2023屆江西省吉安市泰和縣高三下學期第一次模考數學（文）試題

泰和縣2023屆高三下學期第一次?？紨祵W（文）試題一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．已知，，且，滿足這樣的集合的個數（

）A．6 B．7 C．8 D．92．若復數（i為虛數單位），則（

）A． B． C．1 D．3．由國家信息中心“一帶一路”大數據中心等編寫的《“一帶一路”貿易合作大數據報告（2017）》到2016年這六年中，中國與“一帶一路”沿線國家出口額和進口額圖表如下，下列說法中正確的是（

）中國與“一帶一路”沿線國家出口額和進口額（億美元）A．中國與沿線國家貿易進口額的極差為億美元B．中國與沿線國家貿易出口額的中位數不超過5782億美元C．中國與沿線國家貿易順差額逐年遞增（貿易順差額＝貿易出口額－貿易進口額）D．中國與沿線國家前四年的貿易進口額比貿易出口額更穩(wěn)定4．已知數列是首項為，公比為的等比數列，則（

）A．是等差數列 B．是等差數列C．是等比數列 D．是等比數列5．“數列（）滿足（其中為常數）”是“數列（）是等比數列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件6．已知，且是第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．7．圓柱的側面展開圖是邊長為4的正方形，則圓柱的表面積是（

）A． B． C． D．8．已知向量，滿足，，，那么與的夾角為（

）A． B． C． D．9．設雙曲線的一條漸近線為，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．10．如圖所示，一個幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為4的正方形，中間線段平分正方形，俯視圖中有一內切圓，則該幾何體的全面積是（

）A． B． C． D．11．已知曲線在點的切線與曲線相切，則實數的值為()A． B．或 C． D．或12．若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數都滿足和恒成立，則稱直線為和的“隔離直線”，已知函數，，，下列命題正確的是（

）A．與有“隔離直線”B．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍為C．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是D．和之間存在唯一的“隔離直線”二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分。)13．函數則f(7)＝________.14．滿足不等式組的點所圍成的平面圖形的面積為________．15．某社區(qū)5名工作人員要到4個小區(qū)進行“愛分類”活動的宣傳，要求每名工作人員只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少去一名工作人員，則不同的安排方法共有_______種.16．下列命題：①若是定義在上的偶函數，且在上是增函數，，則；②若銳角滿足，則；③若，則對恒成立；④要得到函數的圖象，只需將的圖象向右平移個單位．其中是真命題的有_________（填正確命題序號）．三、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程。)17．已知是等比數列，且，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.18．袋中有2個白球，3個紅球，5個黃球，這10個小球除顏色外完全相同.(1)從袋中任取3個球，求恰好取到2個黃球的概率；(2)從袋中任取2個球，記取到紅球的個數為，求的分布列、期望和方差.19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.（1）求證：平面PAC；（2）若，求二面角的平面角的余弦值.20．已知橢圓的離心率，直線與橢圓交于兩點，為橢圓的右頂點，.(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上存在兩點，使，，求面積的最大值.21．設，函數.(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若無零點，求實數的取值范圍；(3)若有兩個相異零點，求證：請從下面所給的22、23兩題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應的題號方框涂黑，按所涂題號進行評分；不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.22．選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數)，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，點為曲線上的動點，點在線段的延長線上且滿足點的軌跡為.（1）求曲線的極坐標方程；（2）設點的極坐標為，求面積的最小值.23．選修4-5：不等式選講已知函數.(1)若的最小值為，求的值；(2)在（1）的條件下，，，為正實數，且，求證：.

