分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

排列組合年級(jí):高二科目：數(shù)學(xué)時(shí)間：8/12/200617:12:39新4559891

老師您好我們學(xué)校正在講高二下冊(cè)數(shù)學(xué)排列組合一章麻煩老師發(fā)一些關(guān)于這一章的學(xué)習(xí)資料謝謝

答：同學(xué)，你好，現(xiàn)提供以下資料供你參考：

分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析］

重點(diǎn)通分云計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)算原理，這兩個(gè)原理是解決排列組合問(wèn)題的基本原理，是推導(dǎo)排列數(shù)公式，

組合數(shù)的依據(jù)，難點(diǎn)是利用兩個(gè)原理解排列組合應(yīng)用問(wèn)題.

【命題趨勢(shì)分析】

兩個(gè)基本原理是下節(jié)要學(xué)的知識(shí)的基礎(chǔ)，所以它起到了承上啟下的作用，同時(shí)掌握好兩個(gè)基本原理，也有

利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，主?？疾閼?yīng)用兩個(gè)基本原理分析利解決一些實(shí)際問(wèn)題，單獨(dú)出題至

多一個(gè)小題

核心知識(shí)

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

］力口法原理

加法原理：做一件事，完成它可以有兒類辦法，在第一類辦法中有m種不同的方法，在第二類辦法中有

種不同的方法......在第n類辦法中有外種不同的方法，那么完成這件事共有

N=mi+m2+...+mn種不同的方法

(1)如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能

獨(dú)立完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理.

(2)“做一件事，完成它可以有n類辦法，這里對(duì)完成這件事的所有方法的一種分類.分類時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)

題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.其次，分類時(shí)要意滿足一個(gè)基本的要求：完

成這件事的任何一種方法必屬于某一類，分屬于不同兩類的兩種方法都是不同的方法.

2.乘法原理

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有m2種不同的

方法，……，做第n步有叫種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m］Xm2X_xmn種不同的方法.

(1)如果完成一件事需分成n個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟，才能完成這件事，而完

成每一個(gè)步驟各有若干方法，求完成這件事的方法種數(shù)就用乘法原理.

(2)“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，這是指成這件事的任何一種方法，都要分成n個(gè)步驟，分步時(shí)

首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)；其次分步時(shí)，要注意滿足完成一件事必須并且只需連續(xù)完成這幾

個(gè)步驟后這件事才算完成.

注意：兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)，使用加法原理分類時(shí)必須做到不重不漏，

各類的每一種方法都能單獨(dú)完成:使用乘法原理分步時(shí)必須做到各步均是完成事件必須經(jīng)過(guò)的缺?不可的步驟,

分類與分步的思想是解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法.

典型例題

例1由數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)的數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有()

A.60個(gè)B.48個(gè)C.36個(gè)D.24個(gè)

解組成適合題意的五位數(shù)，可分三個(gè)步驟完成；第一步，末位2或4,有2種方法；第二步，首位不能取

5,去掉末位取去的一個(gè)，有3種方法；第三步中間三位由剩下三個(gè)數(shù)字組成共有6種方法，由乘法原理，共有

236=36(個(gè))，選C.

例21800有多少個(gè)正約數(shù)？

解1800=23-32-52,于是1800的正約數(shù)只能是形如2a?3叼丫的數(shù)，a可取0,1,2,3,B可取0,1,2,丫

可取0,1,2由乘法原理，1800的正約數(shù)有433=36(個(gè)).

例3有不同的中文書(shū)7本，不同的英文書(shū)5本，不同的法文書(shū)3本，若從中選出不屬于同一種文字的2

本書(shū)，共有多少種選法？

解先用乘法原理，后用加法原理，選中文、英文書(shū)各一本有7x5=35種選法，選中文、法文書(shū)各一本有

7x3=21種選法，選英文、法文書(shū)有5x3=15種選法，所以總共有35+21+15=71種不同的選法.

例4用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字

(1)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？

(2)可以組成多少個(gè)數(shù)字可重復(fù)的三位數(shù)？

(3)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1()(X)的自然數(shù)？

(4)可以組成多少個(gè)數(shù)字可重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？

解(1)確定一個(gè)三位數(shù)，必須分別確定這個(gè)三位數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字且。不能排在百位上.則完成

這件事需分三步進(jìn)行：第一步：確定百位上的數(shù)字，有4種方法；第二步，確定十位上的數(shù)字，有4種方法；

第三步：確定個(gè)位上的數(shù)字，有3種方法，由乘法原理，可組成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)N=443=48(個(gè))

(2)因?yàn)閿?shù)字可重復(fù)，則不同的三位數(shù)有N=455=100(個(gè)).

(3)小于100()的自然數(shù)包括一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)三類，它們互不關(guān)聯(lián).由0,1,2,3,4組成的數(shù)字不

重復(fù)的一位數(shù)有4個(gè)(0不是自然數(shù))，二位數(shù)有44=16個(gè)，三位數(shù)有48個(gè)，由加法原理，符合條件的自然數(shù)

有N=4+16+48=68(個(gè)).

(4)同上分析，數(shù)字可重復(fù)的小于1000的自然數(shù)有N=4+4-5+455=124(個(gè)).

