第四章拉普拉斯變換次課

第四章拉普拉斯變換次課1第1頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三

4.1引言以傅里葉變換為基礎的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它給出的結果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析受到限制；另外在求時域響應時運用傅里葉反變換對頻率進行的無窮積分求解困難。第2頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，可利用本章要討論的拉氏變換法擴大信號變換的范圍。優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應用更為普遍。本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質進行討論。本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進行復頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。3第3頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域(一)從傅里葉變換到拉普拉斯變換若f(t)不滿足狄里赫利條件,有些不存在傅里葉變換。若f(t)乘一衰減因子e–δt,則若f(t)e–δt收斂，于是滿足狄里赫利條件,則f1(t)=f(t)e–δt存在傅里葉變換.第4頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三象函數(shù)(單邊L正變換)FT:實頻率是振蕩頻率LT:復頻率S=+j

是振蕩頻率，控制衰減速度下限取0-,LT就考慮了初始條件,假設有信號f(t),且為因果信號。第5頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三原函數(shù)(單邊L逆變換)雙邊拉普拉斯變換[若f(t)為非因果信號]：

用得較少以下拉普拉斯變換均指單邊拉普拉斯變換第6頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三(二)單邊拉氏變換的收斂域欲F(s)存在，則必須滿足條件：解得：0j0收斂軸收斂域=Re(s)結論：單邊拉氏變換的收斂域:

>0。整個平面以為界不收斂信號除非有始有終信號，能量有限信號或等幅振蕩信號和增長信號第7頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三解:

收斂域為整個s平面(-∞,+∞)

例．求下列信號拉氏變換的收斂域(1)(2)收斂域為(0,+∞)

(3)收斂域為(-Re(a),+∞)

收斂域為(0,+∞)

(4)實際工程中的信號，只要足夠大，F(xiàn)(s)一定存在。所以,收斂域問題一般不討論，除非題中特別要求去討論.

第8頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三1、沖激信號2、階躍信號(三)常見信號的拉氏變換3、指數(shù)函數(shù)信號第9頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4、正冪信號斜坡信號5、余弦信號6、正弦信號一些常用因果信號的L變換見表4-1(P181)第10頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三

4.3拉氏變換的基本性質(一)線性特性：a,b為常數(shù).例求f(t)=sin(0t)的拉氏變換F(s).解因此得：同法可得：第11頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三推論(二)時域的微分性證明:

例如:已知電感的電流為iL(t),且拉氏變換為IL(s),那么電感的電壓vL(t)的拉氏變換為：VL(s)=L[sIL(s)-iL(0-)]=LsIL(s)-LiL(0-)時域微分性可將f(t)微分方程化為復頻域F(s)的代數(shù)方程，而且自動引入初始狀態(tài)，因而通過復頻域分析法可求得系統(tǒng)的全響應。第12頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例題：系統(tǒng)微分方程，若激勵信號和起始狀態(tài)為:e(t)=u(t),r(0-)=1,r′(0-)=2，試分別求它們的零輸入，零狀態(tài)響應及完全響應.解：對方程兩端分別取拉氏變換得：整理得：13第13頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三(三)時域的積分性例如:已知電容的電流為iC(t),且拉氏變換為IC(s),那么電容的電壓vC(t)的拉氏變換為：證明：第14頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三注意：(四)時移特性證明:第15頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三【例】已知【例4】16第16頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三(五)S域平移特性證明:例:求的拉氏變換.解:第17頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三(六)尺度變換特性證明:例:求L[f(at-b)u(at-b)]解:第18頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三(七)初值定理證明:第19頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三注：初值定理應用的條件是F(s)是真分式，若不是，則在t=0處有沖激及其導數(shù)產生。F(s)可寫成多項式和真分式之和。

即單位階躍信號的初始值為1。第20頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三注：終值定理應用的條件是F(s)的極點必須位于左半平面，或者在s=0處的一階極點。(八)終值定理證明：對式左右兩側求s趨向0的極限得：21第21頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例：解（1）求初值（2）求終值第22頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三(九)卷積定理時域卷積定理

證明:

第23頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三…..12345..f(t)112f0(t)112f0(t)1…..12345..f(t)124第24頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4.4拉氏變換逆變換由象函數(shù)求原函數(shù)(即求拉普拉斯反變換)的方法：部分分式展開法F(s)通常為s的有理分式，一般形式為

總的思路：

有理假分式有理真分式最簡分式之和f(t)按D(s)=0的根(稱為F(s)的極點)有無重根等分別討論如下：1．當mn且為n個單根p1,p2,…,pn

(可為實根、虛根或復根)有理真分式F(s)可展開為如下的部分分式：

通常把使D(s)=0的根稱為F(s)的極點；

通常把使N(s)=0的根稱為F(s)

的零點。第25頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三式中Kj(j=1,2,…,n)為待定系數(shù).

