計算方法方程的擬合

計算方法方程的擬合1第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四logη=-2.137+882.43/(T-160.036)2第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四1.最小二乘法曲線擬合的原理如果觀測數(shù)據(jù)存在較大誤差，通常采用“近似函數(shù)在各實驗點的計算結(jié)果與實驗結(jié)果的偏差平方和最小”的原則建立近似函數(shù)。最小若稱此曲線擬合法為最小二乘法曲線擬合。式中R稱為均方誤差。由于計算均方誤差的最小值的原則容易實現(xiàn)而被廣泛采用。定義:3第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四經(jīng)驗建模經(jīng)驗建模又分為兩種情況：一是無任何理論依據(jù)，但有經(jīng)驗公式可供選擇，例如很多物性數(shù)據(jù)（熱容、密度、飽和蒸氣壓）與溫度的關(guān)系常表示為:

二是沒有任何經(jīng)驗可循的情況，只能將實驗數(shù)據(jù)畫出圖形與已知函數(shù)圖形進行比較，選擇圖形接近的函數(shù)形式作擬合模型。最小二乘法的優(yōu)點是函數(shù)形式多種多樣，根據(jù)其來源不同，可分為半經(jīng)驗建模和經(jīng)驗建模兩種。半經(jīng)驗建模如果建模過程中先由一定的理論依據(jù)寫出模型結(jié)構(gòu)，再由實驗數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)，這時建立的模型為半經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀＠?，描述反?yīng)速率常數(shù)與溫度的關(guān)系可用阿侖紐斯方程，即這種情況下，工作要點在于如何確定函數(shù)中的各未知系數(shù)，4第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四2.最小二乘法算法分類不論何種建模情況，在選定關(guān)聯(lián)函數(shù)的形式之后，就是如何根據(jù)實驗數(shù)據(jù)去確定所選關(guān)聯(lián)函數(shù)中的待定系數(shù)。最小二乘法按計算方法特點又分為線性最小二乘法和非線性最小二乘法。5第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四對于一元線性函數(shù)：測定了m個自變量值：和m個應(yīng)變量值：計算出m個應(yīng)變量值：定義誤差：3.線性最小二乘法線性最小二乘法是常用的曲線擬合方法。線性最小二乘法又分為一元和多元等不同情況。

一元線性最小二乘法的方法概述6第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿足:由最小二乘法：設(shè)3.線性最小二乘法7第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四3.線性最小二乘法可推導(dǎo)出上式稱為一元線性最小二乘法的法方程8第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四4.多元線性最小二乘法設(shè)系統(tǒng)共有n個影響因子，得到m次實驗數(shù)據(jù)。若可用多元線性函數(shù)擬合時，形式如下：若k代表第k次實驗的數(shù)據(jù)，則相應(yīng)的預(yù)測值表示為：

由最小二乘法設(shè)：欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿足:9第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四共n個影響因子，有m次實驗數(shù)據(jù)，若k代表第k次實驗的數(shù)據(jù)，則：設(shè)多元線性函數(shù)：4.多元線性最小二乘法10第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四則轉(zhuǎn)化為以為未知數(shù)的方程組：

上式稱為多元線性最小二乘法的法方程。解此方程組，可求出參數(shù)，因此擬合方程便可確定。因此，要求：根據(jù)最小二乘原則：要使達到最小令：4.多元線性最小二乘法11第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

在應(yīng)用最小二乘法曲線擬合時，通常遇到更多的是非線性函數(shù)。對比線性模型擬合，非線性模型擬合要困難的多。5.非線性最小二乘法最好設(shè)法使模型轉(zhuǎn)化為線性形式。有些非線性模型是不能變換成線性模型的，這時應(yīng)該用直接非線性最小二乘法進行處理。非線性模型擬合的二個途徑直接采用非線性擬合通過代換轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系12第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四化工中常見的函數(shù)雙曲線冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)負指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)S型曲線n次多項式5.非線性最小二乘法13第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四雙曲線令：代換方程為：14第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四冪函數(shù)兩邊取對數(shù)令：代換方程為：yxb＞1b=1b＜11a

15第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四指數(shù)函數(shù)兩邊取對數(shù)令：代換方程為：yxb＞0b＜0a16第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四xyb＞0b＜0a負指數(shù)函數(shù)

令則代換方程為：17第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四yxb＜0b＞00對數(shù)函數(shù)

令則代換方程為：18第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四S型曲線變形后，令：代換方程為：yx1/a19第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四n次多項式令：代換方程為：20第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四6.非線性直接擬合有些非線性方程無法通過代換法轉(zhuǎn)換成線性方程，則需要采用直接非線性最小二乘法如：下式是一種常用的飽和蒸汽壓計算公式這里介紹非線性直接擬合的常用方法之一----------高斯－牛頓法21第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

理論基礎(chǔ)：泰勒展開 對于非線性函數(shù)若的近似值為，誤差為，則當(dāng)初值給定時對非線性函數(shù)在初值附近作泰勒展開，并略去的二次以上的高次項，可以得到：6.非線性直接擬合22第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四其中：23第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四由最小二乘法設(shè)欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿足:

則有以為未知數(shù)的方程組：

令24第24頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四將解此法方程所得到的第一套修正值代入可求得，再用上