評(píng)析(1)這道題的解法涉及兩個(gè)基本原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，其關(guān)鍵在于弄清完成事件的過(guò)程是分類還是分步進(jìn)

行，從而確定是使用加法原理還是乘法原理或兩原理的綜合使用，“分類則加，分步則乘”是解決排列、組合問(wèn)

題的最基本策略.(2)對(duì)元素可重復(fù)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，一般均用兩個(gè)基本原理解決.

例5(1)A、B、C、D四個(gè)學(xué)生報(bào)名參加語(yǔ)、數(shù)、外三個(gè)學(xué)科活動(dòng)小組學(xué)習(xí)，每人參加一個(gè)小組，不同的

報(bào)名方法共有幾種？

(2)期中考試，語(yǔ)、數(shù)、外三科第一名均在A、B、C、D四個(gè)學(xué)生中，獲第一名的情況共有幾種？

解(1)每個(gè)學(xué)生都有3種選擇，四人每人選擇一小組后，事件完成，所以完成這件事可分成4個(gè)步驟，由

乘法原理：不同報(bào)名方法共有N=333-3=34=8I種.

例6從I到200的自然數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上都不含有數(shù)字8的有多少個(gè)？

解分三類.一位數(shù)中除8外符合要求的有8個(gè)；二位數(shù)中，十位上數(shù)字除()，8外有8種情形，個(gè)位數(shù)字除

8外有9種情形，故二位數(shù)中有8x9=72個(gè)符合要求；三位數(shù)中，百位上數(shù)字為1,十位上數(shù)字和個(gè)位上數(shù)字

除8外均有9種情形，故符合要求的百位為1的三位數(shù)有9x9=81(個(gè))，此外還有200符合要求，綜上從1到

200,不含數(shù)字8的自然數(shù)有N=8+72+81+l=162(個(gè)).

排歹(J

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

本節(jié)捻點(diǎn)也排列的概念、排列數(shù)公式及其應(yīng)用，難點(diǎn)是用排列的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.關(guān)于排列的應(yīng)用題，應(yīng)

考慮以下問(wèn)題：①問(wèn)題的結(jié)果是否與順序有關(guān)；②在問(wèn)題中，n個(gè)元素指的是什么，m個(gè)元素又指的是什么?③

從n個(gè)元素每次取出m個(gè)元素的一個(gè)排列對(duì)應(yīng)著的事件是什么.

【命題趨勢(shì)分析】

由于社會(huì)、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)和發(fā)展，排列組合的應(yīng)用日益廣泛，它已滲透到整個(gè)社會(huì)生活的方方面面.雖然

本章與前面的所學(xué)知識(shí)沒(méi)有什么聯(lián)系，它是學(xué)習(xí)后面概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)以及進(jìn)一步深造的知識(shí)準(zhǔn)備.近幾年高考中，

排列組合的內(nèi)容占有一定的比例，必須引起重視.

核心知識(shí)

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

1.排列的概念

首先我們把被取的對(duì)象叫做元素.

一般地，從n個(gè)不同的元素中，任取m(詔n)個(gè)元素，按照一定的順序排列成一列，叫作從n個(gè)不同元素中

取出的m個(gè)元素的一個(gè)排列.

注意：①研究的對(duì)象——元素各不相同，定義中指的是“一個(gè)排列”，不是所有的；

②排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：“取出元素''與"按照一定的順序排列一定順序”說(shuō)明排列與順序有關(guān).

③只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同?個(gè)排列，元素完全不同，或元素部

分相同，或者元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列.

④在排列時(shí)，如果后m(即每次只取出一部分元素)；就叫排列，若n=m(即每次取出全部元素)，就叫全排

列.

2.排列數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(記n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),

用符號(hào)AJ表示.

說(shuō)明要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個(gè)排列”兩個(gè)概念.一個(gè)排列是“從n個(gè)不同的元素中，任取出m個(gè)元素，按

照一定的順序擺成一排''，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；排列數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的

所有排列的個(gè)數(shù)“，它是一個(gè)數(shù).

3.排列數(shù)公式的推導(dǎo)

研究排列數(shù)公式時(shí)，我們從特殊到一般用不完全歸納法去推導(dǎo)排列數(shù)公式.

(1)先求A::假定有排好順序的2個(gè)空位，從n個(gè)不同元素a.ao,……,a?中任取2個(gè)去填空，一個(gè)空位填一個(gè)

元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反過(guò)來(lái)，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到.不同填法的種數(shù)就是

A?.

第I位第2位

完成這件事分兩個(gè)步驟：第一步，先填第一個(gè)位置的元素，有n種方法，第二步，再填第二個(gè)元素，可以

從剩下的n-1個(gè)元素中選，有n-1種方法，從而A/=n(n-1)

(2)求排列數(shù)A「可以這樣去做：假定有排好順序的m個(gè)空位，從n個(gè)不同元素ai,a*…用中任意取出m個(gè)

去填空，一個(gè)空位填一個(gè)，這樣可以分m步去做同樣可得A「=n(n-l)(n-2)…(n-m+1)

第I位笫2位第3位第,位

排列數(shù)公式：

An"'=n(n-l)(n-2).........(n-m+1)其中n,m6N*,并且m<n.

