碰撞散射理論

第八章散射8.1散射現(xiàn)象的一般描述8.2分波法8.3玻恩近似

原子核物理以及粒子物理的建立和發(fā)展都離不開(kāi)散射實(shí)驗(yàn)及其理論分析。定態(tài)微擾問(wèn)題只能解決分立能級(jí)的能量和對(duì)波函數(shù)的修正。8.1散射現(xiàn)象的一般描述微觀粒子的散射也可分為彈性散射和非彈性散射兩種：彈性散射：碰撞前后粒子的性質(zhì)和內(nèi)部能級(jí)都不變，僅僅發(fā)生整體的動(dòng)量和能量交換。非彈性散射：碰撞前后粒子的性質(zhì)沒(méi)變，但內(nèi)部能級(jí)發(fā)生了躍遷。而當(dāng)粒子被力場(chǎng)散射時(shí)，粒子的能量組成連續(xù)譜。

在量子學(xué)中，將碰撞現(xiàn)象稱為散射現(xiàn)象。AdSdS’在質(zhì)心坐標(biāo)系中，彈性散射過(guò)程相當(dāng)于質(zhì)量為m的粒子從遠(yuǎn)方入射，受勢(shì)場(chǎng) V(r)的作用而改變其運(yùn)動(dòng)方向?？紤]一束粒子流沿著z軸方向向粒子A射來(lái)，A為散射中心。MA遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于入射粒子的質(zhì)量，碰撞后粒子A的運(yùn)動(dòng)可忽略。

散射角：入射粒子受A的散射作用而偏離原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向與入射方向成夾角。AdSdS’單位時(shí)間內(nèi)散射到面積元dS上的粒子數(shù)dn應(yīng)與dS成正比，與dS到A點(diǎn)的距離的平方成反比。dn還應(yīng)與入射粒子流強(qiáng)度N成正比。粒子流強(qiáng)度應(yīng)為垂直于入射粒子流前進(jìn)的方向取一單位面積S0，單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)S0的粒子數(shù)就是入射粒子流強(qiáng)度N比例系數(shù)與觀察的，有關(guān)，因此，將比例系數(shù)表示為q(，)q(，)與入射粒子、散射中心的性質(zhì)以及它們之間的相互作用和相對(duì)動(dòng)能有關(guān)。q(，)的量綱為q(，)具有面積的量綱，因此稱為微分散射截面。如果在垂直于粒子流的入射方向取面積q(，)d，則單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)該面積的粒子數(shù)等于dn,對(duì)所有方向積分總的散射截面散射理論的主要內(nèi)容是建立微分散射截面q(,)與總截面Q的理論方法，從理論和實(shí)驗(yàn)的比較中研究散射作用勢(shì)V(r)的性質(zhì)。作為散射過(guò)程的量子力學(xué)描述，設(shè)入射粒子流為平面波表明每單位體積只入射一個(gè)粒子。入射波粒子的幾率密度為取散射中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，用U（r）表示入射粒子與散射中心之間的相互作用能，則體系的薛定諤方程一般觀察被散射的粒子都是遠(yuǎn)離散射中心的,所以只討論r時(shí)的就足夠了。當(dāng)r，U(r)0.因此，波函數(shù)應(yīng)由兩部分構(gòu)成：一部分是入射粒子的平面波;另一部分是描寫散射粒子的球面散射波(遠(yuǎn)離散射中心處，散射波應(yīng)取外向球面波的形式)。該球面散射波是由散射中心向外傳播的.我們只考慮彈性散射,所以散射波的能量守恒.即波矢k數(shù)值不變。由于f(θ,φ)只與角度有關(guān)，與r無(wú)關(guān)。取入射波的歸一化常數(shù)A=1，則f(,)稱為散射振幅，是與角度相關(guān)的函數(shù)。散射的幾率流密度為表示單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)球面上單位面積的粒子數(shù),故單位時(shí)間穿過(guò)面積dS的粒子數(shù)是因?yàn)椋絅，可知微分散射截面為例題：粒子束被半徑為a的剛體球散射，試求經(jīng)典散射截面.解：總散射截面顯然等于剛體的幾何截面a2,問(wèn)題是找出微分散射截面。常數(shù)表示散射結(jié)果是各項(xiàng)均勻的8.2分波法本節(jié)將介紹粒子受到中心力場(chǎng)的彈性散射時(shí)，從解方程求出散射截面的一種方法。在中心力場(chǎng)中，勢(shì)能U（r)只與粒子到散射中心的距離r有關(guān)，與r的方向無(wú)關(guān)。方程為取粒子入射方向并通過(guò)散射中心的軸為極軸,該軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。波函數(shù)和散射振幅f

