(北師大版)福州市九年級數(shù)學(xué)下冊第一單元《直角三角形的邊角關(guān)系》測試卷(含答案解析)

一、選擇題1．如圖，是斜靠在墻上的長梯，與地面夾角為，當(dāng)梯頂下滑1米到時，梯腳滑到，與地面的夾角為，若，米，則（）A． B． C． D．2．近日，重慶觀音橋步行街驚現(xiàn)震撼的裸眼3D未來城市，超清LED巨幕，成功吸引了廣大市民絡(luò)繹不絕的前來打卡，一時間刷爆朋友圈．萱萱想了解該LED屏GH的高度，進行了實地測量，她從大樓底部E點沿水平直線步行30米到達(dá)自動扶梯底端D點，在D點用儀器測得屏幕下端點H的仰角為36°．然后她再沿著i=4：3長度為40米的自動扶梯到達(dá)扶梯頂端C點，又沿水平直線行走了40米到達(dá)B點，在B點測得屏幕上端點G的仰角為50°（A，B，C，D，E，H，G在同一個平面內(nèi)，且B，C和A，D，E分別在同一水平線上），則該LED屏GH的高度約為（）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．122.0米 B．122.9米 C．111.0米 D．111.9米3．尚本步同學(xué)家住“3D魔幻城市”——重慶，他決定用所學(xué)知識測量自己居住的單元樓的高度．如圖，小尚同學(xué)從單元樓CD的底端D點出發(fā)，沿直線步行42米到達(dá)E點，在沿坡度i=1：0.75的斜坡EF行走20米到達(dá)F點，最后沿直線步行30米到達(dá)隔壁大廈的底端B點，小尚從B點乘直行電梯上行到頂端A點，從A點觀測到單元頂樓C的仰角為28o，從點A觀測到單元樓底端的俯角為37o，若A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，且D、E和F、B分別在通一水平線上，則單元樓CD的高度約為（）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin28o≈0.47，cos28o≈0.88，tan28o≈0.53，sin37o≈0.6，cos37o≈0.8，tan37o≈0.75）A．79.0米 B．107.5米 C．112.6米 D．123.5米4．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2AC，則cosA的值為（）A． B． C． D．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，則sinB的值為（）A． B． C． D．6．如圖，邊長為的等邊三角形的頂點在軸的正半軸上，點為的中心，將繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，則第2021秒，的中心的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．在中，，則的值為（）A． B． C． D．8．如圖，是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中x的值為（）A．2 B．3 C． D．9．如圖，一個斜坡長130，坡頂離水平地面的距離為50，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于（）A． B． C． D．10．如圖，斜坡的坡比為1∶2.4，在坡頂A處的同一水平面上有一座高樓，在斜坡底P處測得該樓頂B的仰角為45°，在坡頂A處測得該樓頂B的仰角為76°，樓高為，則斜坡長度約為（點P、A、B、C、Q在同一個平面內(nèi)，，，）（）A． B． C． D．11．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點都在這些小正方形的頂點上，相交于點P，則（）．A． B．3 C． D．212．如圖，菱形ABCD的邊長是2，∠B=120°，P是對角線AC上一個動點，E是CD的中點，則PE＋PD的最小值為（）A． B．C．2 D．二、填空題13．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB邊上的中線，BC＝8，CD＝5，則tan∠ACD＝________．14．如圖，的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則等于________．15．如圖，在2×4的方格中，兩條線段的夾角（銳角）為∠1，則sin∠1=______________．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AB＝9，AC＝6，則cos∠DCB＝________________．17．如圖所示，在四邊形中，，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并延長至其倍（即），過點作于點，當(dāng)，，時，邊的長是______．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點B1，與y軸交點于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以O(shè)B1為邊長作等邊三角形A1OB1，過點A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點B2，以A1B2為邊長作等邊三角形A2A1B2，過點A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點B3，以A2B3為邊長作等邊三角形A3A2B3，……依次進行下去，則點A2020的橫坐標(biāo)是_____．