說(shuō)明①第一個(gè)因數(shù)是n;②最后一個(gè)因數(shù)是n-m+l;③一共有m個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘.

例：''=6x5x4x3x2=720

(3)自然數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示.

所以n個(gè)不同元素的全排列公式An"=n!=n.(n-l)-(n-2)..........1

典型例題

例寫(xiě)出從4個(gè)不同元素a、b、c、d中任取3個(gè)元素的所有排列.

分析：借助''樹(shù)圖法''列舉所有排列，條理清晰，防止重漏，結(jié)合本例可畫(huà)出下圖.

VaVbvc

例5名男生與5名女生站成一排.

(1)如果男生必須相鄰，有多少種站法？

(2)男生必須相鄰，女生也必須相鄰，有多少種站法？

(3)如果男生都不相鄰，有多少種站法？

(4)如果男生都不相鄰，女生也都不相鄰，有多少種站法?

解（1）把5個(gè)男生“捆”在一起作為一個(gè)元素，每個(gè)女生看成一個(gè)元素，共6個(gè)元素排列，有A，種方法，

但男生之間可以改變順序，有As'種方法，共有A"A55=86400（種）方法.

（2）男生看成一個(gè)元素，女生也看成一個(gè)元素進(jìn)行排列，共有A??種，但男生之間可改變順序，女生之間也

可改變順序，各有A5$種方法.，共有人22455小55=28800（種）方法.

（3）先讓女生排好，每2個(gè)女生之間及兩端共計(jì)有7個(gè)空位，讓男生插入，每個(gè)空位至多插入1名男生，于

是男生均不相鄰（但女生有可能相鄰）.，共有302400（種）方法.

（4）一排10個(gè)位置，男生站1、3、5、7、9位，女生站2、4、6、8、10位；或反過(guò)來(lái)，這樣排列，男生互

不相鄰，女生也互不相鄰..?.共有A52A5、A,2=28800（種）方法.

說(shuō)明題（2）與題（4）實(shí)質(zhì)上是一樣的.題（2）也可這樣考慮：男生站1、2、3、4、5位，女生站6、7、8、9、

10位，或反過(guò)來(lái)，所以這兩題結(jié)果一樣.

對(duì)于“相鄰”問(wèn)題，多采用“捆綁法”處理；對(duì)于不相鄰的問(wèn)題，往往采用“插空法”處理.

例有0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的

（1）五位數(shù)？（2）能被25整除的五位數(shù)？（3）大于201345的自然數(shù)？

解（1）本題有一個(gè)隱含的限制條件：（）不能放首位，故先考慮0.

1°未選0,其余5個(gè)數(shù)排列共A5$=120種.

2。己選0,則0只能排在個(gè)、十、百、千位，0排定后，在其余5個(gè)數(shù)中選4個(gè)排在其余位置上，共A/As,

=480種....共有120+480=600（種）方法.

另解采用排除法.先考慮在這6個(gè)數(shù)中選5個(gè)進(jìn)行排列（讓0也能在首位），再除去0在首位的那些排列.

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二共有A5-A5=720-120=600（^'）

（2）本題有兩個(gè)限制條件，即0不能放在首位和該數(shù)要被25整除.從優(yōu)先考慮該數(shù)能被25整除入手，此數(shù)末

兩位數(shù)只能是25與50.末兩位數(shù)是25時(shí)，還必須考慮首位不能為0,末兩位數(shù)是50時(shí)，則不必考慮首位不為0

的條件，于是得解為（A21A3?）+&3=42.或（％3_人32）+&3=42.

（3）比201345大的六位數(shù)可以分兩種情況：

首位為3、4、5的六位數(shù)均比201345大；首位為2且后5位數(shù)字為0、1、2、3、4、5的數(shù)中，以201345

最小，因此只須首位為2、3、4、5而除去一個(gè)數(shù)即可....共有A/Asn=479（種）.

另解在所有用這6個(gè)數(shù)字排成的全排列中，去掉以0、1為首位的那些排列，再去掉201345這個(gè)數(shù)，得

共有AA2As'，=479（種）

說(shuō)明解含限制條件的排列組合問(wèn)題時(shí)，通常有直接法與間接法兩種解法.直接法就是先考慮限制條件，直

接計(jì)算滿足限制條件的排列數(shù)；間接法則是先不考慮限制條件，把所有排列數(shù)算出，然后再根據(jù)限制條件把不

合題意的那些排列排除.

例用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是3的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共

有（）

A.96個(gè)B.78個(gè)C.72個(gè)D.64個(gè)

分析要求比10000大，于是可由萬(wàn)位所數(shù)字確定，即萬(wàn)位上只要排入2以上（包括2）數(shù)字即可滿足條件，

也就是說(shuō)1不排在萬(wàn)位，并且3不排在百位的排列問(wèn)題。

解法一：直接法：以元素為主，考慮不在百位，但可在其它任何位，由于1不在萬(wàn)位，所以3排與不排在

萬(wàn)位與1的排法有影響，故按3的排法分兩類：①3排在萬(wàn)位，剩余的位置可以無(wú)限制條件，有PJ種不同的排

法；②3不排在萬(wàn)位時(shí)，按先排3再排1,后排其它的步驟進(jìn)行共有A3LA33種不同的方法，根據(jù)加法原理，滿

足條件的5位數(shù)共有A/+A31A3%；=78個(gè)，故選B.