都與無(wú)關(guān)。由于與無(wú)關(guān)，m=0。其一般解可以寫為:該展式中的每一項(xiàng)稱為一個(gè)分波，Rl(r)Pl(cos)是第l個(gè)分波。每一個(gè)分波都是方程的解。通常稱l=0,1,2,…的分波分別為s,p,d,…分波。徑向波函數(shù)滿足方程；設(shè)因?yàn)閒只是的函數(shù)。的漸近式也只與有關(guān)將平面波eikz按球面波展開(kāi)公式對(duì)于散射后的波，我們來(lái)求徑向方程的漸近解：r,V(r)0,方程為方程的解為引入Al=kAl’,l=l’+l/2漸近解為散射后的波函數(shù)散射波函數(shù)等式兩邊的eikr/r應(yīng)該相等代入到方程可求的散射振幅f()這就是散射振幅公式微分散射截面為總散射截面為利用Ql稱為第l個(gè)分波的散射截面。＝0時(shí)，cos=1,Pl(1)=1,f(0)的虛部為而總的散射截面為該公式稱為光學(xué)定理

用分波法求散射截面的問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算相移.

如果Q中的級(jí)數(shù)收斂的很快,我們只須計(jì)算前面幾個(gè)分波的相移就可以得到足夠精確的結(jié)果.反之,如果該級(jí)數(shù)收斂得很慢,要得到較好的結(jié)果需要算出許多個(gè)分波的相移.計(jì)算是很復(fù)雜的.例題1：如果只需考慮S波（l=0）及P波（l=1）的散射，試寫出微分散射截面q（）和散射角的關(guān)系。并且0＝20°，＝5°，具體計(jì)算散射到＝0，／2，三個(gè)方向的粒子數(shù)相對(duì)比列。解：如略去l2以上各分波的散射，根據(jù)對(duì)0＝20°，1＝5°，計(jì)算粒子數(shù)的相對(duì)比列S波散射的角是各項(xiàng)同向的，雖然P波相移不足0.1弧度，但對(duì)角分布的影響卻很大。近似求解:對(duì)產(chǎn)生散射的勢(shì)場(chǎng)V(r)的作用范圍是以散射中心為球心，以a為半徑的球內(nèi)，當(dāng)r>a時(shí)，V(r）可略去不計(jì)。散射只在r<a的范圍內(nèi)發(fā)生。球面貝塞爾函數(shù)Jl(kr)的第一極大值位置在當(dāng)r很小時(shí),Jl(kr)隨kr很快趨于零。l愈大，趨于零愈快。如果Jl(kr)的第一極大值在a之外勢(shì)場(chǎng)作用范圍r<a內(nèi)Jl(kr)很小,則第l分波受到勢(shì)場(chǎng)的影響很小.則散射所產(chǎn)生的相移l很小。相移l只要從l=0算到l~ka就足夠了。特別是當(dāng)ka<<1時(shí)，只須計(jì)算0就能很準(zhǔn)確地計(jì)算散射截面。由此可見(jiàn)，分波法適用于低能散射的情況下。應(yīng)用準(zhǔn)經(jīng)典近似進(jìn)行估算：當(dāng)動(dòng)量的粒子的角動(dòng)量L大于，粒子軌道與散射中心的距離大于a,即軌道在勢(shì)場(chǎng)作用球之外，勢(shì)場(chǎng)對(duì)粒子不產(chǎn)生散射。因?yàn)長(zhǎng)＝l,所以受勢(shì)場(chǎng)散射的條件是方形勢(shì)阱與勢(shì)壘產(chǎn)生的散射