19．如圖，在山坡上種樹時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為6m．測得斜坡的斜面坡度為i＝1：（斜面坡度指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），則斜坡相鄰兩樹間的坡面距離為_____．20．直角三角形ABC中，∠B＝90°，若cosA＝，AB＝12，則直角邊BC長為___．三、解答題21．如圖，在矩形ABCD中，BE交AD于點E且平分∠ABC，對角線BD平分∠EBC．（1）求的值．（2）求．22．計算下列各小題（1）；（2）．23．如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ACD直角邊AC重合，∠ACB=∠CAD=90°，點E在AD邊上，連接CE，過C作CF⊥CE，且CF=CE，連接印交AC于點H，取CD的中點G，連接HG交CE于點P．（1）如圖1，若∠CHF=75°，CH=2，求DH的長：（2）如圖2，求證：HG⊥CE（3）如圖3，若點E在DA邊上運動，延長DC至點M，使得DC=4CM，連接PM，將線段PM繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段NM，連接PN，取PN中點Q，連接CQ、DQ，若AC=8，直接寫出線段DQ的最小值及此時△CDQ的面積．24．某興趣小組借助無人飛機航拍校園，如圖，無人飛機從處平行飛行至處需10秒，在地面處同一方向上分別測得處的仰角為，處的仰角為，已知無人飛機的飛行速度為5米/秒，求這架無人飛機的飛行高度（結(jié)果保留根號）．25．先化簡，再求值：，其中．26．如圖，中，分別是的高和中線，過點作的垂線交的延長線于點．（1）求證：（2）若，求的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【分析】根據(jù)設(shè)OA=4k，則OB=3k，AB=5k，從而表示=4k-1，=3k+1，在中，由勾股定理，求得k值，后根據(jù)三角函數(shù)的定義計算即可．【詳解】∵，設(shè)OA=4k，則OB=3k，AB=5k，∴=4k-1，=3k+1，在中，，∴，解得k=1，∴=．故選B．【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練用未知數(shù)表示銳角三角函數(shù)中的對應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．2．A解析：A【分析】作CM⊥AE于M，設(shè)射線BC交GE于N，則CN=ME=DM+DE，CM=NE=NH+EH，由三角函數(shù)定義求出EH=21.9米，由坡度求出DM=24米，NE=CM=32米，得出CN=54米，BN=94米，再由三角函數(shù)定義求出GN≈111.86米，得出GE=143.86米，即可得出答案．【詳解】解：作CM⊥AE于M，設(shè)射線BC交GE于N，如圖所示：則CN=ME=DM+DE，CM=NE=NH+EH，由題意得：∠GBN=50°，BC=DC=40米，DE=30米，∠EDH=36°，∵tan∠EDH，∴EH=DE×tan∠EDH≈30×0.73=21.9（米），∵DC的坡度為4：3，∴米，米，∴CN=ME=DM+DE=24+30=54（米），∴BN=BC+CN=40+54=94（米），∵tan∠GBN，∴GN=BN×tan∠GBN≈94×1.19≈111.86（米），∴GE=GN+NE=111.86+32=143.86（米），∴GH=GE-EH=143.86-21.9≈121.96≈122.0（米）；故選：A．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，能借助仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．B解析：B【分析】作EG⊥BF交BF的延長線于G，AK⊥CD于K．延長DE交AB于H，解直角三角形求出CK、AH即可解決問題．【詳解】解：作EG⊥BF交BF的延長線于G，AK⊥CD于K．延長DE交AB于H，如圖，則四邊形AKDH是矩形，∴AK=DH，KD=AH，∵∴設(shè)EG=4x，則FG=3x，由勾股定理得，∵EF=20m∴解得，（負(fù)值舍去）∴EG=16m，F(xiàn)G=12m∵DE=42m，BF=30m∴DH=DE+FG+BF=84m，∴AK=84m；在Rt△ADH中，∠ADH=37°∴tan37°=,∴AH=DH×tan37°=84×0.75=63（m）同理，在Rt△AKC中，∠KAC=28°∴tan28°=,∴CK=AK×tan28°=84×0.53=44.52（m）∴CD=CK+DK=63+44.52=107.5≈107.5(m)故選：B【點睛】本題考查解直角三角形-仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．4．D解析：D【分析】設(shè)AC=k，則BC=2k，AB=，根據(jù)三角函數(shù)的定義計算即可.【詳解】如圖，設(shè)AC=k，則BC=2k，根據(jù)勾股定理，得AB==，∴cosA==，故選D.