2019年中考數(shù)學專題六代數(shù)幾何綜合題

2019年中考數(shù)學專題六代數(shù)(dàishù)幾何綜合題第一頁，共44頁。例1〔2018?濱州〕如圖，拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.〔1〕求點A，B，C的坐標；〔2〕點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積；〔3〕此拋物線的對稱軸上是否存在(cúnzài)點M，使得△ACM是等腰三角形？假設存在(cúnzài)，請求出點M的坐標；假設不存在(cúnzài)，請說明理由．第二頁，共44頁。解：〔1〕令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，解得x=﹣4或2，∴點A坐標(zuòbiāo)〔2，0〕，點B坐標(zuòbiāo)〔﹣4，0〕，當x=0時，y=2，∴點C坐標(zuòbiāo)〔0，2〕．第三頁，共44頁。第四頁，共44頁。第五頁，共44頁。第六頁，共44頁。1．〔2018?新疆〕如圖，對稱軸為直線(zhíxiàn)x=的拋物線經(jīng)過點A〔6，0〕和B〔0，﹣4〕．〔1〕求拋物線解析式及頂點坐標；〔2〕設點E〔x，y〕是拋物線上一動點，且位于第一象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕當〔2〕中的平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形．題組訓練(xùnliàn)第七頁，共44頁。第八頁，共44頁。第九頁，共44頁?！?〕平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF不能為菱形(línɡxínɡ)，理由如下：當平行四邊形OEAF的面積為24時，即﹣4x2+28x﹣24=24，化簡，得x2﹣7x+12=0，解得x=3或4，當x=3時，EO=EA，平行四邊形OEAF為菱形(línɡxínɡ)．當x=4時，EO≠EA，平行四邊形OEAF不為菱形(línɡxínɡ)．∴平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF可能為菱形(línɡxínɡ)．第十頁，共44頁。2．〔2018?上?！橙鐖D，拋物線y=ax2+bx﹣5〔a≠0〕經(jīng)過點A〔4，﹣5〕，與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D．〔1〕求這條拋物線的表達式；〔2〕聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積(miànjī)；〔3〕如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標．第十一頁，共44頁。解：〔1〕∵拋物線y=ax2+bx﹣5與y軸交于點C，∴C〔0，﹣5〕，∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又點B在x軸的負半軸上，∴B〔﹣1，0〕．∵拋物線經(jīng)過(jīngguò)點A〔4，﹣5〕和點B〔﹣1，0〕，∴，解得，∴這條拋物線的表達式為y=x2﹣4x﹣5．第十二頁，共44頁。第十三頁，共44頁。3．〔2018?赤峰〕在平面(píngmiàn)直角坐標系中，點A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔3，5〕．〔1〕求過點A，C的直線解析式和過點A，B，C的拋物線的解析式；〔2〕求過點A，B及拋物線的頂點D的⊙P的圓心P的坐標；〔3〕在拋物線上是否存在點Q，使AQ與⊙P相切，假設存在請求出Q點坐標．第十四頁，共44頁。解：〔1〕∵A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕；∴設二次函數(shù)(hánshù)的解析式為y=a〔x﹣2〕〔x+2〕…①，把C〔3，5〕代入①得a=1；∴二次函數(shù)(hánshù)的解析式為：y=x2﹣4；設一次函數(shù)(hánshù)的解析式為：y=kx+b〔k≠0〕…②把A〔﹣2，0〕，C〔3，5〕代入②得，解得，∴一次函數(shù)(hánshù)的解析式為：y=x+2；第十五頁，共44頁。第十六頁，共44頁。第十七頁，共44頁。第十八頁，共44頁。例2〔2018?廣東(guǎngdōng)〕如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．〔1〕請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？〔2〕請判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；〔3〕在平移變換過程中，設y=S△OPB，BP=x〔0≤x≤2〕，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．第十九頁，共44頁。第二十頁，共44頁。解：〔1〕四邊形APQD為平行四邊形；〔2〕OA=OP，OA⊥OP，理由(lǐyóu)如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，∴△AOB≌△OPQ〔SAS〕，∴OA=OP，∠AOB=∠PQO，∴∠AOP=∠BOQ=90°，∴OA⊥OP；第二十一頁，共44頁。第二十二頁，共44頁。第二十三頁，共44頁。4．〔2018?上?！橙缦聢D，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB．〔1〕求線段CD的長；〔2〕如果△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長；〔3〕如果點F在邊CD上〔不與點C、D重合(chónghé)〕，設AE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．第二十四頁，共44頁。解：〔1〕作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH==9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；〔2〕①EA=EG時，那么(nàme)∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G點與D點重合，即ED=EA，第二十五頁，共44頁。