低能粒子受球?qū)ΨQ方形勢(shì)阱的散射，入射粒子能量很小，它的德布羅意波長(zhǎng)比勢(shì)場(chǎng)作用范圍大很多。質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地用這種方法處理。根據(jù)得到對(duì)低能散射，ka<<1在r=0處有限，所以0’＝0，、在r=a處，為連續(xù)。得得到相移總散射截面在粒子能量很低，k0,x0,arctgxx如果散射場(chǎng)不是勢(shì)阱而是方形勢(shì)壘,U>0,將k0換成ik0，k0時(shí)，總散射截面當(dāng)U0時(shí)，k0

經(jīng)典情況下，總散射截面就是作為散射中心的硬球的最大截面面積a2,量子力學(xué)中得到的截面是經(jīng)典的4倍。低能散射設(shè)散射作用勢(shì)V(r)是短程的，在作用球以外，V=0，考慮低能（ka<<1）散射.由于相移l大致和（ka）2l+1成正比，只考慮S（l=0）分波，u(r）滿足的徑向方程為在作用球r>a以外，V=0，如再令k0(低能極限)r>a,方程變?yōu)椋簎”=0,方程的解為：c,a0為某種常數(shù)，a0稱為散射長(zhǎng)度。另一方面，在r>a以外，當(dāng)k0，coskr1,sinkrkr兩式比較得只保留l=0的一項(xiàng)，得到散射振幅因?yàn)閍0為有限值，當(dāng)k0，ka0

就可以忽略,ctg01/0

例題:對(duì)球形勢(shì)阱求低能散射S波的散射長(zhǎng)度、相移、散射振幅和散射截面。解：令在r<a的球內(nèi)，徑向方程為令k0，解為在球外，r>a,k0時(shí)在r=a處，u和u’連續(xù)，所以u(píng)／u’連續(xù)。則散射長(zhǎng)度為將a0代入低能散射的結(jié)果，其他量便可得到。討論：（1）如果則a0/a,出現(xiàn)低能共振散射，Q（2）如果勢(shì)阱淺而窄，即k0a<<1,則則散射長(zhǎng)度為（3）若勢(shì)阱寬而深，k0a>>1,

由于是非共振散射，k0a并不大，這時(shí)a0=a,Q=4a2,散射效果相當(dāng)于剛體球（但粒子可以進(jìn)入球內(nèi)）。例題：對(duì)于V（r)=/r4(>0),求低能散射的波長(zhǎng)、相移、散射振幅和散射界面。解：令則徑向方程為

邊界條件：r0時(shí)，u0,

令徑向方程變?yōu)闈M足上面邊界條件的解為當(dāng)r時(shí)，1/x0,則與低能散射的徑向函數(shù)比較得到散射長(zhǎng)度相移散射振幅散射界面8.3玻恩近似

經(jīng)驗(yàn)表明，在入射粒子的動(dòng)能較大時(shí),分波法需要計(jì)算很多分波，應(yīng)用起來(lái)很不方便。如果入射粒子的動(dòng)能比粒子與散射中心相互作用的勢(shì)能大得多，勢(shì)能U(r)可看作微擾。以此來(lái)計(jì)算散射截面。體系的哈密頓量寫為取箱歸一化的動(dòng)量本征函數(shù)L-3/2eikr作為H0的本征函數(shù)，這種歸一化描寫在L3內(nèi)有一個(gè)粒子。因?yàn)樽杂闪Ｗ拥牟ê瘮?shù)為：波函數(shù)滿足邊界條件，在兩個(gè)相對(duì)的箱壁上應(yīng)取相同的值,箱內(nèi)動(dòng)量的本征值為：得到-l/2+l/2xyz箱中粒子動(dòng)量的本征值為：每一組nx,ny和nz都對(duì)應(yīng)一個(gè)態(tài)，而在動(dòng)量在區(qū)間內(nèi)的狀態(tài)的數(shù)目為：用極坐標(biāo)來(lái)表示，動(dòng)量大小和方向在而在此區(qū)間內(nèi)的能量為狀態(tài)數(shù)有很多狀態(tài)數(shù)為動(dòng)量大小相同，但方向不同。以(m)dm表示能量密度，狀態(tài)數(shù)變?yōu)楦吣芰Ｗ邮艿交プ饔脛?shì)場(chǎng)的微擾后，使粒子從動(dòng)量為k的初態(tài)躍遷到k’

