2014級(jí)建工第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)課件

設(shè)D為平面區(qū)域如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D則稱D為平面單連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域區(qū)域D內(nèi)則行走方向是L的正向

一定理1設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成數(shù)P(xy)及Q(xy)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)PdxQdy(QP)dxd PdxQdy

x

注:對(duì)復(fù)連通區(qū)域D 括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊證明:1)若DX-型區(qū)域,Y-型區(qū)域,yEADCBD:1(x)yyEADCB ax 1(y)x2(D:

cy d則d

Qdxd

dy

2(

o bD d

1( d

Q(2(y),y)dy

Q(1(y),y)dCBEQ(x,y)dyCAEQ(x,y)dCBEQ(x,y)dyEACQ(x,y)d

Qdxdy

Q(x,y)d D

Pdxdy

P(x, D Q

dxdy

PdxQd 若D不滿足以上條件,yyL

Q

dxd QPk n

dxd Dk

PdxQd

(Dk表示Dk的正向邊界LPdxQd PdxQdy(QP)dxd A2

xdyyLybsin例如Lxacosybsin

A2

xdyyL0

(abcos2absin2)

π的應(yīng) 1.簡(jiǎn)化二重積例1計(jì)算

ey

dxd

其中DO(0,0)A(1,1)解令P0,Qxey2,QPey2 ,

Dy

ey

dxdy

xey2d xey2d

1yey20

例2.L是一條分段光滑的閉曲線2xydxx2L

dy證P2xy,Qx2QP2x2x ,2xydxxL

dy

0dxdyD3計(jì)算

xdy,其 曲線是半徑為r的圓在第一象限部分,方向A解引入輔助曲線

LOAAB應(yīng) ,P0,QxdxdyLxdyOAxdyABxdyBOD由于OAxdy BOxdyxdydxdy1πr2. 例 設(shè)C為沿x2y2a2從點(diǎn)(0,a)依逆時(shí)到點(diǎn)(0,a的半圓y2ya2

dxax2yln(x

)C 解:添加輔助線如圖,利 yC原式 C

2 2

DCox

2dxd a(2ylna)d

12例5計(jì)算

xdyydx其中Lx2y2解P

x2y2

,Q

x2y2

則當(dāng)x2y20時(shí)Q y2 (x2y2 L所圍區(qū)域?yàn)? xdyydx x2y2當(dāng)(0,0D時(shí),在D內(nèi)作圓周lx2y2r2,取逆時(shí)針?lè)较?LlˉD1對(duì)區(qū)域D1應(yīng)用 ,得（r很小 xdy x2y2

xdy x2y21xdy 1Ll

x2y2

0dxdy xdy x2y

xdy x2y2 r2cos2r2sin20 r

d設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域P(xy)、Q(xy)在區(qū)域G

以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L1、L2 LPdxQdy

恒成立就說(shuō)曲線積分LPdxQdyG與路徑無(wú)關(guān)否則說(shuō)與路徑有關(guān)2、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條定理2.設(shè)D是單連通域函數(shù)P(x,yQ(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià):沿DLLPdxQdy0.與路徑無(wú)關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān)PdxQdyDu(xy)的全微分 du(x,y)PdxQdDPQ 證明 L1,L2為D內(nèi)任意兩條由A到B線

PdxQdy

121121

PdxQdyLPdxQdL LPdxQdy L

(根據(jù)條件 12 PdxQdy12

B說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí)BABPdxQdy

APdxQd證明 B(x,y)C(x,y0在D內(nèi)取定點(diǎn)AB(x,y)C(x,y0u(x,y)

(x,(x0,y0

x,y xuu(xx,y)u(x, (xx,(x,

(xx,(x,

P(xx,ulimxulimP(xx,y)P(x, uQ(x,y),P(x,yQ(x,y)在D

因此u可微，且duPdxQd證明 uxyduPdxQd uP(x, uQ(x, ,P Q, PQD內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),P

所以x 證明

(如圖),因此在DP 利 ,LPdxQdy

(QP)dxd 說(shuō)明

根據(jù)定理2PQ, 計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑求曲線積分時(shí),可利用 若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;可用積分法求duPdxQdy在域D內(nèi)的原函數(shù)取定點(diǎn)x0y0DxyD(x,y u(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)d x0x0

P(x,y0)dx

Q(x,y)d 或u(x,y) Q(x0,y)dy P(x,

說(shuō)明（4）上述命題中的條件區(qū)域是“單連通”不能前面的例5的第二種情況，在復(fù)連通區(qū)域上滿足命題的（4），但不滿足命題的條件例6計(jì)算L

3y)dx(

xdy,其中L圓周y 4xx2從O(0,0)到A(4,解:為了使用 ,添加輔助線段AO,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,則原式LAO

3y)dx(

x)dOA(x

3y)dx(2

x)d4Ddxd

4x2 L0L83

A例7.驗(yàn)證xy2dxx2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分并求證:設(shè)Pxy2,Qx2y,P2xy由定理2可知u(xyduxy2dxx2yd

(x,。。。u(x,y)

(x,y)xy2dxx2ydy y

x2yd

yx2ydy0

1x2y2xdyyd例8驗(yàn)證x2y2

x0數(shù)并求出它證:令P

,Q

(x,x2y2P y2

x2y2(x,0(x0 (x,0

(x2y2 由定理2u(x,y)

(x,

xdyydx2y d

0

x0x2y

x

(x0或u(x,y)

x2y2

(x,0y(1,(x,0

(x, d

01y2

x2y2 arctanyarctany

arctan (x0x三、若存在函數(shù)u(xy)使duP(xy)dx+Q(xy)dyP(xy)dx+Q(xy)dy0為全微分方程判別P,Q在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) P(xy)dx+Q(xy)dy0為全微分方求原函數(shù)u(x

PQ 法1湊微分法 du0得通解為u(xyC例9解(xydxyx)dy=0積分因例10

ydx例11

(y2xy2)dx(x2x2y)dy=0內(nèi)容小PdxQ內(nèi)容小

P dxdL

D yPQD內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)LPdxQdyD內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)DL有LPdxQdy D內(nèi)有xDduPdxQd思考與練41Lx21y21