解法二：間接法：不符合條件的排列為：1在萬(wàn)位或3在百位，包在三種情況（如圖所示）：1在萬(wàn)位且3不

在百位；1不在萬(wàn)位且3在百位；1在萬(wàn)位且3在百位，共有2A31AA33+A33種不同的方法，所以符合條件的排

法有A55-QA3A/+A33）種不同的方法.

組合

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

1.排歹i與城合的區(qū)別在于排列與順序有關(guān)，而組合則與順序無(wú)關(guān).

2.排列數(shù)公式與組合數(shù)公式都有兩種形式：①乘積形式②階乘形式，前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于證

n\

明恒等式，注意公式的倒用.即由㈤5一根)！寫(xiě)出CJ

3.組合數(shù)的第二個(gè)性質(zhì)不好記憶.要使學(xué)生搞清公式的結(jié)構(gòu)，即下標(biāo)相同，而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合相加，等

于下標(biāo)比原下標(biāo)多1,上標(biāo)與高的相同的一個(gè)組合數(shù).

【命題趨勢(shì)分析】

組合應(yīng)用題比排列應(yīng)用題更具廣泛性，組合問(wèn)題的分類和解題思路類似于排列問(wèn)題的分類和解題思路.理解

組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式，并能運(yùn)用它解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.本節(jié)內(nèi)容在高考中年年都有，題型基本是

選擇題、填空題，題目體現(xiàn)了本章的最大特點(diǎn)，就是實(shí)用性.因此，解決好高考中的排列組合問(wèn)題，關(guān)犍在于把

握問(wèn)題的實(shí)際意義及基本原理，基本公式，本節(jié)屬高考必考內(nèi)容.

核心知識(shí)

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

1.組合的概念

一般地說(shuō)，從n個(gè)不同元素中，任取m(ngn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一

個(gè)組合

說(shuō)明①排列與組合問(wèn)題有共同點(diǎn)，就是都要“從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)不同元素”.

②排列與組合問(wèn)題的不同點(diǎn)是:排列要“按照一定的順序排成一列”,而組合卻要“不管怎樣的順序并成一組

③相同的組合指的是這兩個(gè)組合中元素一樣，無(wú)論順序如何.

2.組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(記n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),

用符號(hào)表示.

說(shuō)明“組合數(shù)”指的是“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)“，它是一個(gè)數(shù).而“一個(gè)組合”是

指“從n個(gè)不同元素中，任取m(mSi)個(gè)元素并成一組，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事.

3.組合數(shù)公式

mmm

由乘法原理發(fā)現(xiàn)排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系：An=Cn-Am

4?(?-1)(?-2)....(n-m+X)%!

m

Cn=M=w!=

這里neN；meN,并且m￡n,規(guī)定C『=l.

4.組合數(shù)的性質(zhì)

定理1C「=Cm”m

定理2Cn+|m=C「+C「」

性質(zhì)3kC?k=nCn-F

典型例題

例1寫(xiě)出從4個(gè)不同元素a、b、c、d中任取3個(gè)元素的所有組合.

解列舉所有的組合情形，通常采用分類法，這樣條理清晰，便于防止重漏，本例答案是abc,abd,acd,bcd.

117

例2已知5.%=1UU7，求C8m

解已知等式

掰!(5-㈤！幽!(6-M!7冽!(7-活)!

Q5!.6!=~10-7!

=m2-23m+42=0=m=2或m=21.

m=21不合題意，舍去.C8nl=C8?=28.

說(shuō)明含AJ、CJ的式子都有mgn作為隱含條件，在解題過(guò)程中要注意.

5X5

例3(1)解方程=C16-

解利用組合數(shù)的性質(zhì)1,得

X2-X=5X-5或x2-x=16-(5x-5)

又???gx2-x016且0<5x-5<16

，整數(shù)X的解為x=l或x=3.

,7n3n

⑵求值：c2n-+c13+n

解依題意n必須滿足

0<17-?<2?

0<3?<13+?

/.5.7<n<6.5.?.n=6

*,*原式C]2"+Ci9’8=31.

例4計(jì)算下列各題：

2國(guó)-中

⑴6!+5!

⑵(CH)o"+CHX)")+P|0|3

(3)C2~+C3~+C4~+...+C|0~.

7!-6!(7x6-6)x5!36

解⑴原式=6!+5!=(6+l)x!=T

1J

*

(2)原式MCIOFXAIOI'UCIOJ+PIO/U3=6

(3)原式=(Cj+CsD+Cr+...+Go?

=Cj+C「+C5~+-+C?()~

=165

例5男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1人，選派5人外出比賽，在下列情形各有多少種選

派方法？

(1)男3名，女2名；

(2)隊(duì)長(zhǎng)至少有1人參加

(3)至少有一名女隊(duì)員

(4)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員.

解(1)先選男運(yùn)動(dòng)員有C6?種方法：再選女運(yùn)動(dòng)員有C42種方法，故共有C/C42=120種選派方法.

⑵僅1個(gè)隊(duì)長(zhǎng)參加有C22<V種方法，2個(gè)隊(duì)長(zhǎng)參加有Cg3種方法，故共有C22<V+C83=196種選派方法.