作EM⊥AD于M，如圖1，那么(nàme)AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；②GA=GE時，那么(nàme)∠GAE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15．綜上所述，△AEC是以EG為腰的等腰三角形時，線段AE的長為或15；第二十六頁，共44頁。第二十七頁，共44頁?！?〕作DH⊥AB于H，如圖2，那么(nàme)AH=9HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△HDE中，DE=，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=〔﹣〕：，∴y=〔9＜x＜〕．第二十八頁，共44頁。5．〔2018?南寧〕四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60°．〔1〕如圖1，當點E是線段CB的中點(zhōnɡdiǎn)時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系；〔2〕如圖2，當點E是線段CB上任意一點時〔點E不與B、C重合〕，求證：BE=CF；〔3〕如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離．第二十九頁，共44頁。〔1〕解：結(jié)論AE=EF=AF．理由：如圖1中，連接(liánjiē)AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF〔菱形的高相等〕，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF．第三十頁，共44頁?！?〕證明(zhèngmíng)：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，又BA=AC，∠B=∠ACF，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．第三十一頁，共44頁?！?〕解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2﹣2，∴FH=CF?sin60°=〔2﹣2〕?=3﹣．∴點F到BC的距離(jùlí)為3﹣．第三十二頁，共44頁。穩(wěn)固(wěngù)練習第三十三頁，共44頁。1．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點P，Q分別(fēnbié)在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x(0＜x＜3)．把△PCQ繞點P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點D落在線段PQ上．〔1〕求證：PQ∥AB；〔2〕假設點D在∠BAC的平分線上，求CP的長；〔3〕假設△PDE與△ABC重疊局部圖形的周長為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍．第三十四頁，共44頁?！?〕證：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC==12．∵∴∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB；〔2〕解：連接(liánjiē)AD，

∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB．∵點D在∠BAC的平分線上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ．在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，第三十五頁，共44頁。∴DQ=2x．∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2,∴CP=3x=6．〔3〕解：當點E在AB上時(shànɡshí)，∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PEB．∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PEB，∴PB=PE=5x，∴3x+5x=9，解得x=①當0＜x≤時，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此時(cǐshí)0＜T≤②當＜x＜3時，設PE交AB于點G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足為H，∴HG=DF，F(xiàn)G=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，第三十六頁，共44頁?！唷逷G=PB=9﹣3x，∴∴GH=(9﹣3x)，PH=(9﹣3x)，∴FG=DH=∴T=PG+PD+DF+FG==此時，＜T＜18．∴當0＜x＜3時，T隨x的增大(zēnɡdà)而增大(zēnɡdà)，∴T=12時，即12x=12，解得x=1；TA=16時，即解得x=∵12≤T≤16，∴x的取值范圍是1≤x≤第三十七頁，共44頁。2．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點E．DF與線段AC(或AC的延長線)相交于點F．〔1〕如圖1，假設DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長；〔2〕如圖2，將(1)中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定(yīdìng)的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF=AB；〔3〕如圖3，將(2)中的∠EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定(yīdìng)的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DN⊥AC于點N，假設DN⊥AC于點N，假設DN=FN，求證：BE+CF=(BE﹣CF)．第三十八頁，共44頁。第三十九頁，共44頁。解：〔1〕如圖1，∵AB=AC，∠A=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．∵點D是線段(xiànduàn)BC的中點,∴BD=DC=BC=2．∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，∴∠BED=90°，∴B