則有原函數(shù)第26頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例求下示函數(shù)的逆變換解第27頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三2．當mn且D(s)=0的根有重根時不妨設根p1為r重根，其余(n-r)個根為單根pj(j=r-1,r-2,…,n)，則有理真分式F(s)可展開為式中待定系數(shù).則有原函數(shù)第28頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例求下示函數(shù)的逆變換解:第29頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三3．當mn時長除法將有理假分式多項式+有理真分式(m-n)次多項式中的sl對應的原函數(shù)為沖激函數(shù)及其導數(shù)項(l)(t).例求下示函數(shù)的逆變換解有理假分式有理真分式多項式第30頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4．包含共軛復數(shù)極點

原則上可按第1種情況求逆變換.但一般化為正弦、余弦函數(shù)的象函數(shù)形式,再利用s域平移特性去求逆變換.第31頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三解例求下示函數(shù)的逆變換第32頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三解例求下示函數(shù)的逆變換第33頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4.5線性系統(tǒng)復頻域分析法

拉普拉斯變換的線性性質、時域微分性質與時域卷積性質，可使線性微分方程變?yōu)閺皖l域的線性代數(shù)方程，同時將系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然反映在象函數(shù)中，所以用s域分析法可直接求解全響應。一、系統(tǒng)微分方程的復頻域解

例:已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程，其激勵f(t)=u(t)，0-初始條件為y(0-)=2，y'(0-)=1，試求系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。方程：解：對微分方程兩邊取拉普拉斯變換得：

以具體的微分方程為例：第34頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三一般的，若給出系統(tǒng)的數(shù)學模型即高階常系數(shù)線性微分方程：

則可以通過對方程兩邊同時求拉氏變換從而求出系統(tǒng)的全響應同時可以確定零狀態(tài)及零輸入響應。結論：第36頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三二、電路的s域模型由拉氏變換的線性特性有KCL：

i(t)=0

I(s)=0KVL：

u(t)=0

U(s)=0元件：VAR

相應的s域形式

s域模型

1、電阻元件RR第37頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三2、電容元件C+-1/sc+-+-+-第38頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三3、電感元件+-LsL+--+sL+-s域模型中：sL稱為復頻域感抗；(1/sC)稱為復頻域容抗。第39頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三復頻域阻抗與復頻域導納：N0無源、零狀態(tài)I(s)+U(s)-RsL1sCI(s)+U(s)-在零狀態(tài)下s域形式的歐姆定律

第40頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三三、線性系統(tǒng)復頻域分析法復頻域分析法步驟

1.

求換路前電路的狀態(tài)

uC(0-)、iL(0-)；

2.畫出s域電路模型(1)將電壓源、電流源、各支路電壓、電流及受控源表示成象函數(shù)形式。(2)將各元件的參數(shù)表示成s域的阻抗或導納形式。4.用s域形式的各種分析法如等效變換、獨立變量法(支路法，回路法，節(jié)點法)、疊加定理、戴維南定理等建立方程，并解出響應變量的象函數(shù)；5.用求拉氏反變換的某種方法求出響應的時域表達式，必要時畫出響應的波形。第41頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三圖示電路，試求零狀態(tài)響應uC1、uC2、u

0.2(t)A0.2F+uC1-+

uC2

-0.3F50+u-畫出零狀態(tài)s域電路模型解：由節(jié)點法：

拉氏反變換得例1:0.2+UC1(s)-+

UC2(s)-50+U(s)-s域電路模型第42頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三注意狀態(tài)變量有突變。拉氏變換積分下限取0-可方便地解決突變問題。

第43頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4.6系統(tǒng)函數(shù)(網絡函數(shù))H(s)

1.系統(tǒng)函數(shù)(網絡函數(shù))H(s)的定義

系統(tǒng)零狀態(tài)響應y(t)的拉氏變換Y(s)與激勵f(t)的拉氏變換F(s)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)(或網絡函數(shù))h(t)f(t)y(t)時域