(3)無(wú)女運(yùn)動(dòng)員的選法有C$5種，故至少有一名女運(yùn)動(dòng)員的選派方法有CKAC65=246種.

(4)若女隊(duì)長(zhǎng)參加，有C/種選法，若無(wú)女隊(duì)長(zhǎng)，則必有男隊(duì)長(zhǎng)，另有女運(yùn)動(dòng)員1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)，有

C3IG3+C.FC52+C53GL65種選法，因此既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員的選法有C9、65=191種選法.

例6在11名工人中，5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人既能當(dāng)鉗工又能當(dāng)車工，現(xiàn)從這11個(gè)

中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問(wèn)共有多少種不同的選法？

解按兩種都會(huì)的工人分如下幾類；(1)2人都選出當(dāng)鉗工，再選2個(gè)鉗工有C$2,選4個(gè)車工有Cj.

此類有C22c52c丁種選法.

(2)2人有1人被選出當(dāng)鉗工，再選3個(gè)鉗工有C$3,選4個(gè)車工有C5*另一人可當(dāng)車工，也可不當(dāng)車工)，

24

.,?共有C2'-C5-C5

O44

(3)2人都不被選出當(dāng)鉗工C2-C5-C6-

224134<,45

:.共有C2C5C4+C2C5C5+C2C5C4=185(種)

例7計(jì)算CIOE+GO”“值不相同的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)和組合的概念.

'0<r+l<10

由組合數(shù)性質(zhì)可知〔°'I?一廣’1°解得7W/9,代入原式

①當(dāng)r=7時(shí)，C|（）8+C|（）lo=C|o8+l,

②當(dāng)r=8時(shí)，CIO9+C129—2CIO9,

IO88

③當(dāng)r=9時(shí),C1O+C1O=C1（）+1.

說(shuō)明把r值求出之后，應(yīng)代入逐一檢查.

例8從5名男生和4名女生中任選3人，要求至少有男生和女生各一人的選法有（）

A.70B.140C.8435

解本題主要考查組合的概念及加法，乘法原理.

解法一：①選1名男生2名女生，c5k/種選法；②選2名男生1名女生，C5kJ種選法，由加法原理總

共有C51c4?+C52c「=40+30=70種選法.

解法二：從9名學(xué)生中任取3名的方法有Cg3個(gè)，但是要把不符合條件的只取男生的C5?和只取女生的C43

減去.即C93-C53-C43=84-10-4=70.故選A.

說(shuō)明①任取1名男生C5I；②任取1名女生CJ,③從余下的7人中任取1人C7I,依乘法原理C5ICJC7I

=14（）.此解的錯(cuò)誤在于重復(fù)取，如第1次先取男生a,又取1女生b,第3次從余下的7人中的男生c.這是一種

取法，再有一種取法是第一次取男生c,第二次取女生b,第三次取男生a,此種的取法與笫一種的取法取的人完

全一樣，因此不能這樣做此題.

例9平面內(nèi)有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)在一條直線上，此外無(wú)3點(diǎn)共線，經(jīng)過(guò)這9個(gè)點(diǎn)可以連成不同直線的

條數(shù)是（）

A.31條B.30條C.29條D.28條

分析：本題的主要考查分類，加乘法原理、組合等知識(shí).

解法一：把9個(gè)點(diǎn)分成兩類：①共線的4個(gè)點(diǎn)；

②其余5個(gè)點(diǎn),這樣直線條數(shù)由三類組成：1.共成4個(gè)點(diǎn)有一條直線;2.5個(gè)點(diǎn)確定C52=10條直線;3.C/XC5I

=20,因此不同的直線條數(shù)為1+10+20=31.

222

解法二：9個(gè)點(diǎn)取任2個(gè)點(diǎn)確定的直線條數(shù)為C9=36,這里有重復(fù)的C?-l條，因此不同的直線有C9-C4+l

=31條.

【課本難題解答】

從1、3、5、7、9中任取3個(gè)數(shù)字，從2、4、6、8中任取兩個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可

以組成多少個(gè)數(shù)？

解分三步：第一步取奇數(shù)c$3,第二步的偶數(shù)cj,第三步取出的五個(gè)數(shù)全排A55從而一共可以組

成C53c42A5$=7200個(gè)數(shù).

二項(xiàng)式定理

［重點(diǎn)難點(diǎn)解析］

對(duì)二向式（；+b）“，項(xiàng)數(shù)有n+1項(xiàng)，a的指數(shù)從n到0逐項(xiàng)遞減，b的指數(shù)從。到n逐漸遞升，各項(xiàng)里a與b

的指數(shù)和為n,通項(xiàng)公式是Tk+產(chǎn)€?小9.系數(shù)：與首末兩端等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等，即Cj=CJ*.當(dāng)n為偶數(shù)

n?+1?+1

時(shí)，中間項(xiàng)（第5+1項(xiàng)）系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第2和2+1項(xiàng)）系數(shù)相同且值最大.相鄰

n-k

3

兩項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)系式c『+i=上+1CJ.奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，即有cn°+c“2+……=cn'+cn+……=

2n

2"工各項(xiàng)系數(shù)和為2%即Cn°+Cn'+C?+……+C?=2".

