高中數(shù)學-平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學設計學情分析教材分析課后反思

PAGE4PAGE教學設計課標指出：數(shù)學教學過程是教師引導學生進行學習活動的過程，是教師和學生間互動的過程，是師生共同發(fā)展的過程。為有序、有效地進行教學，本節(jié)課我主要安排以下六個活動：活動一：創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學習興趣正如教材主編寄語所言，數(shù)學是自然的，而不是強加于人的。平面向量的數(shù)量積這一重要概念，和向量的線性運算一樣，也有其數(shù)學背景和物理背景，為了體現(xiàn)這一點，我設計以下幾個問題：問題1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什么？問題2：我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？期望學生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運算律→應用問題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，SFα（1）力F所做的功W=SFα（2）請同學們分析這個公式的特點：W（功）是量，F(xiàn)（力）是量，S（位移）是量，α是。問題1的設計意圖在于使學生了解數(shù)量積的數(shù)學背景，讓學生明白本節(jié)課所要研究的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運算，但與向量的線性運算相比，數(shù)量積運算又有其特殊性，那就是其結果發(fā)生了本質(zhì)的變化。問題2的設計意圖在于使學生在與向量加法類比的基礎上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學活動指明方向。問題3的設計意圖在于使學生了解數(shù)量積的物理背景，讓學生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實意義的，從而產(chǎn)生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊?；顒佣禾骄繑?shù)量積的概念1、概念的抽象在分析“功”的計算公式的基礎上提出問題4問題4：你能用文字語言來表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述？學生通過思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學生事實上已經(jīng)得到數(shù)量積概念的文字表述了，在此基礎上，我進一步明晰數(shù)量積的概念。2、概念的明晰已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·=︱︱·︱︱cos在強調(diào)記法和“規(guī)定”后，為了讓學生進一步認識這一概念，提出問題5問題5：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？并完成下表：角的范圍0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符號通過此環(huán)節(jié)不僅使學生認識到數(shù)量積的結果與線性運算的結果有著本質(zhì)的不同，而且認識到向量的夾角是決定數(shù)量積結果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)和運算律做好鋪墊。3、探究數(shù)量積的幾何意義這個問題教材是這樣安排的：在給出向量數(shù)量積的概念后，只介紹了向量投影的定義，直到講完例1后，為了證明運算律的第三條才直接以結論的形式呈現(xiàn)給學生，我覺得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學生自己歸納得出，所以做了調(diào)整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出問題5。如圖，我們把││cos（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=││cos問題6：數(shù)量積的幾何意義是什么？這樣做不僅讓學生從“形”的角度重新認識數(shù)量積的概念，從中體會數(shù)量積與向量投影的關系，同時也更符合知識的連貫性，而且也節(jié)約了課時。4、研究數(shù)量積的物理意義數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的，學習了數(shù)量積的概念后，學生就會明白功的數(shù)學本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積。為此，我設計以下問題一方面使學生嘗試計算數(shù)量積，另一方面使學生理解數(shù)量積的物理意義，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。問題7：（1）請同學們用一句話來概括功的數(shù)學本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積?；顒尤禾骄繑?shù)量積的運算性質(zhì)1、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)教材中關于數(shù)量積的三條性質(zhì)是以探究的形式出現(xiàn)的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述練習后，我不失時機地提出問題8：（1）將嘗試練習中的①②③的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論？（2）比較︱·︱與︱︱×︱︱的大小，你有什么結論？在學生討論交流的基礎上，教師進一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動。設和b都是非零向量，則1、⊥·=02、當與同向時，︱·︱=︱︱︱︱；當與反向時，︱·︱=-︱︱︱︱，特別地，·=︱︱2或︱︱=3、︱·︱≤︱︱×︱︱數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的性質(zhì)3、性質(zhì)的證明這樣設計體現(xiàn)了教師只是教學活動的引領者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發(fā)學生參與學習活動的熱情，不僅使學生獲得了知識，更培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質(zhì)?；顒铀模禾骄繑?shù)量積的運算律1、運算律的發(fā)現(xiàn)關于運算律，教材仍然是以探究的形式出現(xiàn)，為此，首先提出問題9問題9：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？通過此問題主要是想使學生在類比的基礎上，猜測提出數(shù)量積的運算律。學生可能會提出以下猜測：①·=·②（·）=(·)③（+）·=·+·猜測①的正確性是顯而易見的。關于猜測②的正確性，我提示學生思考下面的問題：猜測②的左右兩邊的結果各是什么？它們一定相等嗎？學生通過討論不難發(fā)現(xiàn)，猜測②是不正確的。這時教師在肯定猜測③的基礎上明晰數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律2、明晰數(shù)量積的運算律數(shù)量積的運算律已知向量已知向量、、和實數(shù)λ，則：（1）·=·（2）（λ）·=λ（·)=·（λ）（3）（+）·=·+·3、證明運算律學生獨立證明運算律（2）我把運算運算律（2）的證明交給學生完成，在證明時，學生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：當λ<0時，向量與λ，與λ的方向的關系如何？此時，向量λ與及與λ的夾角與向量與的夾角相等嗎？師生共同證明運算律（3）運算律（3）的證明對學生來說是比較困難的，為了節(jié)約課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。在這個環(huán)節(jié)中，我仍然是首先為學生創(chuàng)設情景，讓學生在類比的基礎上進行猜想歸納，然后教師明晰結論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機的結合在一起?；顒游澹簯门c提高例1、（師生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求（+2）·（-3），并思考此運算過程類似于哪種運算？例2、（學生獨立完成）對任意向量，b是否有以下結論：（1）(+)2=2+2·+2（2）(+)·(-)=2—2例3、（師生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4,且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直？