2023屆山西省三晉名校聯(lián)盟高三下學期4月高階段性測試（五）數(shù)學試題

2023屆山西省三晉名校聯(lián)盟高三下學期4月高階段性測試（五）數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域并解不等式可得集合，即可得.【詳解】由，得，所以，，故選：D.2．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復數(shù)的除法公式化簡，進而可得解.【詳解】由，其在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第一象限，故選：A.3．已知向量滿足，且，則（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)量積與模的關系計算即可.【詳解】由題意知，所以-20，即，所以，即.故選：C4．凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其中的核心零件是多層式結(jié)構(gòu)的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯），主要用于去除鐵銹?泥沙?棉濾芯可以過濾掉的大顆粒雜質(zhì)，過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為，若要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過，則棉濾芯層數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算直接求解.【詳解】由題意得，經(jīng)層濾芯過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為，，則，得，所以，即，所以，解得，，所以的最小值為，故選：C.5．已知是橢圓的兩個焦點，是上一點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理,可得,求得離心率.【詳解】設，由余弦定理可得，解得，則，根據(jù)橢圓的定義，離心率為.故選:B.6．若的展開式中的系數(shù)為25，則實數(shù)（

）A．-11 B．-8 C．-5 D．3【答案】A【分析】分因式中取2，，時，由，利用二項展開式的通項公式求解.【詳解】解：分三種情況：①當因式中取2時，項為，其系數(shù)為30；②當因式中取時，項為，其系數(shù)為③當因式中取時，項為，其系數(shù)為.因為，所以.故選：A7．永定土樓是我國東南沿海地區(qū)特有的山區(qū)民居建筑，如圖所示，土樓的頂部可視為上下開口的圓臺，底部可視為上底面與頂部圓臺的下底面重合的圓柱.若上午時某條太陽光線通過圓臺上底面的邊緣照射到圓臺下底面中心，此時太陽光線與水平地面所成角為，下午時某條太陽光線通過圓臺上底面的邊緣照射到圓臺內(nèi)部下底面另一側(cè)邊緣，此時太陽光線與水平地面所成角為，且這兩條光線與圓臺下底面中心看成在同一堅直平面內(nèi)，土樓頂部對應的圓臺的體積為，則該土樓的占地面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作圖分析，設圓臺下底面半徑為，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求得圓臺的上底面半徑以及高，根據(jù)圓臺的體積求得x，即可求得答案.【詳解】設下午陽光從上底面邊緣的射人點為為圓臺下底面圓心，上底面圓心為，被下午太陽光線照射到內(nèi)部的下底面邊緣點為，延長交于，過A作于.作出上午那條光線關于對稱的光線，則對稱光線經(jīng)過點，如圖,,設圓臺下底面半徑為，即，為等腰三角形，.由于,則,由題意知,可知四邊形為矩形，則,則,，故選：C8．在中，角，，所對的邊分別為，，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理進行邊角互化，結(jié)合余弦定理可得，進而可得，根據(jù)面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得面積的最大值.【詳解】由題意可得，所以由正弦定理得，由余弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以，則當時，取最大值為.故選：B.二、多選題9．有一組從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)，若將第1個數(shù)據(jù)減1，最后一個數(shù)據(jù)加2，其余數(shù)據(jù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則下列統(tǒng)計量中，相比原來的數(shù)據(jù)變大的有（

）A．極差 B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．方差【答案】ACD【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義計算即可得出得出答案.【詳解】極差比原數(shù)據(jù)大3，故A正確；中位數(shù)不變，故B不正確；，，所以平均數(shù)變大，故C正確；因為最小的數(shù)據(jù)變小，最大的數(shù)據(jù)變大，其余數(shù)據(jù)不變，顯然新數(shù)據(jù)較原數(shù)據(jù)相對于各自的平均值波動變大，由方差的意義易知方差也變大了，故D正確.故選：ACD.10．已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為D．有三個零點【答案】BD【分析】判斷分段函數(shù)的單調(diào)性，進而確定最值與零點情況.【詳解】當時，單調(diào)遞增，則，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故的最小值為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故A錯誤，B正確；若在上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)不難判斷出，故的最大值為，故C錯誤；根據(jù)題意，函數(shù)在上有一個零點，函數(shù)在上有兩個零點和，故D正確，故選：BD.11．已知圓，下列說法正確的是（

）A．若圓的半徑為1，則B．若圓不經(jīng)過第二象限，則C．若直線恒經(jīng)過的定點在圓內(nèi)，則當被圓截得的弦最短時，其方程為D．若，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為【答案】AD【分析】圓的方程化為標準方程可判斷A，根據(jù)點到圓心的距離判斷B，由直線所過定點及定點與圓心連線與直線垂直判斷C，根據(jù)切點寫出切線方程，再由曲線與方程的關系得出切點弦所在直線方程判斷D.【詳解】圓的標準方程為.對于A，若圓的半徑為1，則，即，故A正確；對于，因為圓心在第四象限，所以若圓不經(jīng)過第二象限，則原點不在圓內(nèi)，則，即，故B錯誤；對于，直線恒經(jīng)過定點，當被圓截得的弦最短時，，因為的斜率為1，所以的斜率為，其方程為，故C錯誤；對于D，當時，圓的方程為，其半徑，設切點，則直線的方程分別為，因為點在切線上，所以，即，所以直線的方程為，故D正確.故選：AD12．定義：若數(shù)列滿足，則稱為“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”.已知在“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”中，首項，則（

