應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)之因子

本資料來(lái)源1因子分析2§1引言

因子分析(factoranalysis)是一種用來(lái)分析隱藏在表象背后的因子作用的一類(lèi)統(tǒng)計(jì)模型和方法。它通過(guò)研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴(lài)關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)不可觀測(cè)的所謂公共因子的線(xiàn)性組合與特殊因子之和來(lái)描述原來(lái)觀測(cè)的每一分量。3例如，為了了解學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，分別進(jìn)行了加減、乘除、代數(shù)、幾何和微積分的測(cè)驗(yàn)，相應(yīng)成績(jī)分別記為：T1,…,T5。對(duì)這些成績(jī)進(jìn)行歸納分析，找出與學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力有關(guān)的內(nèi)在的不可測(cè)的公共因子，如空間因子、記憶因子、歸納因子、演繹因子，分別記作：F1,…,F4。用這些不可測(cè)的相互獨(dú)立的公共因子和各自的特殊因子（分別記作：ε1,…,ε5）來(lái)描述原來(lái)可測(cè)的相互關(guān)聯(lián)的變量，并解釋分析學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

4主成分分析與因子分析的不同：主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構(gòu)造因子模型。主成分分析：原始變量的線(xiàn)性組合表示新的綜合變量，即主成分；因子分析：潛在的假想變量和隨機(jī)影響變量的線(xiàn)性組合表示原始變量。5§2因子分析模型

6一、數(shù)學(xué)模型矩陣形式：公共因子：y1,…,ym;特殊因子：7所謂因子分析，就是從可以觀測(cè)的變量x1,…,xp給出的樣本數(shù)據(jù)中，求出載荷矩陣A，預(yù)測(cè)出公共因子y1,…,ym.aij：（公共）因子載荷（量），表明xi與yj的相依程度。A：公共因子載荷陣。8二、因子載荷矩陣中的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)特征1、因子載荷aij的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷aij是第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù)

，也叫做權(quán)，表明xi依賴(lài)yj的份量。9

2、變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義定義：變量xi的共同度是因子載荷矩陣的第i行的元素的平方和。記為統(tǒng)計(jì)意義：10所有的公共因子和特殊因子對(duì)變量xi的貢獻(xiàn)為1。越大，說(shuō)明xi對(duì)各公共因子的共同依賴(lài)程度越大，故稱(chēng)為xi的共同度。即：11

3、公共因子yj方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷矩陣中各列元素的平方和是第j個(gè)公共因子yj對(duì)于x的各個(gè)分量x1,…,xp所提供方差總和，是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。12§3因子載荷矩陣的估計(jì)方法

設(shè)隨機(jī)向量協(xié)方差（相關(guān)陣）為R，則（一）主成份分析法設(shè)為R的特征根，為對(duì)應(yīng)的正交標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，則131415注意到因子分析的目的是尋求少數(shù)幾個(gè)公共因子，故略去后面的p-m項(xiàng)的貢獻(xiàn)。同時(shí)假定模型中的特殊因子是不重要的，因而從R的分解中忽略特殊因子的方差，即有16主成份法估計(jì)載荷矩陣的基本步驟：1、計(jì)算樣本相關(guān)陣；2、計(jì)算的特征值及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量3、給定公共因子數(shù)m(<p)，因子載荷陣的估計(jì)為4、特殊因子方差陣的估計(jì)：主成份法相當(dāng)于用前m個(gè)主成份去表示m個(gè)潛在的因子。17公共因子個(gè)數(shù)的確定方法：取m，使R-AAT接近對(duì)角陣；取m，使取m，使18（二）極大似然估計(jì)法

如果假定公共因子y和特殊因子服從正態(tài)分布，那么可以得到因子載荷和特殊因子方差的極大似然估計(jì)。設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體Np(,V)的隨機(jī)樣本。19它通過(guò)依賴(lài)和。上式并不能唯一確定,為此可添加一個(gè)唯一性條件：

這里式一個(gè)對(duì)角矩陣，用數(shù)值極大化的方法可以得到極大似然估計(jì)。極大似然估計(jì)將使為對(duì)角陣，且似然函數(shù)達(dá)到最大。

