空間幾何體的表面積和體積公式匯總表

的面積和體積公式2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式外表積:2πRr+2πRh體積:πR2h2、圓錐體:11.體積:πR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高,a－邊長,S＝6a2,V＝a3S－底面積h－高V＝ShS－底面積h－高V＝Sh/3S1和S2－上、下底面積h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3S1－上底面積,S2－下底面積,S0－中截面積h－高,V＝h(S1+S2+4S0)/6r－底半徑,h－高,C—底面周長S底＝πr2,S側(cè)＝Ch,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr2hR－外圓半徑,r－圓半徑h－高V＝πh(R^2-r^2)r－底半徑h－高V＝πr^2h/3.r－上底半徑,R－下底半徑,h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3r－半徑d－直徑V＝4/3πr^3＝πd^3/6h－球缺高,r－球半徑,a－球缺底半徑V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3r1和r2－球臺(tái)上、下底半徑h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6R－環(huán)體半徑D－環(huán)體直徑r－環(huán)體截面半徑d－環(huán)體截面直徑Vπ2Rr2＝π2Dd2/4D－桶腹直徑d－桶底直徑h－桶高DdV＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母線是拋物線形)1.直線在平面的判定(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面，則這條直線在平面.(2)假設(shè)兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面，即假設(shè)α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.1.(4)過平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過此點(diǎn)而與該平面平行的平面，即假設(shè)Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面，即假設(shè)a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.2.存在性和唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；(2)過一點(diǎn)與平面垂直的直線有且只有一條；(3)過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5)過一點(diǎn)與直線垂直的平面有且只有一個(gè)；(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).3.射影及有關(guān)性質(zhì)(1)點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.(3)圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.(4)射影的有關(guān)性質(zhì)從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；1.(ii)相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.4.空間中的各種角等角定理及其推論定理假設(shè)一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向一樣，則這兩個(gè)角相等.設(shè)兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.異面直線所成的角(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.(2)取值圍：0°＜θ≤90°.①根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.5.直線和平面所成的角(i)垂線面所成的角的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(ii)垂線與平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角.(iii)一條直線和平面平行，或在平面，則它們所成的角是0°的角.(2)取值圍0°≤θ≤90°①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理1.斜線和平面所成的角不大于斜線與平面任何直線所成的角.6.二面角及二面角的平面角(1)半平面直線把平面分成兩個(gè)局部，每一局部都叫做半平面.(2)二面角條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.假設(shè)兩個(gè)平面相交，則以兩個(gè)平面的交線為棱形成四個(gè)二面角.二面角的大小用它的平面角來度量，通常認(rèn)為二面角的平面角θ的取值圍是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角叫做二面角的平面角.如圖，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置無關(guān).②二面角的平面角具有以下性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.ii任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長線)上.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(iii)三垂線法(Ⅳ)根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)(4)求二面角大小的常見方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值.1.②利用面積射影定理S′=S·cosα其中S為二面角一個(gè)面平面圖形的面積，S′是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小.③利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.7.空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離(1)定義面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.作出)表示距離的線段；②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果點(diǎn)在平面的垂面上，則點(diǎn)到兩平面交線的距離就是所求的點(diǎn)面距離.3)體積法其步驟是：①在平面選取適當(dāng)三點(diǎn)，和點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；②求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；③由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)造適宜的三棱錐以便于計(jì)算.4)轉(zhuǎn)化法將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線與平面的距離來求.8.直線和平面的距離(1)定義一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.(2)求線面距離常用的方法①直接利用定義求證(或連或作)*線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.②將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.9.平行平面的距離1.(1)定義個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線.公垂線夾在兩個(gè)平行平面間的局部，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段.兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度叫做這兩個(gè)平行平面的距離.(2)求平行平面距離常用的方法①直接利用定義求證(或連或作)*線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.通過解三角形或體積法求解之.10.異面直線的距離(1)定義條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離.任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.(2)求兩條異面直線的距離常用的方法①定義法題目所給的條件，找出(或作出)兩條異面直線的公垂線段，再根據(jù)有關(guān)定理、性質(zhì)求出公垂線段的長.此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形.②轉(zhuǎn)化法為以下兩種形式：線面距離面面距離兩異面直線所成的角：圍為(0°,90°)esp.空間向量法1.兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法行直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面的射影所成的銳角.esp法向量)由此得直線和平面所成角的取值圍為[0°,90°]最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面任一條直線所成角中的最小角三垂線定理及逆定理:如果平面的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,則它也與這條斜線垂直e