第四章矩陣分析及矩陣函數(shù)

第四章矩陣分析及矩陣函數(shù)第1頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.1矩陣分析定義4.1.1令是的矩陣序列，假如存在一個(gè)的矩陣A，，即當(dāng)時(shí)，與無(wú)限制的靠近,則稱(chēng)序列收斂到A,記為:4.1.1基本概念第2頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三矩陣序列收斂個(gè)一般序列收斂每一個(gè)矩陣表示成,并且.第3頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.1.1矩陣序列收斂于矩陣A的充分必要條件是對(duì)所有成立。第4頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三關(guān)于矩陣序列極限的性質(zhì)，考慮其中二個(gè)。

定理4.1.2令和是和矩陣，并且分別收斂到A和B,那么：第5頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推論1

令是收斂于A的矩陣序列，分別是矩陣，那么第6頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.1.1.2矩陣級(jí)數(shù)假如其收斂到,記

則級(jí)數(shù),收斂到.定義4.1.2令是矩陣序列，構(gòu)造部分和序列第7頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三收斂，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣序列

收斂，即當(dāng)且僅當(dāng)任給,存在，任意正整數(shù)只要都有定理4.1.3(Cauchy收斂準(zhǔn)則)第8頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.1.4若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則矩陣級(jí)數(shù)收斂。

特別地，對(duì)于方陣，如果級(jí)數(shù)收斂，則矩陣冪級(jí)數(shù)收斂.第9頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4.1.2定理4.1.5

設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是，則當(dāng)方陣的范數(shù)時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)收斂。第10頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.1.2矩陣的微分和積分

4.1.2.1函數(shù)矩陣及其極限定義4.1.3如果矩陣的每一個(gè)元素都是變量的函數(shù)，則第11頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義4.1.4如果對(duì)任意，都有，則稱(chēng)矩陣在時(shí)極限為。

第12頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)1如果,以下性質(zhì)成立：（1）

若都是矩陣，則第13頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）

若分別是和矩陣，則（3）

設(shè)是常數(shù)，則

第14頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義4.1.5

設(shè)函數(shù)矩陣中所有元素在處連續(xù)，則稱(chēng)在處連續(xù)，如果所有元素在內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù),稱(chēng)在內(nèi)連續(xù)，如果在內(nèi)連續(xù)，并且所有的在點(diǎn)右連續(xù)，在點(diǎn)左連續(xù)，則稱(chēng)在上連續(xù).第15頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.1.2.2函數(shù)矩陣的微分

定義4.1.6設(shè)函數(shù)矩陣中所有元素都在點(diǎn)或某區(qū)間內(nèi)可微，則稱(chēng)矩陣在點(diǎn)或某區(qū)間內(nèi)是可微的,若可微，其導(dǎo)數(shù)如下：第16頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三同樣，的高階導(dǎo)數(shù)可以定義為類(lèi)似于數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記法，可以將上式記成第17頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)2設(shè)函數(shù)矩陣都可微(1)若為常數(shù)，則

（2）若與是同型矩陣，則

第18頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)若是矩陣，是矩陣，則特別的，如果或是常數(shù)矩陣或,就有第19頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.1.3函數(shù)矩陣的積分

定義4.1.7如果矩陣的每個(gè)元素都是區(qū)間上的可積函數(shù)，則定義在上的積分為第20頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)3若是上的可積函數(shù)矩陣，則

都是矩陣

；分別是和矩陣，并且與無(wú)關(guān).

第21頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三分別是和矩陣，并且與無(wú)關(guān)。

(4)當(dāng)對(duì)所有在上連續(xù)時(shí)，就稱(chēng)在上連續(xù),且有

當(dāng)都在上連續(xù)時(shí)，則第22頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.1.2.4數(shù)量函數(shù)關(guān)于矩陣的微分在場(chǎng)論中，對(duì)數(shù)量函數(shù),定義梯度如

下：可以理解為函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)。

第23頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義4.1.8設(shè)對(duì)有偏導(dǎo)數(shù)，定義對(duì)向量導(dǎo)數(shù)為對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)為第24頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一般地，假如對(duì)每個(gè)都有偏導(dǎo)數(shù)，則定義數(shù)量函數(shù)對(duì)矩陣的導(dǎo)數(shù)為

例4.1.5第25頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.2.1矩陣函數(shù)的定義及性質(zhì)4.2矩陣函數(shù)定義4.2.1設(shè)一元函數(shù)能夠展開(kāi)為的冪函數(shù)

其中表示該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.第26頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三當(dāng)n階矩陣滿(mǎn)足時(shí)，把收斂的矩陣冪級(jí)數(shù)的和稱(chēng)為矩陣函數(shù)，記為,即第27頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如下函數(shù):在整個(gè)復(fù)平面上都是收斂的.