20例假定某地銷(xiāo)固定資產(chǎn)常投資率x1，通貨母膨脹率互x2，失業(yè)率個(gè)x3，相關(guān)系帝數(shù)矩陣為試用主江成分分薦析法求觸因子分養(yǎng)析模型匹。21特征根仆為：22可取前顏兩個(gè)因喘子y1和y2為公共因肉子，第一愈公因子y1物價(jià)就業(yè)幕因子，對(duì)頭X的貢獻(xiàn)眠為1.5望5。第二裂公因子y2為投資因圾子，對(duì)X燈的貢獻(xiàn)為送0.85適。共同度樓分別為1礦，0.7襲06，0潮.706館。23§4因子旋口轉(zhuǎn)（正旗交變換簡(jiǎn)）建立了因綢子分析數(shù)踢學(xué)目的不犬僅僅要找扶出公共因逆子以及對(duì)鄭變量進(jìn)行什分組，更用重要的要煌知道每個(gè)佛公共因子通的意義，獎(jiǎng)以便進(jìn)行系進(jìn)一步的盡分析，如謙果每個(gè)公截共因子的求含義不清頁(yè)，則不便孤于進(jìn)行實(shí)盆際背景的鑰解釋。由唇于因子載潑荷陣是不乖惟一的，帥所以需要窩對(duì)因子載飼荷陣進(jìn)行他旋轉(zhuǎn)，使草載荷矩陣核每列或行披的元素平碎方值向0抗和1兩極破分化。（一）和為什么攀要旋轉(zhuǎn)躁因子24百米跑蛋成績(jī)X1；槍跳寒遠(yuǎn)成績(jī)指X2；鉛球成績(jī)浮X3；嫂跳乖高成績(jī)X4；400米跑成穴績(jī)X5；納百米罷跨欄X6；鐵餅成績(jī)足X7；嗽撐桿逢跳遠(yuǎn)成姜績(jī)X8；標(biāo)槍成酒績(jī)X9；150暮0米跑成績(jī)誘X10奧運(yùn)會(huì)十趙項(xiàng)全能運(yùn)拋動(dòng)項(xiàng)目得分?jǐn)?shù)據(jù)摘的因子分傲析252627因子載荷帆矩陣可以給看出，除留第一因子揪在所有的腐變量在公焰共因子上牙有較大的填正載荷，臺(tái)可以稱(chēng)為啞一般運(yùn)動(dòng)浩因子。其岡他的3個(gè)因子不秒太容易解唱釋。似乎妄是跑和投捧擲的能力堆對(duì)比，似乎是長(zhǎng)銹跑耐力和動(dòng)短跑速度搜的對(duì)比。犁于是考慮猴旋轉(zhuǎn)因子事，得下表2829通過(guò)旋肉轉(zhuǎn)，因恥子有了語(yǔ)較為明景確的含鵲義。百覆米跑（捕X1），跳捧遠(yuǎn)（X2）和4管00米茅跑（X5），需要葡爆發(fā)力的楊項(xiàng)目在F1有較大滅的載荷策，可以健稱(chēng)為短罷跑速度俯因子；鉛球（X3），鐵餅鵝（X7）和標(biāo)槍柱（X9）在F2上有較大惠的載荷，舌可以稱(chēng)為岡爆發(fā)性臂把力因子；百米跨欄課（X6），撐桿很跳遠(yuǎn)（X8），跳遠(yuǎn)基（X2）和跳高轎（X4）在液F2上有較大壺的載荷，車(chē)可以稱(chēng)為鉗爆發(fā)腿力梁因子；F4為長(zhǎng)跑兇耐力因扣子。30變換后因再子的共同胸度設(shè)正交矩脖陣，做正條交變換變換后因召子的共同蜜度沒(méi)有發(fā)惱生變化！（二）完旋轉(zhuǎn)方教法31變換后因抬子貢獻(xiàn)變換后列因子的跨貢獻(xiàn)發(fā)應(yīng)生了變碎化！321、方冒差最大棵法方差最大旁法從簡(jiǎn)化襲因子載荷班矩陣的每困一列出發(fā)餃，使和每恭個(gè)因子有死關(guān)的載荷欠的平方的器方差最大董