1．B【分析】先判斷出中必有的元素，余下元素構成的集合為的非空子集，利用非空子集個數的計算方法可得滿足條件的的個數.【詳解】因為，故且，又，故中除了這兩個元素，余下元素構成的集合為的非空子集，故滿足條件的集合的個數為，故選：B.【點睛】本題考查集合的包含關系及非空子集的個數計算，注意根據包含關系明確集合中哪些元素是明確的，再找出不確定的元素滿足的條件，另外，要掌握有限集的子集（非空子集、真子集、非空真子集等）個數的計算公式.2．B【分析】復數的分式運算，同乘共軛復數，利用模長公式即可得到答案.【詳解】,,故選：B.3．D【分析】根據圖表中的數據，結合統(tǒng)計中的相關概念逐一計算判斷即可得出答案.【詳解】對于A,中國與沿線國家貿易進口額的極差為．所以A錯誤；對于B，由已知圖中的數據可得出口額額的中位數為，故B錯誤；對于C，2011年至2016年的貿易順差額依次為，，，，，，2016年開始下降，故C錯誤；由圖表可知中國與沿線國家前四年的貿易出品額比貿易進口額波動性更大，故D正確．故選：D．4．AD【分析】由題意得數列的通項公式，然后寫出每個選項中對應的數列的通項公式，再判斷是等差數列還是等比數列.【詳解】由題意得，所以數列是常數列，故A正確；數列的通項公式為，則，所以數列是公比為的等比數列，B錯誤；，所以數列是公差為的等差數列，C錯誤；，所以數列是公比為的等比數列，D正確.故選：AD5．B【詳解】試題分析：當時，，但此時數列（）不是等比數列，但當數列（）是等比數列時，必定滿足，故選B.考點：充分條件與必要條件.6．B【分析】由誘導公式化簡得，再由即可得解.【詳解】∵，∴．由是第四象限角，∴．故選：B.【點睛】本題主要考查了誘導公式及同角三角函數關系，屬于基礎題.7．B【分析】根據題意，圓柱的底面周長和高均等于4，由此算出底面圓的半徑為r=

，利用圓柱的表面積公式即可算出該圓柱的表面積．【詳解】∵圓柱的側面展開圖是邊長為4的正方形，

∴圓柱的高與母線長都為4，底面周長等于4，設底面圓的半徑為r，可得2πr=4，得r=

，

因此該圓柱的表面積是，故選：B.8．B【解析】根據模的向量運算，將平方后化簡，即可由平面向量的數量積定義求得與的夾角.【詳解】向量，滿足，，，則所以，代入，，可求得，由平面向量數量積定義可知，設與的夾角為，則，則，因為，所以，故選：B.【點睛】本題考查了平面向量夾角的求法，平面向量數量積定義及模的運算，屬于基礎題.9．C【解析】求得拋物線的焦點坐標，可得雙曲線方程的漸近線方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線的方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程，屬于中檔題.10．A【分析】作出三視圖對應的幾何體，再利用幾何體的結構特征計算表面積作答.【詳解】如圖，所給三視圖對應的幾何體是底面邊長為4，高為2的正四棱柱上面放置一個底面圓半徑為2，高為2的圓柱，該幾何體的全面積是正四棱柱的全面積加上圓柱的側面積，所以幾何體的全面積.故選：A11．C【分析】根據已知求得切線方程，又該切線與曲線相切，聯立得一元方程有唯一解，即可得實數的值.【詳解】解：由，求導得，所以曲線在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線的方程為，其也為曲線的切線．由，得，此方程只有唯一解，所以當時，方程無解，舍去；當時，，解得或(舍)，所以.故選：C.12．ABD【分析】對于A，取直線，討論與的符號判斷A；對于B，C，令隔離直線為，利用二次不等式恒成立計算判斷B，C；對于D，函數與有公共點，求出在點處的切線，再證明此切線與圖象關系作答.【詳解】對于A，取直線，當時，，即成立，當時，令，，則在遞減，在上遞增，，，即成立，直線是與的“隔離直線”，A正確；對于B，C，令和的“隔離直線”為，則，，則，有，，有，當時，不等式成立，當時，的對稱軸，而時，，則，即，顯然滿足此不等式，有，而，解得，同理，，B正確，C不正確；對于D，因，即和的圖象有公共點，若和有隔離直線，則該直線必過點，設過點的直線方程為，即，由，，即恒成立，則，解得，即這條直線為，令，求導得：，當時，，當時，，即在上遞減，在上遞增，，即，，和之間存在唯一的“隔離直線”，D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：涉及函數不等式恒成立問題，可以探討函數的最值，借助函數最值轉化解決問題.13．8【解析】代入數據直接計算得到答案.【詳解】∵函數，∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.故答案為：.【點睛】本題考查了分段函數求函數值，意在考查學生的計算能力.14．【分析】畫出約束條件表示的可行域，利用微積分基本定理求出可行域的面積．【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分，由題意不等式組，表示的平面區(qū)域如圖所示，其中解得：或，即，,所以平面圖形的面積為：．故答案為：．15．240【分析】先在5人中選兩人捆綁在一起，再全排列即可.【詳解】由題意知：4個小區(qū)，有一個小區(qū)2人，其他3個小區(qū)每個小區(qū)一人.則共有種.故答案為：240.16．②【分析】當時即可判斷①；由誘導公式結合正弦函數單調性即可判斷②；由倍角公式及誘導公式即可判斷③；由三角函數圖象的平移變換即可判斷④.【詳解】對于①，當時，，此時，①錯誤；對于②，由可得，又，則，又在上單調遞增，則，即，②正確；對于③，，則，③錯誤；對于④，將的圖象向右平移個單位得到，④錯誤.故答案為：②.17．(1)(2)【分析】（1）設等比數列的公比為，根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等比數列的通項公式可求得結果；（2）求得，利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：設等比數列的公比為，則，由題意可得，解得，則.（2）解：因為，所以，.18．(1)；(2)的分布列見解析，期望為，方差為.【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)結合題意寫出可能的取值，分別求出相應的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.【詳解】(1)從袋中任取3個球，共有種情況，若從袋中任取3個球中，恰好取到2個黃球共有種，故從袋中任取3個球，求恰好取到2個黃球的概率為；(2)由題意可知，可能取值為，0，1，2，，，，故的分布列如下表：012從而期望，方差.19．（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）先證明，，再證明平面PAC，即得證；（2）分別求平面PAC，PBC的法向量，再利用公式求解二面角的平面角的余弦值.【詳解】（1）

