初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題

2023/5/61

探究型問(wèn)題初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。2023/5/62命題趨勢(shì)

探究型問(wèn)題是近年中考比較常見(jiàn)的題目，解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是牢固掌握基本知識(shí)，加強(qiáng)“一題多解”、“一題多變”等的訓(xùn)練；需要有較強(qiáng)的發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能力。具體做題時(shí)，要仔細(xì)分析題目的有關(guān)信息、合情推理、聯(lián)想，并要運(yùn)用類比、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想全面考慮問(wèn)題，有時(shí)還借助圖形、實(shí)物或?qū)嶋H操作來(lái)打開(kāi)思路。初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。2023/5/63整體感知探究型問(wèn)題規(guī)律型問(wèn)題實(shí)驗(yàn)操作題存在型問(wèn)題動(dòng)態(tài)型問(wèn)題初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。2023/5/641.條件的不確定性2.結(jié)構(gòu)的多樣性題型特點(diǎn)3.思維的多向性4.解答的層次性5.過(guò)程的探究性6.知識(shí)的綜合性初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。2023/5/65(一)規(guī)律型問(wèn)題考點(diǎn)突破

規(guī)律探索試題是中考中的一棵常青樹(shù)，一直受到命題者的青睞，主要原因是這類試題沒(méi)有固定的形式和方法，要求學(xué)生通過(guò)觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動(dòng)來(lái)解決問(wèn)題．初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。2023/5/661．?dāng)?shù)式規(guī)律例1：(2009湖北十堰)觀察下面兩行數(shù)：

2，4，8，16，32，64，…①

5，7，11，19，35，67，…②

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，取每行數(shù)的第10個(gè)數(shù)，求得它們的和是（寫出最后的結(jié)果）

．分析：第一行的第10個(gè)數(shù)是,第二行的每個(gè)數(shù)總比第一行同一位置上的數(shù)大3，所以第二行的第10個(gè)數(shù)是1024+3=1027.

2051歸納與猜想初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。2023/5/671．?dāng)?shù)式規(guī)律例2：(2009北京)一組按規(guī)律排列的式子：

…（ab≠0），其中第7個(gè)式子是

，

第n個(gè)式子是

（n為正整數(shù)）．

本題難點(diǎn)是，變化的部分太多，有三處發(fā)生變化：分子、分母、分式的符號(hào)。學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律，但是如何用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出分式的符號(hào)的變化規(guī)律是難點(diǎn).

歸納與猜想初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。2023/5/681．?dāng)?shù)式規(guī)律例3：（09年陜西）觀察下列各式：

1×3=12＋2×1；

2×4=22＋2×2；

3×5=32＋2×3；……

請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用正整數(shù)n

表示出來(lái)：___________.方法總結(jié)：橫向熟悉代數(shù)式、算式的結(jié)構(gòu)；縱向觀察、對(duì)比，研究各式之間的關(guān)系，尋求變化規(guī)律；按要求寫出算式或結(jié)果。歸納與猜想初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。2023/5/692．圖形規(guī)律例4:(2008黑龍江哈爾濱)觀察下列圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個(gè)圖形共有

個(gè)★．三角形每條邊上的星數(shù)相同,再減去三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)方法一:3(n+1)-3=3n3n歸納與猜想初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。2023/5/6102．圖形規(guī)律例4:(2008黑龍江哈爾濱)觀察下列圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個(gè)圖形共有

個(gè)★．369123n歸納與猜想初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。2023/5/6112．圖形規(guī)律例5（2009海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需棋子

枚（用含n的代數(shù)式表示）.

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖…方法一:除第一個(gè)圖形有4枚棋子外,每多一個(gè)圖形,

多3枚棋子.4＋3（n－1）=3

n+1歸納與猜想初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。2023/5/6122．圖形規(guī)律例5（2009海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需棋子

枚（用含n的代數(shù)式表示）.

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖…3n+1方法二:每個(gè)圖形,可看成是序列數(shù)與3的倍數(shù)又多1枚棋子歸納與猜想初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。2023/5/6132．圖形規(guī)律例5（2009海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需棋子

枚（用含n的代數(shù)式表示）.

