶函數(shù)．師：回答正確．我們還要知道它們的圖象的特征，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，則正弦曲線關于原點O對稱；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，則余弦曲線關于y軸對稱．減小到-1．由正弦函數(shù)的周期性可知：π](k∈Z)上，都從1減小到-1，是減函數(shù)．也就是說，正弦函數(shù)y=sinx觀察余弦曲線可得到什么結論？生：由余弦曲線可以看出，函數(shù)y=cosx在每一個閉區(qū)間[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)上都從-1增大到1，是增函數(shù)；在每一個閉區(qū)間[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)上，都從1減小到-1，是減函數(shù)．也就是說，余弦函數(shù)y=cosx的單調區(qū)間是[(2k-1)π，kπ]及[2kπ，(2k+1)π]，(k∈Z)．師：完全正確．上面我們研究了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的五個性質：定義域，值域，周期性，奇偶性、單調性．下面請同學們做幾起練習．(三)例題例1求使下列函數(shù)取得最大值的x的集合，并說出最大值是多少？(1)y=2sinx，(2)y=cosx+2，(3)y=sin2x，(4)y=3cos2x．函數(shù)y=2sinx的最大值為2．(2)使y=cosx+2取最大值的x的集合為{x|x=2kπ，k∈Z}，函數(shù)y=cosx+2的最大值為3．(4)2x=2kπ，x=kπ．∴使y=3cos2x取最大值的x的集合為{x|x=kπ，k∈Z}，函數(shù)y=3cos2x的最大值為3．例2求下列函數(shù)的周期：解：(1)因為sinx的最小正周期是2π，所以當自變量x(x∈R)增加到x+2π且必須增加到x+2π時，函數(shù)sinx的值重復出現(xiàn)，函數(shù)3sinx的值也重復出現(xiàn)，因此y=3sinx的周期是2π．(2)把2x看成是一個新的變量z，那么z的最小正周期是2π，就是說，當z增加即z+2π且必須增加到z+2π時，函數(shù)cosz的值重復出現(xiàn)，而z+2π=2x+2π=2(x+π)，所以當x增加到x+π且必須增加到x+π時，函數(shù)值重復出現(xiàn)，因此y=cos2x的周期是π．師：我們看到，例2中函數(shù)周期的變化僅與自變量x的函數(shù)有關．一根據(jù)這個結論，我們可以由正弦函數(shù)式或余弦函數(shù)式直接寫出它的例3判定下列函數(shù)是偶函數(shù)，還是奇函數(shù)，或者都不是．(1)y=xsinx，(2)y=|sinx|，(3)y=cos2x+secx，(4)y=sinx+cosx，解：(1)∵f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)，∴y=xsinx為偶函數(shù)．(2)∵f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x)，∴y=|sinx|為偶函數(shù)．(3)∵f(-x)=cos2(-x)+sec(-x)=(cos2x+secx=f(x)，∴y=cos2x=secx為偶函數(shù)．(4)都不是．(5)y=sin(π+x)=-sinx．∵f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x)，∴y=sin(