）A．當時，B．當時，為遞增數(shù)列C．當時，有最小值D．當取任意非零實數(shù)時，一定有最大值或最小值【答案】ABD【分析】求出，即可判斷A；構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再通過取點與單調(diào)性確定的圖象與直線的位置關系，逐一分析各個選項即可得解.【詳解】對于A，當時，，故A正確；下面分析B，C，D項：構(gòu)造函數(shù)，則，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，所以單調(diào)遞增，再通過取點與單調(diào)性確定的圖象與直線的位置關系，當時，，當時，，當時，，根據(jù)位置關系作出大致圖象如圖1：分析B項：如圖2，以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，依此類推，由圖可知，為遞增數(shù)列，B正確；分析C項：如圖3，以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，依此類推，由圖可知，為遞減數(shù)列，無限趨近于0，無最小值，C錯誤；分析D項：如圖4，當時，以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，依此類推，由圖可知，當時，為遞增數(shù)列，設與的圖象在第一象限的交點為，結(jié)合B，C項可知：當或時，為遞增數(shù)列，當時，為遞減數(shù)列，當時，為常數(shù)列，顯然，一定有最小值或最大值，D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：與數(shù)列的新定義有關的問題的求解策略：①通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的；②遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決．三、填空題13．已知，則__________.【答案】【分析】利用三角恒等變換弦化切計算即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：14．已知函數(shù)的圖象在原點處的切線與直線垂直，則實數(shù)__________.【答案】2【分析】由導數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】，因為在原點處的切線與直線垂直，所以，即，所以，解得.故答案為：2.15．已知正方體的棱長為，為棱的中點，點為正方體表面及其內(nèi)部的一個動點且，則線段的長度的最大值為__________.【答案】【分析】取的中點，的中點，連接、、，設，推導出平面，可知平面內(nèi)任一點（不與重合）均滿足，結(jié)合圖形可求得的最大值.【詳解】如圖，取的中點，的中點，連接、、，設，因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，又因為且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，因為，，，所以，，所以，，所以，，所以，，故，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，則平面內(nèi)任一點（不與重合）均滿足，由圖可知，.故答案為：.16．已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于兩點，若為該拋物線上一點，為圓上一點，則的最小值為__________.【答案】##【分析】利用直線的點斜式方程寫出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理及焦點弦公式，結(jié)合三點共線線段最小及兩點間的距離公式即可求解.【詳解】由題可知直線的方程為，設，則由,消去，整理得，，所以，所以，解得，所以，而圓的圓心,因為，當且僅當點在同一條直線上取等號，且點位于點之間，如圖所示：又，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知等比數(shù)列滿足.(1)求的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)基本量解方程求出公比即可求出通項公式；（2）利用錯位相減求和即可.【詳解】（1）設的公比為，由,得，即,解得，所以.（2），，，兩式相減得，解得.18．已知函數(shù).(1)求的圖象的對稱中心坐標；(2)把的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）由倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由伸縮變換和平移變換得出的解析式，再由換元法結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出在上的值域.【詳解】（1）.令，得，所以的圖象的對稱中心的坐標為.（2）把的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）得的圖象，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.令，則，所以當或，即或時，，當，即時，，所以在上的值域為.19．某工廠對員工技能進行兩項考核.項考核合格得3分，否則得0分；項考核合格得7分，否則得0分.現(xiàn)將員工分為兩組，一組先進行項考核，另一組先進行項考核合格的概率為，項考核合格的概率為0.5，且每個項目考核合格的概率與考核的順序無關.(1)若甲先進行項考核，記為甲的累計得分，求的分布列.(2)為使累計得分的期望最大，甲應選擇先進行哪個項目的考核？并說明理由.【答案】(1)分布列見解析(2)甲應選擇先進行項考核，理由見解析【分析】（1）先求出的可能取值，再利用條件求出相應的概率，即可求出分布列；（2）先求出項考核得分的期望，再比較兩項考核得分期望的大小，從而得出判斷.【詳解】（1）由已知可得，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：0310（2）甲應選擇先進行項考核，理由如下：由（1）可知甲先進行項考核，累計得分的期望為，若甲先進行項考核，記為甲的累計得分，則的所有可能取值為，，，，則的期望為.因為，所以為使累計得分的期望最大，甲應選擇先進行項考核.20．如圖，在三棱錐中，為棱的中點，，，平分.(1)求證：平面平面；(2)若，，求當三棱錐的體積最大時平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直證明面面垂直；（2）由三棱錐體積公式得當平面時，體積最大，建立空間直角坐標系，利用坐標法計算面面夾角.【詳解】（1）為棱的中點，平分，，，又，，且，平面，平面，又平面，平面平面；（2）設點到平面的距離為，由題可知為定值，，又，當最大時，，即平面，如圖，以為原點，直線，分別為，軸建立空間直角坐標系，又（1）得，又，，得，，所以，，則，，，，，設為平面的法向量，則，令，得，易知為平面的一個法向量，，平面與平面的夾角的余弦值為.21．已知動點到點的距離與到直線的距離之比為，設動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若直線與曲線交于兩點，且直線（為坐標原點）的斜率滿足，證明：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設，依題意列式，化簡即可得出的方程；（2）設，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，結(jié)合韋達定理表示出，解方程即可求出，即可得出直線恒過的定點.【詳解】（1）設，依題意，整理得，即為曲線的方程.（2）設，將代入，整理得，由題意知且.則.因為所以，得，因為，所以代入可得且，此時的方程為，可知過定點.22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設函數(shù)，若有三個不同的零點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）先求得，再按m分類討論，利用導函數(shù)與原函數(shù)間的關系即可得到的單調(diào)性；（2）先化簡解析式，構(gòu)造函數(shù)，并利用導數(shù)求得的單調(diào)性和函數(shù)值的正負情況，進而得到的單調(diào)性和函數(shù)值的正負情況，再利用有三個不同的零點列出關于的不等式，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，令，得，則時，，所以在上單調(diào)遞增.時，令得當時，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當時，，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