應(yīng)注意的是：項(xiàng)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，笫k+1項(xiàng)的系數(shù)是Cj而不是CJ+L”系數(shù)”是指展開(kāi)時(shí)的系數(shù)Cn0、

1

Cn……Cn%而不包括二項(xiàng)式中一項(xiàng)本身系數(shù)，這類系數(shù)也稱二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)或二項(xiàng)展開(kāi)系數(shù).（a-b）■■展開(kāi)式的

kkkk

通項(xiàng)式為:Tk+1=（-l）Cna"b.

【命題趨勢(shì)分析】

二項(xiàng)式定理與概率理論中的三大概率分布之一的二項(xiàng)分布有其內(nèi)在聯(lián)系，本節(jié)是學(xué)習(xí)后面的概率知識(shí)以及

進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)備知識(shí)，所以它很有應(yīng)用價(jià)值，另外，二項(xiàng)式定理是解決某些整除，近似計(jì)算等問(wèn)題

的一種方法，本節(jié)應(yīng)注意：

1.求展開(kāi)式中的某些特殊項(xiàng)

2.近似計(jì)算

3.有關(guān)整除和余數(shù)問(wèn)題

核心知識(shí)

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

1.二項(xiàng)式定理

nllrnrrn

(a+b)"=C?°a"+Cn'ab+...+C?ab+...+C?b"(neN*)

這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b『的二次展開(kāi)式，其中的系數(shù)C；(r=O,l,……n)叫做二項(xiàng)

式系數(shù)，式中的CnKE.叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tr+I表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)：Tm=07短出.

楊輝三角：

我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里記載著類似下面的表(圖9-8),我們稱它為楊

輝三角.在歐洲，人們認(rèn)為這個(gè)表是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卜(BlaisePascal.1623-1662年)首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)

表叫做帕斯卡三角.

圖9-8

說(shuō)明①Tm=c；a"b是(a+b)11的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng).r=0,l,2,……n.它和(b+a)”的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)C?rbnrar

是有區(qū)別的.

②T-I僅指(a+b)”這種標(biāo)準(zhǔn)形式而言的，(a-b)”的一項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是Tm=(-1)匕“*"也

③系數(shù)C；叫做展開(kāi)式第r+1次的二項(xiàng)式系數(shù)，它與第r+1項(xiàng)關(guān)于某一個(gè)(或幾個(gè))字母的系數(shù)應(yīng)區(qū)別開(kāi)來(lái).

特別地，在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè)a=l,b=x,則得到公式：

n-ran

(1+x)=l+cIJx+Cnx~+...+CI1x+...+x.

當(dāng)遇到n是較小的正整數(shù)時(shí)，我們可以用楊輝三角去寫(xiě)出相應(yīng)的系數(shù).

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1在二次項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.

rhm__「n-m左口小__「m廠I__「n-l廣2__「n-2廠k__z-im-k

田公式Cn—Cn失口：Cn—Cn,Cn—Cn,Cn—Cn,....Cn—Ln，.....

性質(zhì)2如果二項(xiàng)式的基指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

-1)(?-2)........(?-k3)

1,2……?-1)

—此'+1

則J

甩一上+1

⑴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，①若kS2,則:k>1,故CjAC尸

nn-k+\

②若k>2,則k<1,故Cnk<CjT

02

從而最大的項(xiàng)是?

力一分+1X-1

⑵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，①若k<2時(shí)，則k>1,故CnBCjL所以Cn°VC：VCn2V……<5

n-k+\

②若k=2時(shí)，則k=1,故Cnk=C『".

x-1-+2

r*~r*~

即u?=u?

%+1用一出+1M+lM+l.?+l

+1

rVrT「皆

③若k>2時(shí)，則kVI,故CjvcF.所以*>*>*>……>C?n.

3.有關(guān)二項(xiàng)展開(kāi)式的特殊等式

(1)(1+1)n=2"=Cn°+C3+Cj+……+CJ

n02435

(2)(l-l)n=0=a°-Cni-C；+……+(-l)"Cn=Cn+Cn+Cn+……=C?'+Cn+Cn+……

nl22n

(3)(l+i)=C0°+Cni+Cni+……+C?i"

n無(wú)

ncFcj+cV-C；+……=顯cos4

典型例題

例1在(、份+后)1°°的展開(kāi)式中有多少個(gè)有理項(xiàng)？

r

解Tr+1=CluO(圾產(chǎn)工咯：

-C,2吟3：

一Cioo乙

若Tm是有理項(xiàng)，則2與3的指數(shù)均是整數(shù)

；.r=4k,kGz且gelOO

故OSkW25,kGz,共26個(gè)有理項(xiàng).