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖…方法三:2n+(n+1)=3n+1方法總結(jié)：認(rèn)真觀察研究圖案（形）提取數(shù)式信息仿照數(shù)式規(guī)律得到結(jié)論歸納與猜想初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。2023/5/614復(fù)練1：初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。2023/5/615返表一復(fù)練2：初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。2023/5/616探究規(guī)律題的一般步驟為：(1)觀察（發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)）(2)猜想（可能的規(guī)律）(3)實(shí)驗(yàn)（用具體數(shù)值代入猜想）初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。2023/5/617二、填空題1、有一組數(shù)：1，2，5，10，17，26，……，請(qǐng)觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個(gè)數(shù)為

．2、把正整數(shù)1，2，3，4，5，……，按如下規(guī)律排列：

1

2，3，

4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…………按此規(guī)律，可知第n行有

個(gè)正整數(shù)．2n-150初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。2023/5/6183、將正數(shù)按如圖所示的規(guī)律排律下去。若用有序?qū)崝?shù)對(duì)（n,m)表示第n排，從左到右第m個(gè)數(shù)，如（4，3）表示實(shí)數(shù)9，則（7，2）表示的實(shí)數(shù)__________234、試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空：……則_______________

初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第18頁(yè)。2023/5/619初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第19頁(yè)。2023/5/6200135791113S1S2S3S4圖66、如圖6，∠AOB=450，過(guò)OA到點(diǎn)O的距離分別為1，3，5，7，9，11，----的點(diǎn)作OA的垂線與OB相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為S1、S2、S3、S4---觀察圖中的規(guī)律，求出第10個(gè)黑色梯形的面積S10=__________767、一個(gè)巴爾末的中學(xué)教師成功地從光譜數(shù)據(jù)，---中得到巴爾末公式，從而打開(kāi)了光譜奧秘的大門，請(qǐng)你按照這種規(guī)律，寫出第n(n≥1)個(gè)數(shù)據(jù)是___________________.初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第20頁(yè)。2023/5/621109１０、填在下面三個(gè)田字格內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，C=

＿＿＿．108１１、古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個(gè)三角形數(shù)與第98個(gè)三角形數(shù)的差為

．199初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第21頁(yè)。2023/5/622１２、觀察下列各式：請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來(lái)

．初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第22頁(yè)。2023/5/62315、按如下規(guī)律擺放三角形：則第（4）堆三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)____________；第(n)堆三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)____________１４３n+2初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第23頁(yè)。2023/5/62416、柜臺(tái)上放著一堆罐頭，它們擺放在的形狀見(jiàn)右圖：第一層有２×３聽(tīng)罐頭；第二層有３×４聽(tīng)罐頭；第三層有４×５聽(tīng)罐頭。根據(jù)這堆罐頭排列規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）層有＿＿＿＿＿＿＿＿＿聽(tīng)罐頭（用含n的式子表示）n2+3n+2初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第24頁(yè)。2023/5/625（二）實(shí)驗(yàn)操作型問(wèn)題考點(diǎn)突破

實(shí)驗(yàn)操作型問(wèn)題是讓學(xué)生在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問(wèn)題，主要有：⑴裁剪、折疊、拼圖等動(dòng)手操作問(wèn)題，往往與面積、對(duì)稱性質(zhì)相聯(lián)系；⑵與畫(huà)圖、測(cè)量、猜想、證明等有關(guān)的探究型問(wèn)題。

初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第25頁(yè)。2023/5/626實(shí)驗(yàn)操作型問(wèn)題

主要考查：（1）全等、相似、平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、翻折等幾何操作變換的若干方法和技巧；(2）綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決應(yīng)用問(wèn)題．折紙與剪紙

分割與拼合

展開(kāi)與疊合初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第26頁(yè)。2023/5/627