【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟記三角函數(shù)的定義，并靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.5．D解析：D【分析】設(shè)BC=a，則AB=3a，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)正弦的定義求sinB．【詳解】解：設(shè)BC=a，則AB=3a，，sinB=，故選：D．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，解題關(guān)鍵是明確三角函數(shù)的意義，通過設(shè)參數(shù)，求出需要的邊長．6．B解析：B【分析】通過計算畫出第2021秒，的位置，過C′作C′D⊥x軸于點D，連接OC′，BC′，求出DC′的長，即可求解．【詳解】∵360°÷60°=6，∴的位置6秒一循環(huán)，而2021=6×336+5，∴第2021秒，的位置如圖所示，設(shè)點C的對應(yīng)點C′，過C′作C′D⊥x軸于點D，連接OC′，BC′，則∠DOC′=30°，OD=DB=，∴DC′=OD?tan∠DOC′=×tan30°=×=1，∴C′．故選B．【點睛】本題主要考查圖形于=與坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，找到圖形的變化規(guī)律，畫出圖形，是解題的關(guān)鍵．7．C解析：C【分析】先根據(jù)勾股定理求得AC，再根據(jù)正弦的定義求解即可；【詳解】∵在中，，,，∴，∴；故答案選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理與解直角三角形，準(zhǔn)確理解計算是解題的關(guān)鍵．8．D解析：D【分析】先畫出俯視圖，利用主視圖與左視圖，求出邊長AB，構(gòu)造三角形ABC與三角形ABE，利用三角函數(shù)解直角三角形即可【詳解】由正六棱柱的主視圖和左視圖，得俯視圖如圖，標(biāo)注字母如圖，由主視圖可得到正六棱柱的最長的對角線長BD是6，BF==3，則邊長AB為3，連AC交BD于E，則AC⊥BD，由左視圖得AE=CE=x，在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=，AE=AB?cos30°=，即x=．故選擇：D.【點睛】本題考查了正六棱柱的三視圖，掌握三視圖中俯視圖的畫法，利用主視圖與左視圖畫出準(zhǔn)確的俯視圖，注意題目中的隱含條件及左視圖的特點，可將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答．培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力．9．C解析：C【分析】如圖（見解析），先利用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得．【詳解】如圖，由題意得：是斜坡與水平地面的夾角，由勾股定理得：，則，即這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、正切，熟練掌握正切三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．10．C解析：C【分析】先延長BC交PD于點D，在Rt△ABC中，tan76°=，BC=18求出AC，根據(jù)BC⊥AC，AC∥PD，得出BE⊥PD，四邊形AHEC是矩形，再根據(jù)∠BPD=45°，得出PD=BD，過點A作AH⊥PD，根據(jù)斜坡AP的坡度為1：2.4，得出，設(shè)AH=5k，則PH=12k，AP=13k，由PD=BD，列方程求出k的值即可．【詳解】解：延長BC交PQ于點D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四邊形AHDC是矩形，CD=AH，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．在Rt△ABC中，tan76°=，BC=18米，∴AC=4（米）．過點A作AH⊥PQ，垂足為點H．∵斜坡AP的坡度為1：2.4，∴，設(shè)AH=5k，則PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．由PH+HD=BC+CD得：12k+4=5k+18，解得：k=2，∴AP=13k=26（米）．故選：C．【點睛】此題考查了解直角三角形，用到的知識點是勾股定理、銳角三角函數(shù)、坡度與坡角等，關(guān)鍵是做出輔助線，構(gòu)造直角三角形．11．B解析：B【分析】設(shè)小正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理可得AD、AC的值，進而可得△ADC是等腰直角三角形，進而可得AD⊥CD，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得PC＝2DP，根據(jù)等量代換和線段和差可得AD＝CD＝3DP，繼而即可求解．【詳解】解析設(shè)小正方形的邊長為1，由圖形可知，，是等腰直角三角形，．，，，，．