例2已知(l+3x『的展開(kāi)式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121,求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

解末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C「2,cT,cJ貝IJ

n2n

Cn-+Cn-'+Cn"=121

得n=15(n=-16舍)

rr：rrr

Tr+i=Ci5(3x)=Ci53x

設(shè)Tm項(xiàng)與1；項(xiàng)的系數(shù)分別為tr+l與tr)則

tr+1=C15r，3、=C15e3”

4+iC.323(15-r+1)

令4>1,即C"3j=r>]

解之r<12

即當(dāng)r<12；rGN時(shí)，有即第12項(xiàng)以前的各項(xiàng)，前面一項(xiàng)的系數(shù)都比后面一項(xiàng)的系數(shù)小，又當(dāng)r

=12時(shí)，t"|="，即t|3=t|2,所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()

ll1,,2l212

Tl2=Cl53"x,T,3=C153x

評(píng)析要注意同展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別.在(a+b)"的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是中

間項(xiàng)；但當(dāng)a,b的系數(shù)不是1時(shí)，最大系數(shù)項(xiàng)的位置就不一定在中間.需要利用通項(xiàng)公式，根據(jù)系數(shù)值的增減性

具體討論而定.

2

例3(MX+x)n的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)之比為224：3,求第8項(xiàng).

2?-5r

2r2

解第r+1項(xiàng)T'+尸C】(石嚴(yán)(Y)=cn-2-x,第5項(xiàng)的系數(shù)是C；*第3項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)是

C」.依題意：

C；"224

b=T,

即是

?!?!14

4!(?-4)L2!(?-2)!=~3,

整理得

n2-5n-50=0,

n=-5(舍)，n=10.

咤2曾

772

T8=CIO-2.x=15360.x2=xn-fx

1

例4⑴求(3x-2石)9中的x3的系數(shù)，(2)求(2x2-x-l)6中X,的系數(shù).

解(1)設(shè)含x3的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則有「+尸C9r(3x)*r.(-)=^.3^.(-2>X.

327x3,15309

令9-2r=3,得r=4..,.展開(kāi)式中x，的系數(shù)為?9七5(-2六=8—8

⑵V(2x?-x-1)6=(x-1)6(2x+1)6,

226335444255336624

二的系數(shù)為C6(-1)C6+C6(-1)C6(2)+C6(-1)-C62-rf：6(-1)C62+C6(-1)C6-2=15-240+900-960+240=

-45.

(2x?—矛—1)(2芯2_x_1)…(2/_X—1)

另解V(2X2-X-1)6=6個(gè)叫.中的系數(shù)為

224422334422

C6-2-C4°(-1)°C4(-1)+C6'-2C5(-1)C3(-1)+C6°-2°C6(-1)C2(-1)=60-120+15=-45.

例5⑴求9嚴(yán)除以100的余數(shù);

l23n-1

⑵求證:1+4C?+7Cn+10C?+...+(3n+l)C?=(3n+2)-2

95l942939329495

解⑴9195=(90+1產(chǎn)=90+C95-90+C95-90+...+C95-90+C9S+90+C95.

9495

由于這個(gè)展開(kāi)式的96項(xiàng)中，前94項(xiàng)均是100的倍數(shù)，故它被100除的余數(shù)等于C95-90+C95除以100的

余數(shù)，而C^-C^+C^^gSxW+l=8551.

二9儼除以100的余數(shù)為51.

123nn,

(2)令S=1+4Cn+7C?+10Cn+...+(3n+1)Cn,則S=(3n+1)Cn+(3n-2)Cn"'+...+1.

兩式相加,得2s=(3n+2)(Cn°+C」+...Cn)[注意C『=CT]=(3n+2)-2n

AS=(3n+2)-2nl.

另證：由于(3k+l)€?=31<(23<『=311丁尸+(：￡

2n

Al+4Cn'+7C?+10C；+…+(3n+1XV=C；+(3-1+1)C[+(3-2+1)C:+...+(3n+l)C?=

lnt),=wnO1n:=,n

3,(1Cn+2Cn~+...+nCn)+(Cl)+Cn+...+C11)-3(nCn.)+nCn.||+...+nCn.|)+(Cn+Cn+...+Cn)3n2+2"=

(3n+2)-2nl.

例6求(l+x)+(1+x)2+…+(l+x)i°的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和.

0+初1-(1+-1。](X+1-—1

解法1原式=1-Q+X)=X.1,其系數(shù)和為CJ+C“2+...+CU，=2L2.

2(2-尹)

解法II設(shè)原式=f(x),則系數(shù)和f(l)=2+22+...+2i°=1-2=2"-2.

說(shuō)明解法H是求二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的常用方法.

例7⑴求和：

22nlnnl,1

l-2Cn+4Cn-...+(-l)-2'Cn'+(-l)"2Cn";

nn

(2)求證：Cn0-2C二+4C”24cli、+……+(-l)(n+l)C?=0.

解在二項(xiàng)式定理的公式中令a=l,b=-2,即得

[17為偶數(shù)

<

原式=(l-2)n=(-l)n=IT%為奇數(shù)

n\(?-1)!

(2)VkC?k=k旗"-到=n?T)?T)!=nC.產(chǎn)，

nn

Cn^Cn'+SCnMCA...+(-l)(n+l)Cn

0l3nl:n

=ECll-Cl)+C,1'-Cn+...+(-l)nCl,]-[C,1-2Cn~+3Cn'-...+(-l),nC,,"]

l2

=(1-1)--EnCl).|°-nCll.|+nCn.i-...+(-l)n.|"Cn.|"']=0-n(1-l)"i=0.

故原式成立.

說(shuō)明在求含組合數(shù)的式子的和時(shí)，常運(yùn)用公式

kCgnCjL

例8求證：1+2+22+...+2*I能被31整除.