動(dòng)手操作型的折紙與剪紙，圖形的分割與拼合、幾何體的展開(kāi)與疊合，幾乎觸及了每份試卷，從單一的選擇、填空，到綜合性較強(qiáng)的探索猜想、總結(jié)規(guī)律，判斷論證存在與否，以及分類討論等綜合題，幾乎無(wú)處不在．1.基礎(chǔ)題型初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第27頁(yè)。2023/5/6281.折紙問(wèn)題例6（2008泰州）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開(kāi)鋪平后得到的平面圖形一定是（）

A．正三角形B．正方形

C．正五邊形D．正六邊形

基礎(chǔ)題型

解題策略1：重過(guò)程——“折”．溫馨提示:看清步驟，仔細(xì)操作.操作與探究初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第28頁(yè)。2023/5/629ABCD復(fù)練（08山東）：將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形．將紙片展開(kāi)，得到的圖形是（）

試一試：溫馨提示:帶齊工具。C初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第29頁(yè)。2023/5/630２.拼圖問(wèn)題

例7（08順義一模）如圖1，△ABC是直角三角形，如果用四張與△ABC全等的三角形紙片恰好拼成一個(gè)等腰梯形，如圖2，那么在Rt△ABC中，

的值是

．

方法一:觀察邊長(zhǎng),兩條較短的直角邊的和等于斜邊的長(zhǎng)方法二:觀察角度,兩個(gè)較小的銳角的和等于較大的銳角基礎(chǔ)題型

操作與探究初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第30頁(yè)。2023/5/631２.拼圖問(wèn)題基礎(chǔ)題型

例8：（08常州）如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,腰長(zhǎng)為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來(lái)拼成較大的等腰梯形,那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫(huà)出它們的示意圖,并寫出它們的周長(zhǎng).2224操作與探究初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第31頁(yè)。2023/5/632２.拼圖問(wèn)題基礎(chǔ)題型

223420222242初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第32頁(yè)。2023/5/6334.網(wǎng)格問(wèn)題例10（08年石景山一模）如圖，在由12個(gè)邊長(zhǎng)都為1且有一個(gè)銳角為60°的小菱形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)P是其中的一個(gè)頂點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)作格點(diǎn)直角三角形（即頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的三角形），請(qǐng)你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長(zhǎng)___________________.

12基礎(chǔ)題型

操作與探究初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第33頁(yè)。2023/5/6344.網(wǎng)格問(wèn)題例10（08年石景山一模）如圖，在由12個(gè)邊長(zhǎng)都為1且有一個(gè)銳角為60°的小菱形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)P是其中的一個(gè)頂點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)作格點(diǎn)直角三角形（即頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的三角形），請(qǐng)你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長(zhǎng)___________________.

12基礎(chǔ)題型

評(píng)析：這類題型主要以學(xué)生熟悉的、感興趣的圖形為背景，提供觀察和操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，親自發(fā)現(xiàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，在思想和行動(dòng)上逐步消除理論和實(shí)踐之間的阻隔．網(wǎng)格試題具有操作性，趣味性，體現(xiàn)了“在玩中學(xué)，在學(xué)中思，在思中得”的課標(biāo)理念．操作與探究初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第34頁(yè)。2023/5/635

動(dòng)手操作型試題是指給出操作規(guī)則，在操作過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，自主探索知識(shí)的發(fā)展過(guò)程；它為解題者創(chuàng)設(shè)了動(dòng)手實(shí)踐，操作設(shè)計(jì)的空間，考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新設(shè)計(jì)才能．2.綜合題型初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第35頁(yè)。2023/5/636

現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖4,請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：在圖4中畫(huà)出分割線,并在圖5的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫(huà)出拼接成的新正方形．說(shuō)明：直接畫(huà)出圖形，不要求寫分析過(guò)程.例11（2006北京）請(qǐng)閱讀下列材料:

問(wèn)題:現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖1,請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫(huà)出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫(huà)出拼接成的新正方形．小東同學(xué)的做法是:設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為x（x>0）.依題意，割補(bǔ)前后圖形面積相等，有x2=5,解得由此可知新正方形的邊長(zhǎng)等于兩個(gè)小正方形組成的矩形對(duì)角線的長(zhǎng).于是，畫(huà)出如圖2所示的分割線,拼出如圖3所示的新正方形．請(qǐng)你參考小東同學(xué)的做法，解決如下問(wèn)題:圖⑤圖④題型一：畫(huà)圖與拼圖綜合題型

