2023屆浙江省寧波市高三下學期4月模擬（二模）數(shù)學試題

2023屆浙江省寧波市高三下學期4月模擬（二模）數(shù)學試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解絕對值不等式求出集合、再解指數(shù)不等式求出集合，最后根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由可得，解得，所以，由，可得，所以，即，所以.故選：B2．設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的乘、除法運算及虛部的概念即可求解．【詳解】由，則，所以z的虛部為2．故選：D．3．設隨機變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和正態(tài)曲線即可求得，又根據(jù)正態(tài)曲線可得，進而即可求得．【詳解】根據(jù)題意，且，則，由正態(tài)曲線得，所以．故選：C．4．已知非零向量滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得方向相反，且，進而結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】由得，因此可知方向相反，且，對于A,，由于與的關系不確定，故A錯誤，對于B，由于，故B錯誤，對于C，，所以，故C錯誤，對于D，，故D正確，故選：D5．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（

）A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸【答案】C【分析】由題意求得盆中水的上地面半徑，代入圓臺體積公式求得水的體積，除以盆口面積得答案．【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．積水深9寸，水面半徑為寸，則盆中水的體積為（立方寸）．平地降雨量等于（寸．故選：C．6．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且在上沒有最小值，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．10【答案】A【分析】根據(jù)對稱軸可得或進而根據(jù)三角函數(shù)的性子即可求解.【詳解】由的圖象關于直線對稱可得解得或由，由于在上沒有最小值，所以，又或所以，故選：A7．設橢圓的右焦點為，點在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用中點弦問題，結(jié)合點差法可得，即可求離心率.【詳解】如圖，取的中點為，連接，則由題意可得，，所以相似，所以,因為直線PQ，PF的斜率之積為，所以,設，則有，兩式相減可得，即，即，即，所以橢圓的離心率為，故選:B.8．已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（

）A．2023 B．2025 C．2027 D．2029【答案】C【分析】因為,得出,進而依此類推，可得，易知單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合函數(shù)的圖像與這一系列直線確定交點個數(shù)即可.【詳解】因為,所以當時,,得或,得或,由得或，由得，進而可得,故由可得，或或.依此類推，可得，其中k=0,1.2....,2023.易知,,可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞減，畫出函數(shù)的圖像，如圖所示．結(jié)合圖像易知，函數(shù)的圖像與這一系列直線,,共有2027個交點.故選:C二、多選題9．根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫數(shù)據(jù)（單位：）繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是（

）A．5號到11號的最低氣溫與日期之間呈線性相關關系且為正相關B．9號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C．最高氣溫的眾數(shù)為D．5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大【答案】AC【分析】根據(jù)最低氣溫以及最高氣溫的折線圖，結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】由5號到11號的最低氣溫的散點分布是從左下到右上可知：最低氣溫與日期之間呈線性相關關系且為正相關，故A正確，由圖可知6號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，故B錯誤，最高氣溫出現(xiàn)了兩次，其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)為1次，故是最高氣溫的眾數(shù)，故C正確，5號到15號的最低氣溫的極差小于，5號到15號的最高氣溫的極差約等于，故D錯誤，故選：AC10．已知函數(shù)與及其導函數(shù)與的定義域均為，是偶函數(shù)，的圖象關于點對稱，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先證明定理1：若函數(shù)連續(xù)且可導，則圖象關于直線對稱導函數(shù)圖象關于點對稱．定理2：若函數(shù)連續(xù)且可導，則圖象關于點對稱導函數(shù)圖象關于直線對稱．令，即可判斷A，D；令，即可判斷B，C．【詳解】定理1：若函數(shù)連續(xù)且可導，則圖象關于直線對稱導函數(shù)圖象關于點對稱．定理2：若函數(shù)連續(xù)且可導，則圖象關于點對稱導函數(shù)圖象關于直線對稱．以下證明定理1，定理2：證明：若函數(shù)圖象關于直線對稱，則，則，所以導函數(shù)圖象關于點對稱．若導函數(shù)圖象關于點對稱，則，令，則，則(c為常數(shù))，又，所以，則，所以圖象關于直線對稱．若函數(shù)圖象關于點對稱，則，則，所以圖象關于直線對稱．若導函數(shù)圖象關于直線對稱，則，令，則，則(c為常數(shù))，又，所以，則，所以圖象關于點對稱．故下面可以直接引用以上定理．由是偶函數(shù)，的圖象關于點對稱，則有，，由定理1，則圖象關于點對稱，所以，和定理2，則的圖象關于，所以，對于A，令，則，所以，故A正確；對于B，令，則，所以，故B正確；對于C，令，則，所以，故C正確；對于D，令，則，所以，故D錯誤．故選：ABC．11．已知平面于點O，A，B是平面上的兩個動點，且，則（

）A．SA與SB所成的角可能為 B．SA與OB所成的角可能為C．SO與平面SAB所成的角可能為 D．平面SOB與平面SAB的夾角可能為【答案】AC【分析】建立空間直角坐標系，求出的坐標，利用空間向量的夾角公式求解可判斷A，B；求出及平面SAB與平面SOB的法向量，利用線面角與面面夾角的空間向量公式求解可判斷C，D.【詳解】設，則，以為原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，且，，若SA與SB所成的角為，則，解得．當時，，不符合題意；當時，，方程有解，故A正確；若SA與OB所成的角為，則，得，不符合題意，故B錯誤；設平面SAB的法向量為，則，取，若SO與平面SAB所成的角為，則