第28頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三于是矩陣冪級(jí)數(shù)

都是絕對(duì)收斂的。

第29頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因此它們有和并且有分別稱(chēng)以上三式是矩陣的指數(shù)函數(shù)，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)。第30頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.2.1

對(duì)于方陣的函數(shù)容易驗(yàn)證以下性質(zhì)：

第31頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第32頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三值得注意的是，在微積分中，我們對(duì)指數(shù)函數(shù)有如下性質(zhì),但矩陣函數(shù)的第（3）條性質(zhì)中指出，這樣一條性質(zhì)必須有條件保證。否則，一般不成立。

第33頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如，令易證互不相等第34頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.2.2矩陣函數(shù)的計(jì)算

4.2.2.1待定系數(shù)法用待定系數(shù)法，計(jì)算矩陣函數(shù)是基于每個(gè)矩陣存在最小多項(xiàng)式的前提下進(jìn)行的，假設(shè)A∈的最小多項(xiàng)式是

（4.2.6）第35頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三多項(xiàng)式可以寫(xiě)成，其中的次數(shù)低于的次數(shù)。由于有，所以。第36頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三另一方面，我們可以將A的最小多項(xiàng)式(4.2.6)寫(xiě)成

(4.2.7)其中是A的互異的特征值第37頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義4.2.2在A的譜上確定:設(shè)A的最小多項(xiàng)式是，如(4.2.6)所示，如果復(fù)函數(shù)在A的譜上有下述確定的值。（4.2.8）稱(chēng)在A的譜上確定，并稱(chēng)(4.2.8)中的r個(gè)數(shù)為在A的譜上的值。第38頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推論1

每個(gè)復(fù)多項(xiàng)式在任何的譜上確定。

第39頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4.2.1例4.2.2例4.2.3例4.2.4定理4.2.2設(shè)和是兩個(gè)復(fù)多項(xiàng)式，兩者的次數(shù)和系數(shù)均可以不同,，則的充分必要條件是和在A的譜上的值完全相同。

第40頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.2.2.2利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形計(jì)算矩陣函數(shù)

實(shí)際過(guò)程中，可以將無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題化為多項(xiàng)式求和問(wèn)題。第41頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三假設(shè)矩陣A的最小多項(xiàng)式是

則有第42頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時(shí)，可降為低于的冪次，矩陣多項(xiàng)式問(wèn)題冪級(jí)數(shù)定義的矩陣函數(shù)問(wèn)題計(jì)算的關(guān)鍵：計(jì)算。第43頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下面分A是不同情況進(jìn)行討論

(1)A是對(duì)角矩陣設(shè)則第44頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)A是對(duì)角形分塊矩陣

其中為A的子方陣

第45頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于分塊矩陣的乘積與矩陣乘積類(lèi)似故對(duì)于上述分塊矩陣A，有第46頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)A為一般矩陣時(shí)的計(jì)算方法

存在方陣使得，因此

。若第47頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則其中是的重特征根

第48頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則第49頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三且矩陣A的函數(shù)可化為A的Jordan塊的函數(shù)問(wèn)題；的函數(shù)；計(jì)算實(shí)質(zhì)上是計(jì)算的Jordan塊下面來(lái)具體計(jì)算Jordan塊的函數(shù)。第50頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)則于是（4.2.9）第51頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三首先觀察

第52頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第53頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為了計(jì)算，將展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)

（4.2.10）第54頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由代入(4.2.10)得到

（4.2.11）當(dāng)時(shí)，.于是(4.2.10)可以寫(xiě)成

（4.2.12）第55頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將(4.2.12)寫(xiě)成矩陣形式

（4.2.12）第56頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4.2.5例4.2.6第57頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.3.1線性常系數(shù)齊次微分方程的初值問(wèn)題

