2023屆廣東省梅州市高三二模數(shù)學(xué)試題

2023屆廣東省梅州市高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，，且為純虛數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求出a值，再求出復(fù)數(shù)模作答.【詳解】復(fù)數(shù)，，則，依題意，，解得，即，所以.故選：C2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的定義域、值域，再利用并集的定義求解作答.【詳解】集合，即，，則，所以.故選：B3．用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出答案.【詳解】令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，所以用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是.故選：B.4．把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2021到2023的箭頭方向依次為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)如圖所示的排序可以知道每四個(gè)數(shù)一組循環(huán)，所以確定2021到2023的箭頭方向可以把2021除以4余數(shù)為1，由此可以確定2021的位置和5的位置相同，然后就可以確定從2021到2023的箭頭方向．【詳解】∵1和5的位置相同，∴圖中排序每四個(gè)一組循環(huán)，∵2021除以4余數(shù)為1，∴2021的位置和5的位置相同，∴2021到20232的箭頭方向依次為A選項(xiàng)所示.故選：A．5．已知函數(shù)，且，當(dāng)ω取最小的可能值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，根據(jù)，求得，然后根據(jù)在時(shí)取得最大值，求得的值．【詳解】由題意可知，當(dāng)取最小值時(shí)，最小正周期最大，，所以，而在時(shí)取得最大值，故，則，又，所以．故選：D.6．若直線l：將圓C：分成弧長之比為2：1的兩部分，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令直線與圓交于點(diǎn)，根據(jù)已知求出，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線的距離作答.【詳解】令直線與圓交于點(diǎn)，依題意，，而圓的圓心，半徑，，因此點(diǎn)到直線的距離，于是，整理得，所以直線的斜率.故選：D7．云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長.已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼x12345云計(jì)算市場規(guī)模y/千萬元1120234由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則2025年該科技公司云計(jì)算市場規(guī)模y的估計(jì)值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可得線性回歸方程，再由回歸方程求出2025年的預(yù)測值，代入即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，即?jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)時(shí)，，所以，即2025年該科技公司云計(jì)算市場規(guī)模y的估計(jì)值為，故選：B8．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的，有，且在上．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用的奇偶性和條件得到在上單調(diào)遞減，再將變形成，從而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，得到，令，所以，則為奇函數(shù)，且，又當(dāng)時(shí)，，所以由奇函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以，即.故選：A.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．“”是“”的既不充分也不必要條件B．命題“，”的否定是“，”C．若，則D．的最大值為【答案】AD【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷A；利用全稱量詞命題的否定判斷B；舉例說明判斷C；利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出最值判斷D作答.【詳解】對于A，“若，則”是假命題，因?yàn)?，而；“若，則”是假命題，因?yàn)椋?，即“”是“”的既不充分也不必要條件，A正確；對于B，命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此它的否定是“，”，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，成立，因此成立，不一定有，C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，，而函?shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：AD10．已知向量，，，則下列命題正確的是（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， B．在上的投影向量為C．存在θ，使得 D．存在θ，使得【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷A；求出投影向量判斷B；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C；利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算判斷D作答.【詳解】向量，，，對于A，，A正確；對于B，因?yàn)?，則在上的投影向量為，B正確；對于C，，假定存在θ，使得，則有，而，即不成立，因此不存在θ，使得，C錯(cuò)誤；對于D，，即，則，因此存在θ，使得，D正確.故選：ABD11．已知函數(shù)，則（

）A．是一個(gè)最小正周期為的周期函數(shù)B．是一個(gè)偶函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的最小值為，最大值為【答案】BC【分析】利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值和最小值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且該函數(shù)的最小正周期不是，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，對任意的，。所以，函數(shù)為偶函數(shù)，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；對于D選項(xiàng)，，因?yàn)?，令，，則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，又因?yàn)椋?，所以，，因此，的最小值為，最大值為，D錯(cuò).故選：BC.12．如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，EP//平面 B．當(dāng)時(shí)，取得最小值，其值為C．的最小值為 D．當(dāng)平面CEP時(shí)，【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算判斷BC；確定直線與平面CEP交點(diǎn)的位置判斷D作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則點(diǎn)，對于A，，，，而，顯然，即是平面的一個(gè)法向量，而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯(cuò)誤；對于B，，則，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，B正確；對于C，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，C正確；對于D，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)镋為邊AD的中點(diǎn)，則，當(dāng)平面CEP時(shí)，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，平面，平面，則平面，即有，而，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.三、填空題13．已知函數(shù)的圖象在處的切線在y軸上的截距為2，則實(shí)數(shù)____________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，，而，因此函數(shù)的圖象在處的切線方程為：，令，得，于是，解得，所以.故答案為：14．半徑為2的半圓卷成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為______【答案】【分析】有圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長，半徑等于圓錐的木現(xiàn)場，求出圓錐的底面半徑和高，由圓錐的體積公式求解即可.【詳解】解：由題意得：半徑為的半圓弧的周長為圓周的底面周長為：扇形圍成的底面圓周的半徑為，母線長為2，故圓錐的體積為：故答案為：15．如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為，液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為____________．【答案】##【分析】根據(jù)題意求出的值，然后利用離心率公式即可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，因?yàn)橐粋€(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為，液面呈橢圓形狀，則，，即，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.四、雙空題16．有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙工廠分別生產(chǎn)3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%、5%、5%，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，則（1）取到次品的概率為____________；（2）若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為____________．【答案】