并思考：通過本題你有什么收獲？本節(jié)教材共安排了四道例題，我根據(jù)學生實際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數(shù)量積的性質(zhì)和運算律的綜合應用，教學時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規(guī)范書寫兩個方面加強示范。完成計算后，進一步提出問題：此運算過程類似于哪種運算？目的是想讓學生在類比多項式乘法的基礎上自己猜測提出例2給出的兩個公式，再由學生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學生通過類比這一思維模式達到創(chuàng)新的目的。例3的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質(zhì)和運算律的同時，教給學生如何利用數(shù)量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應用之一，教學時重點給學生分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化原理。為了使學生更好的理解數(shù)量積的含義，熟練掌握性質(zhì)及運算律，并能夠應用數(shù)量積解決有關問題，再安排如下練習：下列兩個命題正確嗎？為什么？①、若≠0，則對任一非零向量，有·≠0．=2\*GB3②、若≠0，·＝·，則＝．2、已知△ABC中，=,=，當·<0或·＝0時，試判斷△ABC的形狀。安排練習1的主要目的是，使學生在與實數(shù)乘法比較的基礎上全面認識數(shù)量積這一重要運算，通過練習2使學生學會用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，進一步感受數(shù)量積的應用價值?；顒恿盒〗Y提升與作業(yè)布置1、本節(jié)課我們學習的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量數(shù)量積的兩個基本應用是什么？3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質(zhì)的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學思想？4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數(shù)量積？通過上述問題，使學生不僅對本節(jié)課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認識，同時也為下一節(jié)做好鋪墊，繼續(xù)激發(fā)學生的求知欲。布置作業(yè)：1、課本P121習題2.4A組1、2、3。2、拓展與提高：已知與都是非零向量，且+3與7-5垂直，-4與7-2垂直求與的夾角。學情分析學生在學習本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實數(shù)的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實數(shù)運算類比的基礎上研究性質(zhì)和運算律。這為學生學習數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學生倍感親切。但也正是這些干擾了學生對數(shù)量積概念的理解，一方面，相對于線性運算而言，數(shù)量積的結果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運算后，形卻消失了，學生對這一點是很難接受的；另一方面，由于受實數(shù)乘法運算的影響，也會造成學生對數(shù)量積理解上的偏差，特別是對性質(zhì)和運算律的理解。因而本節(jié)課教學的難點數(shù)量積的概念。效果分析一、課堂教學效果1.各個教學環(huán)節(jié)學生都能積極參與，都能比較深刻的理解和熟練地應用知識點；2.適當應用多媒體，引起學生注意，激發(fā)學生學習興趣；3.通過學生板演，激勵學生學習，同時也是對本節(jié)課的驗收。二、學生學習效果1.抽查發(fā)現(xiàn)學生掌握很好；2.通過作業(yè)，體現(xiàn)出學生做題比較嚴謹，態(tài)度也比較好。教材分析本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位：平面向量的數(shù)量積是普通高中課程標準實驗教科書《必修4》的第二章第四節(jié)內(nèi)容。平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學的一個重要概念，在數(shù)學、物理等學科中應用十分廣泛它與解三角形、函數(shù)等數(shù)學知識緊密相連，向量數(shù)量積還是培養(yǎng)學生樹形結合的數(shù)學能力的良好題材。可以說數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數(shù)量積的概念，第二課時主要研究數(shù)量積的坐標運算，本節(jié)課是第一課時。本節(jié)課的主要學習任務是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運算律，使學生體會類比的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運算律的基礎。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學的重點。針對我校實際情況，在問題的設置上要注意平緩過渡，在例題習題的選擇上要以基礎題為主，要樹立學生學習數(shù)學并能學好數(shù)學的信心。數(shù)學思想方法分析：作為一名數(shù)學老師，不僅要傳授給學生數(shù)學知識，更重要的是傳授給學生數(shù)學思想、數(shù)學意識，因此本節(jié)課在教學中力圖向?qū)W生展示嘗試觀察、歸納、類比、聯(lián)想和樹形結合等數(shù)學思想方法。2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（學案）Fs問題1：如圖所示，物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，你能表述功的計算公式嗎?Fs力F所做的功：W=。這個公式的有什么特點？請完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量。問題2：如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述？一、數(shù)量積的定義：思考1.平面向量的數(shù)量積與向量的線性運算有什么本質(zhì)區(qū)別？思考2.向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，它什么時候為正，什么時候為負，什么時候為零？二．向量數(shù)量積的幾何意義1.向量的投影定義：2.向量數(shù)量積的幾何意義三．向量數(shù)量積的性質(zhì)練習1.判斷下列各命題是否正確，并說明理由。①若≠0，則對任一非零向量，有·≠0．②若≠0，·＝·，則＝．四．向量數(shù)量積的運算律探究：請同學們列舉實數(shù)乘法有哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？例題1證明(+)2=2+2·+2變式：(+)·(-)=2—2例題2已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求（+2）·（-3），并思考此運算過程類似于哪種實數(shù)運算？例題3已知︱︱=3，︱︱=4,且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直？并討論：通過本題，你有什么體會？五．課堂小結六．作業(yè)：1、課本P108習題2.4A組1、2、3。2、拓展與提高：已知與都是非零向量，且+3與7-5垂直，-4與7-2垂直，求與的夾角。（本題供學有余力的同學選做）課后反思本節(jié)在重點難點的例題中學生掌握的還不夠熟練，課后要有針對性的出幾道題進行訓練。在以后教學中，要以素質(zhì)教育為主，讓學生多參與、多互動，拉近師生關系，提高學生成績。課標分析《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》對本節(jié)課的要求有以下三條：（1）通過物理中“功”等事例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系。（3）能用運數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。從以上的背景分析可以看出，數(shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應用過程中，物理中“功”的實例都發(fā)揮