H(s)F(s)Y(s)

復頻域

h(t)與H(s)構成拉氏變換對第44頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三2．H(s)的求法

1)

H(s)=L

[h(t)]；

2)

H(s)=[h(

p)]p=s

3)按定義求：

第45頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例1:求右圖電路的轉移導納函數(shù)解:列寫回路方程式如下:本題屬于方法3第46頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例2:已知系統(tǒng)微分方程求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)及h(t).解:對系統(tǒng)微分方程進行拉氏變換本題屬于方法3第47頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三求該系統(tǒng)的沖激響應h(t).例3:已知系統(tǒng)的激勵e(t)、響應r(t)分別為解:第48頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4.7由系統(tǒng)函數(shù)零極、點分布決定時域特性

一、H(s)的零點、極點與零、極點圖將分子、分母因式分解(設為單根情況)得

系統(tǒng)函數(shù)H0=bm(分子分母最高次項系數(shù)之比)為實常數(shù)。

E(s)=0的根pi稱為Ｈ(s)的極點，∵Ｈ(pi)→R(s)=0的根zi稱為Ｈ(s)的零點，∵Ｈ(zi)→0。

第49頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三網絡函數(shù)的零、極點只能是實數(shù)或共軛復數(shù)對，可以是多重的；在s平面上，用“○”表示零點，用“×”表示極點稱為零、極點分布圖。若H0≠1時要在圖中標出來；若具有多重的零點或極點時，則應在“○”旁或“×”旁標出其重數(shù)。例:解：令極點:s=-1(二階),s=j2令零點:s=0,s=1j1零、極點分布圖12-1-2j-j2j2(2)S第50頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三二、H(s)的零點、極點分布與h(t)波形特征的對應

沖激響應h(t)=L-1[H(s)]Pi為負實數(shù)h(t)變化規(guī)律非振蕩衰減負實部共軛復數(shù)故有如下結論：振蕩衰減正實數(shù)非振蕩遞增正實部共軛復數(shù)振蕩遞增共軛純虛數(shù)（單階）等幅振蕩0（單階）常數(shù)項共軛純虛數(shù)（重階）振蕩遞增0（重階）遞增第51頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三1）極點pi決定系統(tǒng)自由響應（固有響應）的變化的規(guī)律。取決于系統(tǒng)的結構與元件的參數(shù)，故pi稱為系統(tǒng)的自然頻率或固有頻率。

2）H(s)的零點只影響h(t)波形的幅度和相位，不影響波形模式；總結:1.若H(s)極點落于s平面的左半平面,則h(t)波形為衰減形式;(系統(tǒng)穩(wěn)定)2.若H(s)極點落于s平面的右半平面,則h(t)波形為增長形式;(系統(tǒng)不穩(wěn)定)3.落于虛軸上的一階極點對應的h(t)為等幅振蕩或階躍(臨界狀態(tài));落于虛軸上的二階極點對應的h(t)為增長形式(系統(tǒng)不穩(wěn)定).第52頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三三、H(s)、E(s)零極點分布與自由、強迫響應特征的對應

設則自由響應,由H(s)的極點所形成.H(s)的極點pi稱為系統(tǒng)的固有頻率強迫響應,由E(s)的極點所形成(單極點情況)Ki,Kk則與H(s)和E(s)都有關系.注意:系統(tǒng)函數(shù)H(s)只能用于研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應.第53頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例:電路如右圖.求輸出電壓u2(t)解:自由響應強迫響應若輸入電壓為第54頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定頻響特性

一、頻響特性1、頻響特性:若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域包含j，則令s=j頻響特性:2、H(jw)和正弦穩(wěn)態(tài)響應的關系第55頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三則系統(tǒng)響應為其中系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應：56第56頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三頻響特性——幅頻特性——相頻特性（相移特性）因此可得：當激勵為Asinwot時，正弦穩(wěn)態(tài)響應為人r（t）=AH0sin(w0t+φ0)注意：頻響特性:指系統(tǒng)在正弦信號激勵下正弦穩(wěn)態(tài)響應隨信號頻率的變化情況.57第57頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三濾波網絡頻響特性示例低通高通帶通帶阻(黑虛線表示理想濾波器,紅實線表示實際濾波器)58第58頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三頻率特性繪制的方法:方法1：描點法。（注意以下關鍵點）