操作與探究初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第36頁(yè)。2023/5/637

小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的

邊長(zhǎng)為x(x>0).依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的邊長(zhǎng)等于兩個(gè)小正方形組成的矩形對(duì)角線的長(zhǎng).于是，畫(huà)出如圖2所示的分割線，如圖3所示的新正方形.再現(xiàn)操作情境初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第37頁(yè)。2023/5/638

小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的

邊長(zhǎng)為x(x>0).依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的邊長(zhǎng)等于兩個(gè)小正方形組成的矩形對(duì)角線的長(zhǎng).于是，畫(huà)出如圖4所示的分割線，如圖5所示的新正方形.①②③④⑤10理清操作步驟發(fā)現(xiàn)變化，類比遷移初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第38頁(yè)。2023/5/639

小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的

邊長(zhǎng)為x(x>0).依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的邊長(zhǎng)等于兩個(gè)小正方形組成的矩形對(duì)角線的長(zhǎng).于是，畫(huà)出如圖4所示的分割線，如圖5所示的新正方形.①②③④⑤10理清操作步驟發(fā)現(xiàn)變化，類比遷移析解：本例是將矩形分割后拼成正方形，而試題又提供了拼接方法，解決這類問(wèn)題除要有平時(shí)的分割和拼接經(jīng)驗(yàn)外，還要密切關(guān)注試題中的閱讀材料．初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第39頁(yè)。2023/5/640題型二：折疊與變換例12（08北京）已知等邊三角形紙片的邊長(zhǎng)為8，D為AB邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G．DE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥BC于F點(diǎn)，把三角形紙片ABC分別沿DG,DE,GF按圖1所示方式折疊，點(diǎn)A,B,C分別落在點(diǎn)A’，B’，C’處．若點(diǎn)A’，B’，C’在矩形DEFG內(nèi)或其邊上，且互不重合，此時(shí)我們稱△A’B’C’（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”．

綜合題型

折疊軸對(duì)稱實(shí)質(zhì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì):初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第40頁(yè)。2023/5/641（1）若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網(wǎng)格中（圖中每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形），點(diǎn)

A,B,C,D恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上．如圖2所示，請(qǐng)直接寫出此時(shí)重疊三角形A’B’C’的面積_____；題型二：折疊與變換觀察圖形可知:重疊三角形是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形綜合題型

初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第41頁(yè)。2023/5/642（2）實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)AD的長(zhǎng)為m，若重疊三角形A’B’C’存在．試用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A’B’C’的面積，并寫出m的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備用圖供實(shí)驗(yàn)，探究用）．題型二：折疊與變換綜合題型

評(píng)析：本題設(shè)計(jì)精巧，頗具新意，是以學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的“折紙”為背景，展示了數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，材料鮮活、親切，表述簡(jiǎn)明直觀。本題的另一巧妙之處在于構(gòu)成網(wǎng)格的圖形是正三角形，令人耳目一新。第一問(wèn)折疊是軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用，應(yīng)注意折疊中出現(xiàn)的不變量；第二問(wèn)體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，在直觀操作的基礎(chǔ)上，將直覺(jué)與簡(jiǎn)單推理相結(jié)合，考察了學(xué)生的建模能力．mm8-m8-2m8-2m>0初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第42頁(yè)。2023/5/643綜合題型