因為底面ABCD是菱形，所以平面ABCD，平面ABCD又AC，PA是平面PAC內的相交直線平面PAC.（2）

設，因為，所以如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，則，，設平面PDB的法向量為：，則令平面PAC的法向量由圖得：二面角為銳角，因此：.【點睛】本題考查了線面垂直的判定，以及二面角的求解，考查了學生邏輯推理，綜合分析，數學運算的能力，屬于中檔題.20．(1)；(2).【分析】（1）設，通過，以及橢圓的離心率，A在橢圓上，列出方程求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓方程；（2）設，，中點為，利用，得到方程組，利用E,F在橢圓上，代入橢圓方程，利用平方差法求出的斜率，得到直線的方程代入橢圓方程，利用韋達定理求出，求出三角形的高，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最值．【詳解】（1）根據題意，不妨設，則，，∴，，，，解得：，，∴橢圓的方程為：.（2）設，，中點為，由（1），∵，∴，∵橢圓上，則，相減可得，，∴直線的方程為：，即，代入整理得：，∴，，，∵原點到直線的距離為，，當時等號成立，所以面積的最大值為.21．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式求切線方程；（2）對分三種情況討論得解；（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據零點條件可得，令，構造函數，，利用導數可得單調性，即得，逆推可得結論.（1）解：函數的定義域為，，當時，，則切線方程為，即切線方程為.（2）解：①若時，則，是區(qū)間上的增函數，∵，，∴，函數在區(qū)間有唯一零點；②若，有唯一零點；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數是增函數；在區(qū)間上，，函數是減函數；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無零點，須使，解得，故所求實數的取值范圍是.（3）證明：要證，兩邊同時取自然對數得.由得，得.所以原命題等價于證明.因為，故只需證，即.令，則，設（），只需證.而，故在單調遞增，所以.綜上得.【點睛】關鍵點睛：解答本題的難點在第3小問，解答有兩個關鍵，其一是要會利用分析法等價轉化命題；其二是能夠利用代換化雙變量問題為單變量問題解答.22．（1）：，：；（2）2.【分析】（1）消去參數，求得曲線的普通方程，再根據極坐標方程與直角坐標方程的互化公式，即可求得曲線的極坐標方程，再結合題設條件，即可求得曲線的極坐標方程；（2）由,求得，求得面積的表達式，即可求解.【詳解】（1）由曲線的參數方程為(為參數)，消去參數，可得普通方程為，