拓?fù)鋵W(xué)尤承業(yè)答案

拓?fù)鋵W(xué)尤承業(yè)答案【篇一：點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)】工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院預(yù)備知識(shí)1.點(diǎn)集拓?fù)涞亩x《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》課程是一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，屬數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的理論課。是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的主干課。點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)（pointsettopology），有時(shí)也被稱為一般拓?fù)鋵W(xué)（generaltopology），是數(shù)學(xué)的拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支。它研究拓?fù)淇臻g以及定義在其上的數(shù)學(xué)構(gòu)造的基本性質(zhì)。這一分支起源于以下幾個(gè)領(lǐng)域：對(duì)實(shí)數(shù)軸上點(diǎn)集的細(xì)致研究，流形的概念，度量空間的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已經(jīng)成文化了。通過這種可以為所有數(shù)學(xué)分支適用的表述形式，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)基本上抓住了所有的對(duì)連續(xù)性的直觀認(rèn)識(shí)。2.點(diǎn)集拓?fù)涞钠鹪袋c(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)產(chǎn)生于19世紀(jì)。g.康托爾建立了集合論，定義了歐幾里得空間中的開集、閉集、導(dǎo)集等概念，獲得了歐幾里得空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的重要結(jié)果。1906年m.-r.弗雷歇把康托爾的集合論與函數(shù)空間的研究統(tǒng)一起來，建立了廣義分析，可看為拓?fù)淇臻g理論建立的開始。3.一些參考書籍（1）《拓?fù)淇臻g論》，高國士，科學(xué)出版社，2000年7月第一版（2）《基礎(chǔ)拓?fù)渲v義》，尤承業(yè)，北京大學(xué)出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓?fù)鋵W(xué)講義》，彭良雪，科學(xué)出版社，2011年2月第一版。第一章集合論初步在這一章中我們介紹有關(guān)集合論的一些基本知識(shí)．從未經(jīng)定義的“集合”和“元素”兩個(gè)概念出發(fā)給出集合運(yùn)算、關(guān)系、映射以及集合的基數(shù)等方面的知識(shí)等。這里所介紹的集合論通常稱為“樸素的集合論”，這對(duì)大部分讀者已經(jīng)是足夠了．那些對(duì)集合的理論有進(jìn)一步需求的讀者，例如打算研究集合論本身或者打算研究數(shù)理邏輯的讀者，建議他們?nèi)パ凶x有關(guān)公理集合論的專著。1.1集合的基本概念集合這一概念是容易被讀者所理解的，它指的是由某些具有某種共同特點(diǎn)的個(gè)體構(gòu)成的集體。例如我們常說“正在這里聽課的全體學(xué)生的集合”,“所有整數(shù)的集合”等等．集合也常稱為集。集合（即通常所謂的“集體”）是由它的元素（即通常所謂的“個(gè)體”）構(gòu)成的．例如正在這里聽課的全體學(xué)生的集合以正在聽課的每一個(gè)學(xué)生為它的元素；所有整數(shù)的集合以每一個(gè)整數(shù)為它的元素．元素也常稱為元，點(diǎn)或成員．。集合也可以沒有元素．例如平方等于2的有理數(shù)的集合，既大于1又小于2的整數(shù)的集合都沒有任何元素，這種沒有元素的集合我們稱之為空集，記作?。此外，由一個(gè)元素構(gòu)成的集合，我們常稱為單點(diǎn)集．用文句來描述一個(gè)集合由哪些元素構(gòu)成（像前面所作的那樣），是定義集合的一個(gè)重要方式．此外，我們還通過以下的方式｛x︱關(guān)于x的一個(gè)命題p}表示使花括號(hào)中豎線后面的那個(gè)命題p成立的所有元素x構(gòu)成的集合．集合表示方式中的豎線“︱”也可用冒號(hào)“:”或分號(hào)“;”來代替．此外，也常將一個(gè)集合的所有元素列舉出來再加上花括號(hào)以表示這個(gè)集合．我們常用：n表示全體正整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為正整數(shù)集；z表示全體整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為整數(shù)集；q表示全體有理數(shù)構(gòu)成的集合，稱為有理數(shù)集；r表示全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，稱為實(shí)數(shù)集。??讀為x叉乘y。其中(x,y)是一個(gè)有序偶，x?y，x稱為(x,y)的第一個(gè)坐標(biāo)，y稱為(x,y)的第二個(gè)坐標(biāo)．x稱為x?y的第一個(gè)坐標(biāo)集，y稱x?y的第二個(gè)坐標(biāo)集．集合x與自身的笛卡兒積x?x稱為x的2重（笛卡兒）積，通常簡(jiǎn)單記作x2.（有序偶的定義請(qǐng)參考書本）。1.2集合的基本運(yùn)算（略。。。）1.3關(guān)系定義1.3.1設(shè)x，y是兩個(gè)集合，如果r是x與y的笛卡兒積x?y的一個(gè)子集，即r?x?y，那么就稱r是從x到y(tǒng)的一個(gè)關(guān)系。如果(x,y)?r，那么我們稱x與y是r相關(guān)的，并且記作xry．若a?x，則y的子集?y?y存在x?a,使得?x,y??r?稱為集合a對(duì)于關(guān)系r而言的象集，或者簡(jiǎn)單地稱為集合a的象集，或者稱為集合a的r象，并且記作r(a)，r?x?稱為關(guān)系r的值域．關(guān)系的概念是十分廣泛的，大家很快便會(huì)看到，以前在另外的數(shù)學(xué)學(xué)科中學(xué)過的函數(shù)（映射），等價(jià)，序，運(yùn)算等等概念都是關(guān)系的特例．定義1.3.2設(shè)r是從集合x到集合y的一個(gè)關(guān)系，即r?x?y，這時(shí)笛卡兒積y?x的子集?(y,x)?y?xxry?是從集合y到集合x的一個(gè)關(guān)系，我們稱它為關(guān)系r的逆，并且?1?1?1r(b)是集合b的r?1象，我們也常稱它為集合b對(duì)于b?y記作r。如果，x的子集關(guān)系r而言的原象，或者集合b的r原象。特別，關(guān)系r的值域r(y)也稱為關(guān)系r的?1定義域．定義1.3.3設(shè)r是從集合x到集合y的一個(gè)關(guān)系，s是從集合y到集合z的一個(gè)關(guān)系，稱關(guān)系(x,z)?x?z存在y?y使得xry并且ysz為關(guān)系r與關(guān)系s的復(fù)合或積，記作sor.定理1.3.4設(shè)r是從集合x到集合y的一個(gè)關(guān)系，s是從集合y到集合z的一個(gè)關(guān)系，t。是從集合z到集合u的一個(gè)關(guān)系．則(l)(r)?1?1???r；(2)(s?r)?1?r?1?s?1；(3)t?(s?r)?(t?s)?r另外，對(duì)于x的任意兩個(gè)子集a和b，我們有：（4）r(a?b)?r(a)?r(b)；（5）r(a?b)?r(a)?r(b)；（6）(s?r)(a)?s(r(a)).定義1.3.5集合x中的一個(gè)關(guān)系r稱為集合x中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，如