方法2.圖解法：每給一個ω值，由H0及其零、極點矢量因子進行圖解得到相應的第59頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三（）σ+jω0

jωziαiNijω-ziσ+jω0

jωpiθiMi（）jω-pi第60頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例:研究RC低通濾波網絡的頻響特性解:00幅頻特性0相頻特性第61頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4.10全通系統(tǒng)與最小相移系統(tǒng)全通函數(shù):若系統(tǒng)函數(shù)的極點全部位于左半平面,零點位于右半平面且零點與極點對于j軸互為鏡像.Z3P1P2P3Z1Z2213312M3M1M2N1N2N3j2.相頻特性不受約束.結論:1.幅頻特性為常數(shù)在傳輸系統(tǒng)中,全通網絡常用于進行相位校正(如作相位均衡器或移相器）第62頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例:判斷下列系統(tǒng)中哪些是全通系統(tǒng)解:(1)極點p1=-1,零點z1=1.零、極點對于j軸互為鏡像.故為全通系統(tǒng).(2)極點p1=-1,零點z1=2.零、極點對于j軸不互為鏡像.故不是全通系統(tǒng).(3)極點p1,2=-1j,零點z1=1j.零、極點對于j軸互為鏡像.故是全通系統(tǒng).第63頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三最小相移函數(shù):零點僅位于左半平面或j軸的網絡函數(shù).若網絡函數(shù)在右半平面有一個或多個零點,稱為‘非最小相移函數(shù)’.

非最小相移函數(shù)可以表示為最小相移函數(shù)與全通函數(shù)的乘積.設非最小相移函數(shù)在右半平面的零點為非最小相移函數(shù)最小相移函數(shù)全通函數(shù)第64頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例:判斷下列系統(tǒng)中哪些是最小相移系統(tǒng).若有非最小相移系統(tǒng),用最小相移系統(tǒng)與全通系統(tǒng)進行組合.解:(1)零點z1=-1,z2=-3.零點位于左半平面.故為最小相移系統(tǒng).(2)零點z1,2=2j.零點位于右半平面.故為非最小相移系統(tǒng).非最小相移函數(shù)最小相移函數(shù)全通函數(shù)第65頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三1．系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義與條件4.11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質之一，取決于系統(tǒng)的結構與參數(shù),與激勵信號及初始狀態(tài)無關.系統(tǒng)的h(t)或系統(tǒng)函數(shù)H(s)集中表征了系統(tǒng)的本性.它也反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:(M為有界正值)因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:(M為有界正值)第66頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定,可從時域和s域兩方面進行.2．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定(1)從Ｈ(s)極點的分布來判定：

系統(tǒng)穩(wěn)定：Ｈ(s)全部極點均位于s的左半平面上.

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定：在j軸上有單極點,其它極點均位于s的左半平面上.系統(tǒng)不穩(wěn)定：至少有一個極點位于s的右半平面上或在j軸上有重極點.

第67頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三(2)用羅斯(Routh)準則來判定(當H(s)的極點不易求得時)

用羅斯準則確定Ｈ(s)的分母多項式D(s)的根(即Ｈ(s)極點)是否都位于s左半平面.這里只介紹D(s)為二、三階時情況.(詳見教材下冊p302)二階多項式s2+s+的根都位于s左半平面的充分必要條件是所有系數(shù)具有相同符號.2)三階多項式s3+s2+s+的根都位于s左半平面的充分必要條件是除上述系數(shù)同號條件外,還應滿足

>.

1)

2)

第68頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三例:用羅斯準則判斷下列系統(tǒng)是否穩(wěn)定解:(1)不穩(wěn)定(2)穩(wěn)定(3)穩(wěn)定(4)不穩(wěn)定(5)不穩(wěn)定第69頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)定系統(tǒng)的另一種定義方式(BIB0):若系統(tǒng)對任意的有界輸入其零狀態(tài)響應也是有界的,則稱此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng).根據(jù)H(s)極點分布,系統(tǒng)穩(wěn)定性劃分為三個類型穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定根據(jù)BIBO,系統(tǒng)穩(wěn)定性劃分為二個類型穩(wěn)定不穩(wěn)定(臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定類型)即(Me、Mr為有界正值)通常不含受控源的RLC電路構成穩(wěn)定系統(tǒng);只由LC元件構成電路,出現(xiàn)H(s)極點位于