證:Vl+2+22+...+25n-1

2"-1

=2-1

nnl1lnl

=32-l=(31+l)-=31"+Cll3r-+...+Cn-31

n,1n2n1

=31(31-+C11-31-+...+Cn-).

括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)皆為整數(shù)，其和也為整數(shù)，所以

1+2+22+...+2531能被31整除

例9當(dāng)吟3時(shí),求證：2+2(n+l).

n<,1ln

證2"—(1+1)—Cn+Cn+Cn'_+...+Cn"+Cn

N2(Cn°+C3)=2(n+l).

說(shuō)明利用二項(xiàng)式定理證明不等式通常是舍去展開(kāi)式的若干項(xiàng)或?qū)σ恍╉?xiàng)進(jìn)行放縮變換.

【課本難題解答】

用二項(xiàng)式定理證明：

(l)(n+1)n-l能被?整除

(2)9910-1能被1000整除

nnl2n2n22n

ilE：(1)V(n+l)-l=n"+C?'n-+C?n-+...+Cn--n+C?''-n+1-1

lnl22n222

=n"+Crin-+Cnn"-+...+Cn'n+n

2n232n42

=n(n-+C?'n"'+Cnn-+....+Cn"-+1)

二(n+1)』能被I?整除.

1O,OI928829

(2)99-1=(100-1)-1=10O'°-CIO-100+C1O-100+...+C1O-100-C1O-10O+1-1

lo92882

=1OO-Cio'-lOO+Clo-l00+……+C10400-10x100

172I5238

=1OOO(1O-CIO-1O+CIO-1O+...+CIO-1O-1)

99%能被1000整除.

隨機(jī)事件的概率

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

本節(jié)螢點(diǎn)通等可能性事件的概率，難點(diǎn)是處理隨機(jī)現(xiàn)象問(wèn)題的思考方法.

【命題趨勢(shì)分析】

由于本節(jié)內(nèi)容是教材改編后新增加的，所以近幾年才出現(xiàn)概率的試題，而且第?次就以一道大題出現(xiàn)，說(shuō)

明本節(jié)內(nèi)容是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.

核心知識(shí)

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

1.必然事件與不可能事件

所謂事件，實(shí)際上就是在一定條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果.

在一定條件下必然發(fā)生的事件，叫做必然事件.

在一定條件下不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件.

例如在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，把水加熱到100℃,這是條件，在此條件下發(fā)生沸騰(或汽化)，這是一個(gè)必然事件，

又如，向上拋一枚均勻的硬幣，這是條件，在此條件下，落地的硬幣的正面(有國(guó)徽?qǐng)D案的一面)向上，是一隨

機(jī)事件.

注意：①對(duì)于一個(gè)事件，如果敘述不明確，容易導(dǎo)致不同的理解.例如，把“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，以下的冰

不可能融化''說(shuō)成是一個(gè)事件，那么事件的結(jié)果可以認(rèn)為是指“冰融化”(因而它是不可能事件)，也可以認(rèn)為事件

的結(jié)果是指“冰不融化''(因而它是必然事件).

②在敘述時(shí)將事件的條件和結(jié)果分開(kāi)寫(xiě)明，并將整個(gè)事件加上引號(hào).

③為了敘述方便，我們把條件每實(shí)現(xiàn)一次，叫做進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果試驗(yàn)結(jié)果事先無(wú)法確定，并且可以重

復(fù)進(jìn)行，這種試驗(yàn)就叫做隨機(jī)試驗(yàn).

2.隨機(jī)事件

在一定的條件下不可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件.

例如：“某人射擊一次，中靶”，“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”.

隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生，雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一

定的規(guī)律性，這種規(guī)律性，一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性(對(duì)單次試驗(yàn)來(lái)說(shuō))，又存在著統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(對(duì)大量重

復(fù)試驗(yàn)來(lái)說(shuō))，這是偶然性和必然性對(duì)立的統(tǒng)一.

3.事件A的概率

m

一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率?總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)

就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).

注意：①概率是該事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，也是隨機(jī)事件的頻率.

②頻率具有穩(wěn)定性，即總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度就越來(lái)越小.

③概率可以看作是頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.

由概率的統(tǒng)計(jì)定義，可以得到：必然事件U的概念為1,P(U)=1.不可能事件V的概率為0,P(V)=0,而任

意事件A的概率P(A)滿足：OWP(A)S1.

4.等可能事件的概率

一般地,如果一次試驗(yàn)中共有n種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種.那么事件A的概率P(A)

m

是n.

注意：①隨機(jī)事件的概率，一般都是要通過(guò)大量重第試驗(yàn)來(lái)求得其近似值.但對(duì)于等可能事件來(lái)說(shuō)，每次試

驗(yàn)只可以出現(xiàn)有限個(gè)不同的試驗(yàn)結(jié)果，并且出現(xiàn)所有這些不同結(jié)果的可能性是相等的.

m

②P(A)=?既是等可能性事件的概率的定義，又是計(jì)算這種概率的基本方法.計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵在于求m,n.

典型例題

例1下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()

(1)物體在重力作用下會(huì)自由下落.

(2)方程X2+2X+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

(