故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)．此題難度適中，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．B解析：B【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱.如圖，連接BE與AC相交于點P，由軸對稱確定最短路線問題，BE的長度即為PE+PD的最小值，連接BD.∵∠B=120°，∴∠BCD=180°?120°=60°.又∵BC=CD，∴△BCD是等邊三角形.∵E是CD的中點，.故選B.二、填空題13．【分析】過D作于點E則DE是的中位線即可求得DE的長在直角利用勾股定理即可求得EC的長根據(jù)正切的定義即可求解【詳解】如圖過D作于點E則∵CD是AB邊上的中線∴DE是的中位線∴在直角中∴故答案為：【點解析：．【分析】過D作于點E，則DE是的中位線，即可求得DE的長，在直角，利用勾股定理即可求得EC的長，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】如圖，過D作于點E，則，∵CD是AB邊上的中線，∴DE是的中位線，∴，在直角中，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正切的定義，三角形的中位線定理，正確作出輔助線，把求三角函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形的邊的比值，是解題的關(guān)鍵．14．3【分析】根據(jù)勾股定理以及網(wǎng)格結(jié)構(gòu)可以求得ACABBCCD的長然后根據(jù)等積法求得AE的長再根據(jù)勾股定理可得到CE的長然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可得到的值【詳解】解：如圖作CD⊥AB于點D作AE⊥BC于解析：3【分析】根據(jù)勾股定理以及網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，可以求得AC、AB、BC、CD的長，然后根據(jù)等積法求得AE的長，再根據(jù)勾股定理可得到CE的長，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可得到的值．【詳解】解：如圖，作CD⊥AB于點D，作AE⊥BC于點E，由已知可得，AC=，AB=5，BC=，CD=3，∵S△ABC=AB?CD=BC?AE，∴AE=∴CE=∴tan∠ACB=，故答案為：3．【點睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．【分析】解：如圖添加字母過A作AB∥ED可得∠1=∠CAB連結(jié)BC在△ABC中由勾股定理AC=AB=BC=由AB2+BC2=5+5=10=AC2證得∠ABC=90°由AB=BC可得∠CAB=45°利解析：【分析】解：如圖添加字母，過A作AB∥ED，可得∠1=∠CAB，連結(jié)BC，在△ABC中由勾股定理AC=，AB=，BC=，由AB2+BC2=5+5=10=AC2，證得∠ABC=90°，由AB=BC可得∠CAB=45°，利用三角函數(shù)定義sin∠CAB=?！驹斀狻拷猓喝鐖D添加字母，過A作AB∥ED，使AB=ED，∠1=∠CAB，連結(jié)BC，在△ABC中，AC=，AB=，BC=，∵AB2+BC2=5+5=10=AC2，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠CAB=45°，sin∠CAB，故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出是直角三角形是解題關(guān)鍵．16．【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB然后根據(jù)余弦的定義求出cosA即可【詳解】解：在Rt△ABC中∵CD⊥AB∴∠DCB+∠B=90°∵∠ACB＝90°∴∠A+∠B=90°∴∠A=∠DCB而解析：【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB，然后根據(jù)余弦的定義求出cosA即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB，而cosA=＝=，∴cos∠DCB=．故答案為：．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的鄰邊a與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．17．【分析】由銳角三角函數(shù)可求∠DEC=30°通過證明△ADE∽△BDC可得由勾股定理可求AE的長即可求解【詳解】解：如圖連接BDAEDE∵將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°并延長至其倍∴∠DCE=90°解析：【分析】由銳角三角函數(shù)可求∠DEC=30°，通過證明△ADE∽△BDC，可得，由勾股定理可求AE的長，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BD，AE，DE，∵將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并延長至其倍，∴∠DCE=90°，CE＝CD，∴，∴∠DEC=30°，∴，，∵，∴，∴，又∵∠DEC=∠DAB=30°，∴△DEC∽△DAB，∴∠ADB=∠EDC，，∴∠ADE=∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴，∵，AD=6，∴AB=9，又∵BF=3，∴AF=6，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，證明△DEC∽△DAB是本題的關(guān)鍵．