第四章隨機(jī)解釋變量問(wèn)題

第四章隨機(jī)解釋變量問(wèn)題第1頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三◆隨機(jī)解釋變量問(wèn)題及其產(chǎn)生原因◆隨機(jī)解釋變量的影響◆隨機(jī)解釋變量問(wèn)題的修正第四章隨機(jī)解釋變量問(wèn)題第2頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)隨機(jī)解釋變量問(wèn)題及其產(chǎn)生原因—、隨機(jī)解釋變量問(wèn)題在很多情況下，我們不能假定解釋變量全部是確定性變量，而實(shí)際上它們有的是隨機(jī)變量，我們把違背這一基本假設(shè)的問(wèn)題稱為隨機(jī)解釋變量問(wèn)題。對(duì)于模型（4-1）其基本假設(shè)之一是解釋變量X1，X2，…，Xk都是確定性變量。如果存在一個(gè)或多個(gè)解釋變量為隨機(jī)變量，則稱原模型存在隨機(jī)解釋變量問(wèn)題。例:為討論方便，假設(shè)(4-1)式中X1為隨機(jī)解釋變量。第3頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)于隨機(jī)解釋變量X1，由于它和隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)μi的關(guān)系不同，會(huì)使模型參數(shù)估計(jì)量的特性發(fā)生不同變化，所以又可分三種不同情況：析:1．隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)獨(dú)立2．隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期無(wú)關(guān),但異期相關(guān)3．隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期相關(guān)(4-3)(4-4)即

(4-5)即即(4-2)第4頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、隨機(jī)解釋變量問(wèn)題產(chǎn)生的原因隨機(jī)解釋變量問(wèn)題主要表現(xiàn)但是，并不是所有包含滯后被解釋變量的模型都帶來(lái)“隨機(jī)解釋變量問(wèn)題”——用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。耐用品存量調(diào)整模型。著名的“耐用品存量調(diào)整模型”可表示為(4-6)例4-1:該模型表示，耐用品的存量由前一個(gè)時(shí)期的存量和當(dāng)期收入共同決定。這是一個(gè)滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。但是，如果模型不只與相關(guān)，與不相關(guān)，屬于隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期無(wú)關(guān)，但異期相關(guān)的情況。存在隨機(jī)干擾項(xiàng)的序列相關(guān)性，那么隨機(jī)解釋變量第5頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4-2:合理預(yù)期的消費(fèi)函數(shù)模型。合理預(yù)期理論認(rèn)為消費(fèi)是由對(duì)收入的預(yù)期所決定的：

(4-7)在預(yù)期收入與實(shí)際收入之間存在假設(shè)：(4-8)的情況下，容易推出合理預(yù)期消費(fèi)函數(shù)模型：

（4-9）在該模型中，作為解釋變量的不僅是一個(gè)隨機(jī)解釋變量，而且與模型的高度相關(guān)(因?yàn)榕c高度相關(guān))，屬于隨機(jī)解釋變量隨機(jī)干擾項(xiàng)與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期相關(guān)的情況。第6頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)隨機(jī)解釋變量的影響

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量，且與隨機(jī)干擾項(xiàng)相關(guān)的話，如果仍采用普通最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，則不同性質(zhì)的隨機(jī)解釋變量問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的后果。以一元線性回歸模型為例進(jìn)行說(shuō)明。第7頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖4-1從圖形(圖4-1)上看，如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)正相關(guān)，則在抽取樣本時(shí)，容易出現(xiàn)X值較小的點(diǎn)在總體回歸線下方，而X值較大的點(diǎn)在總體回歸線上方的情況，因此，擬合的樣本回歸線則可能低估(underestimate)了截距項(xiàng)，而高估(overestimate)斜率項(xiàng)。反之，如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)負(fù)相關(guān)，則往往導(dǎo)致擬合的樣本回歸線高估截距項(xiàng)，而低估斜率項(xiàng)。第8頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)一元線性回歸模型(4-10)在第二章曾得到如下最小二乘估計(jì)量：(4-11)隨機(jī)解釋變量X與隨機(jī)干擾項(xiàng)的關(guān)系不同，參數(shù)OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也會(huì)不同。第9頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三分三種不同情況：