關(guān)于n個(gè)獨(dú)立的函數(shù)的線性常系數(shù)微分方程組可以表示成下面(4.3.1)形式。4.3線性常系數(shù)微分方程第58頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（4.3.1）系數(shù)是常數(shù)，(4.3.1)滿(mǎn)足初值條件

第59頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用矩陣乘法，把(4.3.1)寫(xiě)成以下形式

（4.3.2）第60頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中稱(chēng)(4.3.2)是一階線性常系數(shù)微分方程組的初值問(wèn)題。第61頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.3.1.1一階線性常系數(shù)齊次微分方程的初值問(wèn)題

在(4.3.2)中，假設(shè)已知的向量，即(4.3.2)變?yōu)椋?.3.3）稱(chēng)(4.3.3)是一階線性常系數(shù)齊次微分方程組初值問(wèn)題.

第62頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下面來(lái)考慮(4.3.3)的解首先，將變量在處展成冪級(jí)數(shù)形式

：其中第63頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由方程(4.3.3)得到（4.3.4）從而有第64頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下面我們來(lái)證明(4.3.4)確實(shí)是(4.3.3)的解當(dāng)時(shí),式(4.3.4)是(4.3.3)的解。第65頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）(4.3.3)的解是，并且這個(gè)解唯一；（2）解的秩與的取值無(wú)關(guān)。定理4.3.1在初值問(wèn)題(4.3.3)中：第66頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.3.1.2齊次方程解的討論在工程上要求，對(duì)任意的及初值初值問(wèn)題(4.3.5)的解具有性質(zhì)第67頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.3.2對(duì)任意的和，初值問(wèn)題

的解滿(mǎn)足的充分必要條件是矩陣的特征值都有負(fù)的實(shí)部。

第68頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義4.3.1所有特征值都有負(fù)實(shí)部的矩陣稱(chēng)為穩(wěn)定矩陣

。例4.3.2

推論1對(duì)任意的和，初值問(wèn)題(4.3.5)的解滿(mǎn)足的充要條件是A是穩(wěn)定矩陣。

第69頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.3.2一階線性常系數(shù)非齊次微分方程初值問(wèn)題

考慮，即一階常系數(shù)非齊次微分方程(4.3.2)的解。

第70頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三常系數(shù)線性方程

解的問(wèn)題，假設(shè)是它的一個(gè)特解，是它的一般解，那么有定理保證是它對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，這個(gè)解的特性在初值問(wèn)題(4.3.2)中同樣適用。第71頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三易驗(yàn)證即是微分方程的一般解

令（4.3.8）第72頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為確定特解，用常向量變易法，設(shè)，其中是待定向量，將(4.3.8)代入方程(4.3.2)，得到

第73頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三于是有化簡(jiǎn)后，得第74頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(4.3.2)的一般解是

（4.3.9）(4.3.2)的初值點(diǎn)變?yōu)闀r(shí)，即

（4.3.10）第75頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(4.3.10)的解為

例4.3.3第76頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.3.3n階常系數(shù)微分方程的解

設(shè)為常數(shù)，為已知函數(shù)，稱(chēng)

為n階常系數(shù)微分方程，當(dāng)時(shí)稱(chēng)為非齊次的，否則稱(chēng)為齊次的.第77頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下面考慮n階常系數(shù)線性齊次方程的初值問(wèn)題

（4.3.11）第78頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令第79頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從而有第80頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令第81頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三初值問(wèn)題(4.3.11)可以寫(xiě)成

（4.3.12）第82頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中系數(shù)矩陣A稱(chēng)為(4.3.11)方程的友矩陣。

第83頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于初值問(wèn)題(4.3.11)的解是(4.3.12)解的第一個(gè)分量，從而(4.3.11)的解是

第84頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)于n階常系數(shù)線性非齊次方程的初值問(wèn)題

(4.3.13)第85頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可以進(jìn)行類(lèi)似討論，得到(4.3.13)的解是方程組的解的第一個(gè)分量.第86頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中第87頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第88頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(4.3.13)初值問(wèn)題的解是

因此，求初值問(wèn)題解的關(guān)鍵在于計(jì)算矩陣函數(shù)。第89頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.3.4微分方程實(shí)例