題型二：折疊與變換例13（08浙江）已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點(diǎn)T在線段OA上(不與線段端點(diǎn)重合)，將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上(記為點(diǎn)A′)，折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；(1)求∠OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍；(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．評(píng)析：這是一道翻折實(shí)驗(yàn)題，可以讓學(xué)生在親手操作中學(xué)習(xí)知識(shí)，充分考查學(xué)生的作圖能力、空間想象能力和探索能力。也可利用課件演示幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第43頁(yè)。2023/5/644解題策略2：重結(jié)果——“疊”．心得：先標(biāo)等量，再構(gòu)造方程。折疊問(wèn)題中構(gòu)造方程的方法：（2）尋找相似三角形，根據(jù)相似比得方程。（1）把條件集中到一Rt△中，根據(jù)勾股定理得方程。初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第44頁(yè)。2023/5/645反思小結(jié)重結(jié)果折疊問(wèn)題折疊程過(guò)重利用Rt△利用∽方程思想軸對(duì)稱全等性對(duì)稱性質(zhì)本精髓初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第45頁(yè)。2023/5/646例14（06順義二模）把兩個(gè)全等的等腰直角板ABC和OPQ疊放在一起，如圖1，且使三角板OPQ的直角頂點(diǎn)O與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)重合．現(xiàn)將三角板OPQ繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件），四邊形CDOE是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分（如圖2，圖3所示），已知兩個(gè)三角板的直角邊長(zhǎng)均為4．探究：（1）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段OD與OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,以圖2為例證明你的猜想.題型三：旋轉(zhuǎn)與探索綜合題型

實(shí)驗(yàn)與推理初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第46頁(yè)。2023/5/647實(shí)驗(yàn)與推理題型三：旋轉(zhuǎn)與探索初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第47頁(yè)。2023/5/648【點(diǎn)評(píng)】以上兩題都是通過(guò)三角板的旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造探索性問(wèn)題，學(xué)生在探索過(guò)程中，可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面的能力．此題關(guān)注了學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程與方法．為了考查和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，中考試題中也越來(lái)越多地引入了開(kāi)放性問(wèn)題，使學(xué)生通過(guò)對(duì)開(kāi)放性試題的解答，親自經(jīng)歷做數(shù)學(xué)的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解．這也對(duì)我們今后的教學(xué)的方向性起著導(dǎo)向作用．初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第48頁(yè)。2023/5/649例16

（08義烏）如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．題型三：旋轉(zhuǎn)與探索綜合題型

實(shí)驗(yàn)與推理初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第49頁(yè)。2023/5/650題型三：旋轉(zhuǎn)與探索綜合題型

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a≠b，k＞0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)DG、BE，且a=3，b=2，

k=，求的值．評(píng)析：本題考查學(xué)生探索知識(shí)、發(fā)現(xiàn)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)的綜合創(chuàng)新能力。學(xué)生在探究時(shí)的猜想一般來(lái)說(shuō)都是一些可預(yù)見(jiàn)的結(jié)果，如：大小關(guān)系一般是相等或和差相等，平面內(nèi)兩直線關(guān)系一般是平行、垂直等。因此，學(xué)生的猜想可有一個(gè)大方向。同時(shí)，此類題型由于條件的變化，其探索過(guò)程也由簡(jiǎn)到難，可運(yùn)用類比的方法依次求出，從而使學(xué)生在身臨數(shù)學(xué)的情境中潛移默化，逐漸感悟到數(shù)學(xué)思維的力量。

實(shí)驗(yàn)與推理初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第50頁(yè)。2023/5/651綜合題型

【點(diǎn)評(píng)】這些試題均體現(xiàn)新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“操作——猜想——探究——證明”理念。每題在課本中均能找到落腳點(diǎn)，但改變了過(guò)去直接要求學(xué)生對(duì)命題證明的形式，而是按照：“給出特例——猜想一般——推理論證——再次猜想”要求呈現(xiàn)，這對(duì)考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)是十分有益的，對(duì)教學(xué)也起到了正確的引導(dǎo)作用．題型三：旋轉(zhuǎn)與探索初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第51頁(yè)。2023/5/652(三)存在性問(wèn)題考點(diǎn)突破

存在性探索問(wèn)題是指在某種題設(shè)條件下，判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的一類問(wèn)題．這類問(wèn)題的知識(shí)覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，是近幾年來(lái)各地中考的“熱點(diǎn)”。

這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷。初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第52頁(yè)。2023/5/653“存在性”問(wèn)題大體可分為兩類：1．由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性”問(wèn)題（即要找的是滿足一個(gè)“特殊”數(shù)量方面的要求）2．由位置關(guān)系確定的“存在性”問(wèn)題（即要找的是滿足一個(gè)“特殊”位置方面的要求）