1．如果X與相互獨(dú)立，得到的參數(shù)OLS估計(jì)量仍然是無(wú)偏一致估計(jì)量。(4-12)而,所以

(4-13)同理，（4-14）所以參數(shù)OLS估計(jì)量,仍然是無(wú)偏一致估計(jì)量第10頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三分三種不同情況：（4-15）2．如果X與同期不相關(guān)而異期相關(guān)，得到的參數(shù)OLS估計(jì)量有偏，但卻盡管與同期無(wú)關(guān)，但對(duì)任一，的與相關(guān)，因此，于是即參數(shù)OLS估計(jì)量是有偏的。但是由（4-14）可看出是的一致估計(jì)。是一致的。由(4-12)式易知，

分母中一定包含不同期的X

,由異期相關(guān)性知

3．如果與同期相關(guān)，得到的參數(shù)估計(jì)量有偏且非一致。這時(shí)Cov(Xt,μt)=E(xtμt)≠0,由（4-12）、（4-14）容易看出參數(shù)OLS估計(jì)量有偏且非一致。第11頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)隨機(jī)解釋變量問(wèn)題的修正工具變量的選取工具變量的應(yīng)用工具變量法估計(jì)量的性質(zhì)模型中出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量并且與隨機(jī)干擾項(xiàng)相關(guān)時(shí)，普通最小二乘估計(jì)量是有偏的。如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)異期相關(guān)，則可以通過(guò)增大樣本容量的辦法來(lái)得到一致的估計(jì)量；但如果是同期相關(guān)，即使增大樣本容量也無(wú)濟(jì)于事。這時(shí)，最常用的方法是工具變量(instrumentvariables)法。第12頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、工具變量的選取

——在模型估計(jì)過(guò)程中被作為工具使用的變量，

用以替代與隨機(jī)干擾項(xiàng)相關(guān)的隨機(jī)解釋變量。被選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：1.工具變量Z與所替代的隨機(jī)解釋變量X高度相關(guān)，即（4-16）2.工具變量Z與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)，即（4-17）3.工具變量Z與模型中其他解釋變量不相關(guān)，以避免出現(xiàn)多重共線性。

工具變量第13頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、工具變量的應(yīng)用（以一元回歸模型為例說(shuō)明）

記一元線性回歸模型如下：(4-18)用普通最小二乘法估計(jì)模型(4-18)式得正規(guī)方程組：(4-19)按照工具變量的選擇條件選擇z為X的工具變量得正規(guī)方程組：（4-20）（4-21）于是于是第14頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三采用工具變量法得到的正規(guī)方程組為二、工具變量的應(yīng)用（以多元線性回歸模型為例說(shuō)明）

其矩陣形式為采用參數(shù)估計(jì)量得到的正規(guī)方程組為（4-22）其中

通常，對(duì)于沒(méi)有選擇另外的變量作為工具變量的解釋變量，可以認(rèn)為用自身作為工具變量。于是Z稱為工具變量矩陣。第15頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、工具變量法估計(jì)量的性質(zhì)1．工具變量法估計(jì)量是有偏估計(jì)量2．工具變量法估計(jì)量是一致估計(jì)量第16頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．工具變量法估計(jì)量是有偏估計(jì)量用工具變量法所求的參數(shù)估計(jì)量與總體參數(shù)真值之間的關(guān)系為（4-23）于是（4-24）因Z和X都是隨機(jī)變量，在一般情況下，故 （4-25）

上式說(shuō)明工具變量法估計(jì)量一般不具有無(wú)偏性。第17頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這說(shuō)明工具變量法估計(jì)量具一致性。2．工具變量法估計(jì)量是一致估計(jì)量如果工具變量Z選取恰當(dāng)，則由（4-16）、（4-17）有

因此，對(duì)式（4-23），兩邊取概率極限得（4-26）第18頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三特別指出：第一，工具變量法并沒(méi)有改變?cè)Ｐ?，只是在原模型的參?shù)估計(jì)過(guò)程中用

工具變量“替代”隨機(jī)解釋變量。第一步，用OLS法進(jìn)行X關(guān)于工具變量Z的回歸（4-27）第二步，以第一步得到的為解釋變量，進(jìn)行如下OLS回歸；（4-28）或者說(shuō)可等價(jià)地分解成下面的兩步OLS回歸：第19頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三特別指出：如果一個(gè)隨機(jī)解釋變量可以找到多個(gè)相互獨(dú)立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，這就形成了廣義矩方法(GMM)。

在GMM中，如何求解成為它的核心問(wèn)題。

GMM是近20年計(jì)量