##

【分析】設(shè)任取一件產(chǎn)品來自甲廠為事件、來自乙廠為事件、來自丙廠為事件，根據(jù)題意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出從中任取一件，取到次品的概率，利用條件概率公式可求出取得零件是次品，則它是來自甲廠生產(chǎn)的概率.【詳解】設(shè)任取一件產(chǎn)品來自甲廠為事件、來自乙廠為事件、來自丙廠為事件，則彼此互斥，且,，，，設(shè)任取一件產(chǎn)品，取到的是次品為事件，則如果取得零件是次品，那么它是來自甲廠生產(chǎn)的概率為,故答案為：，五、解答題17．已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列是否有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)；若沒有，說明理由．【答案】(1)；(2)有最大項(xiàng)，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再利用累加法求出的通項(xiàng)作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再探討數(shù)列的單調(diào)性作答.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則,當(dāng)時(shí)，，又也滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，則，則有，當(dāng)時(shí),，則有，當(dāng)時(shí)，，即有，數(shù)列是遞減的，所以數(shù)列有最大項(xiàng)，為.18．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，設(shè)．(1)當(dāng)時(shí)，求BD的長；(2)求BD的最大值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）在中，求得，然后在中，由余弦定理求解即可；（2）在中，求得，然后在中，由余弦定理求出的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換化簡，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值.【詳解】（1）在中，．在中，因?yàn)?，由余弦定理得，，因此．?）在中，．在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，，所以．所以?dāng)，即時(shí)，BD最長，的最大值為．19．如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．(1)在棱上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由：(2)求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)存在，；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明平面平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)推理作答.（2）利用（1）的結(jié)論，把所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解作答.【詳解】（1）在正三棱柱中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，則有，而平面，于是平面，平面，則平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，平面平面，因此平面，于是點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)，顯然，因此，即有，于是，，所以.（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則，于是為平行四邊形，即，而平面，平面，因此平面，有點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,又為之中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半,而由（1）知，當(dāng)時(shí),平面，，設(shè)，則，所以點(diǎn)C到平面的距離.20．元宵佳節(jié)，是民間最重要的民俗節(jié)日之一，我們梅州多地都會(huì)舉行各種各樣的民俗活動(dòng)，如五華縣河?xùn)|鎮(zhèn)的“迎燈”、豐順縣埔寨鎮(zhèn)的“火龍”、大埔縣百侯鎮(zhèn)的“迎龍珠燈”等系列活動(dòng).在某慶祝活動(dòng)現(xiàn)場，為了解觀眾對該活動(dòng)的觀感情況（“一般”或“激動(dòng)”），現(xiàn)從該活動(dòng)現(xiàn)場的觀眾中隨機(jī)抽取200名，得到下表：一般激動(dòng)總計(jì)男性90120女性25總計(jì)200(1)填補(bǔ)上面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與對該活動(dòng)的觀感程度有關(guān)？(2)該活動(dòng)現(xiàn)場還舉行了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡當(dāng)天消費(fèi)每滿300元，可抽獎(jiǎng)一次．抽獎(jiǎng)方案是：從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎(jiǎng)箱里一次性摸出2個(gè)球，若摸出2個(gè)紅球，則可獲得100元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若摸出1個(gè)紅球，則可獲得50元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若沒摸出紅球，則不能獲得任何現(xiàn)金返現(xiàn)．若某觀眾當(dāng)天消費(fèi)600元，記該觀眾參加抽獎(jiǎng)獲得的返現(xiàn)金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．【答案】(1)2×2列聯(lián)表見解析，該場活動(dòng)活動(dòng)的觀感程度與性別無關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）寫出零假設(shè)，補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值比較，得出結(jié)論；（2）分別求出一次摸球摸出0，1，2個(gè)紅球的概率，寫出X的所有可能取值及對應(yīng)取值的概率，寫出X的分布列并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下：一般激動(dòng)總計(jì)男性3090120女性255580總計(jì)55145200零假設(shè)為：性別與對活動(dòng)的觀感程度相互獨(dú)立.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此我們可以認(rèn)為,成立，即認(rèn)為對該場活動(dòng)活動(dòng)的觀感程度與性別無關(guān).（2）設(shè)一次摸球摸出2個(gè)紅球的事件為A，摸出1個(gè)紅球的事件為B，沒摸出紅球的事件為C，則，，，由題意，X可?。?，，，，，所以X的分布列為：X200150100500P.21．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)作動(dòng)直線，與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)、，在線段上取異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出的值，利用雙曲線的定義可求得的值，再根據(jù)可求得的值，即可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，設(shè)，可得出，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合化簡可得出關(guān)于、所滿足的一元二次方程，即可證得結(jié)論.【詳解】（