的末態(tài)。根據(jù)能量守恒，有入射粒子流強(qiáng)度為N0=L－3，單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角d內(nèi)的粒子數(shù)為另一方面，動(dòng)量大小為k、方向在立體角內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度是代入到單位時(shí)間內(nèi)的躍遷幾率公式中得到單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角內(nèi)的粒子數(shù)。絕對(duì)值內(nèi)保留－號(hào)是因?yàn)橛闷渌椒ㄋ愠龅纳⑸湔穹鵩有－負(fù)號(hào)。單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角內(nèi)的粒子數(shù)歸一化的箱中粒子的波函數(shù)引進(jìn)矢量K＝k’-k,它的大小為是散射角，K是散射引起動(dòng)量的變化對(duì)球?qū)ΨQ性的方勢(shì)壘或勢(shì)阱由波函數(shù)的邊界條件得到方程當(dāng)粒子能量很高時(shí)，E>>U0，上面的公式右邊的余切相位為玻恩近似有效的條件是是粒子的經(jīng)典速度。由此可見(jiàn)，玻恩近似適用于粒子的高能散射，分波法則是用于粒子的低能散射。對(duì)于低能散射，ka<<1,E<<U0,只要玻恩近似適用舉例：計(jì)算一個(gè)高速帶電粒子被一中性原子散射的散射截面。原子核所產(chǎn)生的電場(chǎng)被原子內(nèi)部的電子所屏蔽，其庫(kù)侖場(chǎng)可表示為代入玻恩近似導(dǎo)出的微分散射截面這就是盧瑟福散射公式。說(shuō)明是經(jīng)典力學(xué)方法可以適用的條件。該式要求散射角較大，散射在原子核附近發(fā)生，即入射粒子深入到原子內(nèi)部。若核外電子不起屏蔽作用。當(dāng)散射角很小，該條件不能被滿足，盧瑟福公式不能成立，此時(shí)不能進(jìn)行近似。例題：已知求微分散射界面解：由玻恩近似得到的微分散射界面利用積分公式得到總散射界面利用積分公式幾種特例討論：（1），V(r)/r,為純庫(kù)侖勢(shì)這就是著名的盧瑟福散射公式總散射截面為發(fā)散主要來(lái)自小角度。（2）高速粒子被原子散射，原子半徑，V(r)代表屏“蔽庫(kù)侖勢(shì)”。這時(shí)k》1對(duì)于不太小的散射角，微分散射截面與無(wú)關(guān)，對(duì)于0，q()有限值，Q總也是有限的。（3）低能散射，k《1，如作用常數(shù)足夠小，玻恩近似仍可成立，k22可忽略，微分散射截面與無(wú)關(guān)。散射是各向同性的，相當(dāng)于分波法的S波散射。例題使用量綱方法結(jié)合量子躍遷的概念找出微分散射截面q()的公式結(jié)構(gòu)。解：從量子躍遷的觀點(diǎn)看散射，首先可以確定q()和微擾矩陣元V(k,k0)的絕對(duì)值平方成比例，其他有關(guān)參數(shù)只能是h,和k.q()當(dāng)然和L3沒(méi)有關(guān)系，各量的量綱關(guān)系如下：從量綱推出散射截面8.4質(zhì)心坐標(biāo)系與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系在前幾節(jié)中，微分散射截面都是在質(zhì)心坐標(biāo)系中進(jìn)行的，是因?yàn)橘|(zhì)心坐標(biāo)系中處理問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，兩粒子的碰撞問(wèn)題可歸結(jié)為一個(gè)粒子在力場(chǎng)中的散射問(wèn)題。

而實(shí)際測(cè)量都是在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中，需要將質(zhì)心坐