工程系統(tǒng)中得動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是系統(tǒng)的最小一組變量（稱(chēng)為狀態(tài)變量）.就是描述狀態(tài)變量的函數(shù),如果知道了在時(shí)變量的初值,并且還知道對(duì)r個(gè)輸入（或控制）變量,則在時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)就完全確定，系統(tǒng)的輸出變量可以是某一個(gè)狀態(tài)變量，它們是描述人們希望從系統(tǒng)中獲得的響應(yīng)。

第90頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三以n個(gè)變量為軸組成的空間叫n維狀態(tài)空間.設(shè)稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)向量設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是狀態(tài)向量的一階微分方程第91頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)線性定常系統(tǒng)其狀態(tài)方程為

或都是常數(shù)矩陣，其中

（4.3.15）第92頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4.3.4k圖4.3.1第93頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖4.3.2第94頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.4.1.Wronski行列式與線性無(wú)關(guān)解

4.1.1.1函數(shù)元矩陣的連續(xù)

4.4變系數(shù)微分方程組設(shè)n維實(shí)向量其中如果在帶形區(qū)域

上連續(xù)則稱(chēng)在D上連續(xù).

（4.4.1）第95頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.4.1考慮微分方程組

(4.4.2)其中,,均為n維實(shí)列向量，和為已知.

第96頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果在(4.4.1)的帶形區(qū)域D上連續(xù)，且存在一個(gè)常數(shù)L，使式中‖·‖是上的任意范數(shù)，則對(duì)任給的和初值問(wèn)題(4.4.2)存在連續(xù)可微的解，且解唯一.

第97頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推論1設(shè)分別為階，階和階實(shí)矩陣它們都在上連續(xù)，則對(duì)于任意給定的，,微分方程組的初值問(wèn)題

(4.4.4)存在連續(xù)可微解，且解唯一。

第98頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推論2設(shè)n階實(shí)方陣在區(qū)間上連續(xù)，則對(duì)任意指定的初值問(wèn)題

（4.4.5）的唯一解是.第99頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.4.1.2wronski行列式與線性無(wú)關(guān)解定義4.4.1.設(shè)是定義在區(qū)間上的n維向量函數(shù),其中第100頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果存在不全為0的r個(gè)常數(shù)使等式

成立，則稱(chēng)向量函數(shù)線性相關(guān)，否則稱(chēng)線性無(wú)關(guān).第101頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義4.4.2設(shè)有n個(gè)定義在區(qū)間上的n維向量函數(shù)

(4.4.7)由這n個(gè)向量函數(shù)構(gòu)成的行列式記為.第102頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三稱(chēng)為這n個(gè)向量函數(shù)的Wronski行列式

第103頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.4.2

若n個(gè)n維向量函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的wronski行列式第104頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.4.2齊次變系數(shù)線性微分方程組的解

4.4.2.1齊次變系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)

考慮區(qū)間上齊次變系數(shù)線性微分方程組

的解，其中是上的連續(xù)n階實(shí)方陣.

(4.4.10)第105頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中每一個(gè)滿(mǎn)足方程

于是尋找S的基，就成為解（4.4.10）的關(guān)鍵。(4.4.10)的解空間為第106頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.4.3設(shè)n階實(shí)方陣在上連續(xù)，如果(4.4.10)的n個(gè)解在上線性無(wú)關(guān)，則它們的Wronski行列式在上恒不為0，即關(guān)鍵

第107頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推論3設(shè)是在上連續(xù)的n階實(shí)方陣，是方程(4.4.10)在上的n個(gè)解，如果這n個(gè)解線性相關(guān)，則其行列式恒等于0，如果這n個(gè)解線性無(wú)關(guān)，則其行列式恒不為0。

第108頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推論4

在推論3的條件下，若對(duì)某個(gè)使得則這n個(gè)解線性無(wú)關(guān).第109頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.4.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其性質(zhì)

將時(shí)的初始向量分別記為時(shí)，該問(wèn)題的解記為和,則可知初始向量為，解為第110頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三另一方面，是n維向量，可以取n個(gè)線性無(wú)關(guān)初始向量為是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。第111頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念設(shè)：是區(qū)間上n階連續(xù)實(shí)方陣，

是n維列向量。第112頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義4.4.3以初值問(wèn)題的解作為第j列所組成的n階方陣

稱(chēng)為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，或?qū)?yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。（4.4.15）（4.4.16）第113頁(yè)，共125頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.4.4

初值問(wèn)題

的解可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣唯一表示為

（4.4.17）第