解決的方法主要是借助于構(gòu)造基本圖形

解決的方法主要是借助于構(gòu)造方程初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第53頁(yè)。2023/5/654考點(diǎn)突破

解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將運(yùn)動(dòng)的幾何元素當(dāng)作靜止來(lái)加以解答，即“化動(dòng)為靜”的思路；并能從相對(duì)靜止的瞬間清晰地發(fā)現(xiàn)圖形變換前后各種量與量之間的關(guān)系，通過(guò)歸納得出規(guī)律和結(jié)論，并加以論證.初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第54頁(yè)。2023/5/655

例17：（06順義一模）已知，如圖，△ABC中，AB=6，

AC=8，M為AB上一點(diǎn)（M不與點(diǎn)A、B重合），MN∥BC交

AC于點(diǎn)N.（1）當(dāng)△AMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍時(shí)，求AM的長(zhǎng)；（2）若∠A=90°，在BC上是否存在點(diǎn)P，使得△MNP為等腰直角三角形？若存在請(qǐng)求出MN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第55頁(yè)。2023/5/656

例18：（08大興二模）已知,拋物線過(guò)點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),，此拋物線的頂點(diǎn)為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）把△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC.①求E點(diǎn)的坐標(biāo)；②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說(shuō)明理由．（3）試探求：在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第56頁(yè)。2023/5/657（四）動(dòng)態(tài)探究題考點(diǎn)突破

動(dòng)態(tài)探究題能夠真實(shí)的考查學(xué)生的知識(shí)水平、理解能力，有較好的區(qū)分度，具有較好的選拔功能；同時(shí)，依托圖形的變化（動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段、動(dòng)圖問(wèn)題），能很好地考查學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究能力和綜合素質(zhì)，體現(xiàn)開(kāi)放性。主要以中檔題與綜合題形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)以選擇題形式出現(xiàn)。初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第57頁(yè)。2023/5/658題型一：點(diǎn)動(dòng)型探索綜合題型

例19

分析：前兩問(wèn)利用相似三角形或者三角函數(shù)等知識(shí)可解決，第（3）問(wèn)是一個(gè)點(diǎn)在線上運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，需要先探索點(diǎn)P使△PQR為等腰三角形的可能性，這時(shí)應(yīng)分類討論，抓住PQ為等腰三角形的腰或底分別求解，注意x的取值范圍．解題策略1：化動(dòng)為“靜”．初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第58頁(yè)。2023/5/659題型一：點(diǎn)動(dòng)型探索綜合題型

例19

略解（1）由BC=10,BD=3,△BHD∽△BAC

得到DH=2.4初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第59頁(yè)。2023/5/660綜上所述，當(dāng)x為3.6或6或7.5時(shí)，△PQR為等腰三角形．題型一：點(diǎn)動(dòng)型探索綜合題型

解題策略2：分類畫(huà)出圖形．初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第60頁(yè)。2023/5/661題型一：點(diǎn)動(dòng)型探索小結(jié)

一要注意在單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，哪些圖形（如線段、三角形等）隨之運(yùn)動(dòng)變化，即確定整個(gè)單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中圖形中的變量和不變量．如本題中線段PQ和∠PQR是兩個(gè)不變量，線段BQ、QR是兩個(gè)變量，以及△PQR的形狀也在變化．

三要結(jié)合具體問(wèn)題，建立方程或函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解決問(wèn)題的目的．如本題中，假設(shè)△PQR為等腰三角形，則分PQ=PR,QP=QR,RP=RQ三種情況建立相等關(guān)系，列出方程求解．

二要運(yùn)用相應(yīng)的幾何知識(shí)，用單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)引起的某一變量x，表示圖形中其它的變量．如本題中運(yùn)用△RQC∽△ABC

，用變量x表示變量y．

初中數(shù)學(xué)探究型問(wèn)題全文共70頁(yè)，當(dāng)前為第61頁(yè)。2023/5/662題型二：線動(dòng)型探索例20：已知：如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，CD是