數(shù)理方法課件 14第十四章 勒讓德多項(xiàng)式

第三篇特殊函數(shù)勒讓德多項(xiàng)式貝塞爾函數(shù)

掌握球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中

拉普拉斯方程的解

掌握常微分方程的級(jí)數(shù)解法1第十四章勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)球函數(shù)定解問題的求解區(qū)域：

球面內(nèi)部，球面外部，球殼Legendrepolynomials214.1勒讓德多項(xiàng)式z軸上的點(diǎn)球坐標(biāo)無定義1.球坐標(biāo)中分離變量(P158)變量分離的特解3帶入泛定方程逐個(gè)分離變量：4有限本征值本征函數(shù)m=0時(shí)，本征函數(shù)為勒讓德多項(xiàng)式記住結(jié)論(締合勒讓德函數(shù))本章將證明，對(duì)給定的非負(fù)整數(shù)m球殼區(qū)域的通解：52.勒讓德方程的冪級(jí)數(shù)解作變換求解本征問題締合勒讓德方程m=0

勒讓德方程有限6標(biāo)準(zhǔn)形式若p(z)和q(z)

都在z0

處解析，則稱z0為

方程的常點(diǎn)；否則稱z0為方程的奇點(diǎn)若p(z)(z–z0)和q(z)(z–z0)2

都在奇點(diǎn)

z0處解析，

則稱z0為方程的正則奇點(diǎn)；存在正則解常點(diǎn)附近存在冪級(jí)數(shù)解正則奇點(diǎn)附近二階常微分方程的冪級(jí)數(shù)解7勒讓德方程的冪級(jí)數(shù)解嘗試x=0

附近的冪級(jí)數(shù)展開帶入微分方程，比較同次冪的系數(shù)：8系數(shù)遞推關(guān)系c0,c1

任意偶函數(shù)奇函數(shù)9對(duì)i=0或1,Yi(x)不是多項(xiàng)式Y(jié)i(1)=高斯判別法：若，則≤1時(shí)發(fā)散Y0(x)有無窮多項(xiàng)時(shí)，取103.勒讓德方程的本征問題勒讓德方程的通解

y(1)

有限

存在極限對(duì)給定

，數(shù)列{Ak：k0}最多只有一項(xiàng)為零

Y0(x),Y1(x)不能同時(shí)中斷為多項(xiàng)式11不恒為0,y(1)

有限(1)Y0(x)是2n次多項(xiàng)式，y(x)=c0

Y0(x)本征值=l(l+1)=(2n)(2n+1)取序號(hào)l=2n(2)Y1(x)

是2n+1

次多項(xiàng)式，y(x)=c1

Y1(x)

本征值

=l(l+1)=(2n+1)(2n+2)兩種情形：取序號(hào)l=2n+112規(guī)定Pl(1)=1，稱結(jié)論：本征問題本征值：本征函數(shù)：l

次多項(xiàng)式Pl(x)

為l階勒讓德多項(xiàng)式可以證明

P0(x)=1，P1(x)=x奇偶性Pl(?x)=(?1)lPl(x)13例1：求微分方程滿足y(1)=4，y(–1)有限的解答案：y(x)=6x2–2=4P2(x)思路1：冪級(jí)數(shù)展開，找出多項(xiàng)式解思路2：這是l=2的勒讓德方程，其多項(xiàng)式解

y(x)=c0+c2x2

代入微分方程

3c0+c2=0y(1)=4

c0+c2=4144.高階導(dǎo)數(shù)的遞推關(guān)系(P282)證：應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)m

次對(duì)微分方程取推論15微分表示證：在x=1作泰勒展開右邊從1到x逐項(xiàng)積分l

次，得到16前4個(gè)勒讓德多項(xiàng)式1714.2勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)1.勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)物理背景：在單位球面的北極

θo

1放置點(diǎn)電荷球內(nèi)的電勢(shì)18用分離變量法求球內(nèi)的電勢(shì)u問題與球坐標(biāo)無關(guān)，u=0

θo

1u(0)有限m=019取θ=0解析延拓202.勒讓德多項(xiàng)式的遞推關(guān)系證明：比較

tl

系數(shù)

(1)21證明：比較

tl+1

系數(shù)

微分遞推公式(1)消去22完備性：若f(x)在區(qū)間[1,1]上有分段連續(xù)的3.按勒讓德多項(xiàng)式展開正交性：在區(qū)間[1,1]

上勒讓德多項(xiàng)式彼此正交歸一性：展開系數(shù)二階導(dǎo)數(shù)，則23證明正交性：出發(fā)點(diǎn)為勒讓德方程l>k

0時(shí)24左邊=右邊=基于母函數(shù)和正交性證明歸一性25例1：計(jì)算解：兩邊乘以Pk(x)

后積分26練習(xí)：0000

xk

是P0(x),P1(x),…,Pk(x)的線性組合

(歸納法)27例2：將函數(shù)f(x)=(x–1)3用勒讓德多項(xiàng)式展開解：計(jì)算x=+1

處的函數(shù)值計(jì)算x=–1

處的函數(shù)值28例3：求半徑為a

的帶電球面產(chǎn)生的電勢(shì)分布，已知球面上的電勢(shì)解：問題具有軸對(duì)稱，有特解有限本征函數(shù)29球面內(nèi)部的解球面外部的解u|r=0有限u|r=∞

=0已知求解區(qū)域有兩個(gè)：30非零的系數(shù)滿足比較Pl(cos)

前的系數(shù)31相關(guān)例題鐵電球均勻極化，計(jì)算球內(nèi)、球外的電勢(shì)導(dǎo)體球放在勻強(qiáng)電場中，計(jì)算球外的電勢(shì)介質(zhì)球放在勻強(qiáng)電場中，計(jì)算球內(nèi)、球外的電勢(shì)32本征問題本征值：本征函數(shù)：l

次勒讓德多項(xiàng)式母函數(shù)：遞推關(guān)系正交歸一：軸對(duì)稱問題：331.締合勒讓德方程的解14.3球函數(shù)作變換34求解冪級(jí)數(shù)解系數(shù)遞歸關(guān)系y(1)有限l(x)是

lm

次多項(xiàng)式對(duì)=l(l+1),lm，(1)有多項(xiàng)式解=l(l+1),lm35本征問題本征值：本征函數(shù)：連帶勒讓德函數(shù)

m

為奇數(shù)時(shí)不是多項(xiàng)式!362.締合勒讓德函數(shù)的性質(zhì)(上標(biāo)m≥0

必須相同)正交歸一性(1)正交歸一性37證明遞推關(guān)系分部積分求導(dǎo)m–1

次38二階導(dǎo)數(shù)，則(2)完備性：若f(x)在區(qū)間[1,1]上有分段連續(xù)的(3)三項(xiàng)遞推關(guān)系求導(dǎo)m

次求導(dǎo)m–1

次證明思路：39

l階球面函數(shù)(共2l+1個(gè))是直角坐標(biāo)

x,y,z

的l

次齊次多項(xiàng)式正交性：若l'm's'lms,則3.球函數(shù)40例1：半徑為a

的均勻球表面溫度為，求球內(nèi)部的穩(wěn)定溫度分布解：拉普拉斯方程變量分離