18．【分析】觀察圖形找到圖形變化的規(guī)律利用規(guī)律求解即可【詳解】解：∵OB1＝1∠ODB1＝60°∴OD＝B1（10）∠OB1D＝30°∴D（0）如圖所示過A1作A1A⊥OB1于A則OA＝OB1＝即A1的解析：【分析】觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：∵OB1＝1，∠ODB1＝60°，∴OD＝，B1（1，0），∠OB1D＝30°，∴D（0，），如圖所示，過A1作A1A⊥OB1于A，則OA＝OB1＝，即A1的橫坐標(biāo)為＝，由題可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，∴∠A1B1B2＝90°，∴A1B2＝2A1B1＝2，過A2作A2B⊥A1B2于B，則A1B＝A1B2＝1，即A2的橫坐標(biāo)為+1＝＝，過A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝A2B3＝2，即A3的橫坐標(biāo)為+1+2＝＝，同理可得，A4的橫坐標(biāo)為+1+2+4＝＝，由此可得，An的橫坐標(biāo)為，∴點A2020的橫坐標(biāo)是，故答案為：．【點睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系點的坐標(biāo)規(guī)律及特殊三角函數(shù)值，關(guān)鍵是根據(jù)題意及三角函數(shù)值得到點的坐標(biāo)規(guī)律即可．19．4米【分析】首先根據(jù)斜面坡度為i＝1：求出株距（相鄰兩樹間的水平距離）為6m時的鉛直高度再利用勾股定理計算出斜坡相鄰兩樹間的坡面距離【詳解】由題意水平距離為6米鉛垂高度2米∴斜坡上相鄰兩樹間的坡面距解析：4米．【分析】首先根據(jù)斜面坡度為i＝1：求出株距（相鄰兩樹間的水平距離）為6m時的鉛直高度，再利用勾股定理計算出斜坡相鄰兩樹間的坡面距離．【詳解】由題意水平距離為6米，鉛垂高度2米，∴斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離＝（m），故答案為：4米．【點睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握計算法則．20．16【分析】先利用三角函數(shù)解直角三角形求得AC＝20再根據(jù)勾股定理即可求解【詳解】解：∵在直角三角形ABC中∠B＝90°cosA＝AB＝12∴cosA＝＝＝∴AC＝20∴BC＝＝＝16故答案是：16解析：16【分析】先利用三角函數(shù)解直角三角形，求得AC＝20，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵在直角三角形ABC中，∠B＝90°，cosA＝，AB＝12，∴cosA＝＝＝，∴AC＝20，∴BC＝＝＝16．故答案是：16．【點睛】此題主要考查勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．三、解答題21．（1）；（2）【分析】（1）證明△ABE是等腰直角三角形得，再證明∠得BE=DE，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，再求出AD的長，最后求出的值即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形∴∠∵BE平分∠ABC，∴∠∴△ABE是等腰直角三角形，∴∵BD平分∠EBC∴∠∵∴∠∴∠∴∴（2）由（1）知，設(shè)，則∴在中，．【點睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，等三角形的判定以及垗角的正切值，證明是解答此題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案；【詳解】（1）==．（2）===．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵；23．（1）；（2）證明見解析；（3），．【分析】（1）作HK⊥CD，根據(jù)角度及線段的長度關(guān)系即可求解．（2）連接BF，作FL⊥AC，可證，進而可證，可得H為FD的中點，HG為的中位線，從而可得HGFC，結(jié)論得證．（3）可得為等邊三角形，當(dāng)E靠近D時，Q越靠近N，DQ越短,，故當(dāng)E與D重合時，QD取得最小值，過點P作PK⊥EQ，交EQ于點K，可分別求得、、，通過+與的關(guān)系式，可求得DQ的最小值；過點C作CI⊥PQ于點I，過點J作DJ⊥PQ交PQ的延長線于點J，利用的關(guān)系式可求△CDQ的面積．【詳解】解：（1），，，，，作HK⊥CD，，∵CH=2，，．（2）連接BF，則，，，∵B