，解得，故C正確；設平面SOB的法向量為，則，取，若平面SOB與平面SAB的夾角為，則，即，得，又，得，不符合題意，故D錯誤，故選：AC.12．三支不同的曲線交拋物線于點，為拋物線的焦點，記的面積為，下列說法正確的是（

）A．為定值 B．C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】設直線與拋物線的交于點，則與關于軸對稱，設，則，聯(lián)立，利用韋達定理求得，進而可求得，結(jié)合焦半徑公式即可判斷A；判斷是否為定值即可判斷B；求出，即可判斷CD.【詳解】如圖，設直線與拋物線的交于點，則與關于軸對稱，設，則，聯(lián)立，消得，則，又，則，則，對于A，，，故A正確；對于B，，因為不是定值，所以不是定值，故B錯誤；對于C，設直線的傾斜角為，則，則，所以，又因，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，故D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：解決直線和拋物線的位置關系類問題時，一般方法是設出直線方程并聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關系式，要結(jié)合題中條件進行化簡，但要注意的是計算量一般都較大而復雜，要十分細心.三、填空題13．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，則，解得或（舍去）.故答案為：.14．寫出一個半徑為1，且與圓和圓均外切的圓的方程__________．【答案】或（填一個即可）【分析】根據(jù)兩圓外切滿足的關系即可列方程求解.【詳解】設所求圓的圓心為，則由外切關系可得，化簡得，解得或，故滿足條件的圓的圓心為或，故答案為：15．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈“1→4→2→1”．這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．猜想的遞推關系如下：已知數(shù)列滿足（m為正整數(shù)），若，則m所有可能取值的集合為___________．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式逆向?qū)ふ医Y(jié)果即可.【詳解】若，則，則，或.當時，則，則，或，則或；當時，或（舍），若，則，則或；即m所有可能取值的集合為.故答案為：16．正四面體ABCD的棱長為3，P在棱AB上，且滿足，記四面體ABCD的內(nèi)切球為球，四面體PBCD的外接球為球，則_________．【答案】【分析】設點為的中心，連接，并延長交于點，則平面，點為的中點，，四面體ABCD的內(nèi)切球的球心在上，且四面體PBCD的外接球的球心在上，利用等體積法求出四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為，即，記的中點為，根據(jù)求出，即可得出，即可得解.【詳解】如圖，設點為的中心，則平面，連接，并延長交于點，則點為的中點，，則四面體ABCD的內(nèi)切球的球心在上，且四面體PBCD的外接球的球心在上，設四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為，，則，又，則，解得，即，由四面體PBCD的外接球的球心在上，得，記的中點為，則，，，所以，則，所以.故答案為：.【點睛】方法定睛：多面體與球切、接問題的求解方法(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．(2)若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．(4)球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長．(5)利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解．四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求；(2)若的最大角為最小角的2倍，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解余弦值，進而根據(jù)同角關系即可求解正弦值，（2）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式得，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】（1）當時，，在中，由余弦定理，得，所以．（2）由已知，最大角為角A，最小角為角C，即，由正弦定理得，即，又，所以，將，代入上式得，由于解得．18．盲盒，是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機屬性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有的可能性出現(xiàn)隱藏款X．為避免盲目購買與黃牛囤積，每人每天只能購買1件盲盒套餐．開售第二日，銷售門店對80名購買了套餐的消費者進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：A款盲盒套餐B款盲盒套餐合計年齡低于30歲183048年齡不低于30歲221032合計404080(1)根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關；(2)甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐，記隨機變量為其中隱藏款X的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)某消費者在開售首日與次日分別購買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中，P（）【答案】(1)表格見解析，有(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）根據(jù)獨立性檢驗計算，在進行判斷即可；（2）根據(jù)二項分布的概率公式，進行計算得分布列及數(shù)學期望即可；（3）根據(jù)全概率公式及條件概率公式分析計算即可.【詳解】（1）零假設為：：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無關聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即有的把握認為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關．（2）的所有可能取值為0，1，2，3，，所以的分布列為：0123P（或）．（3）設事件A：隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，設事件：隨機抽取的1件單品來自于A款盲盒套餐，設事件：隨機抽取的1件單品來自于B款盲盒套餐，，故由條件概率公式可得．19．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．(1)求證：平面ABCD；(2)設，，，平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為，求BC的長．【答案】(1)證明見解析(2)BC的長為．【分析】（1）在平面ABCD中取一點E，并過點E作直線，，利用面面垂直的性質(zhì)可證，，再根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明平面ABCD；（2）以A為原點，AD，AB，AP方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系，設，利用向量法求出平面PBC與平面PCD的法向量，即可利用二面角的公式求出t，即為BC的長.【詳解】（1）證明：如圖，在平面ABCD中取一點E，并過點E作直線，因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，因為平面PAD，所以；同理，過點E作直線，因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以；因為，平面ABCD，所以平面ABCD．（2）由（1）知，如圖，以A為原點，AD，AB，AP方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系，設，則，，，，所以，，，，設平面PBC的法向量為，則，令，得，設平面PCD的法向量為，則，令，得，由題知，即，解得，所以BC的長為．20．已知等比數(shù)列的前n項和滿足．(1)求首項的值及的通項公式；(2)設，求滿足的最大正整數(shù)n的值．【答案】(1)，(2)11【分析】（1）根據(jù)的關系即可求解，或者根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解，（2）由對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，即可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）解法1：當時，，則，即，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以公比為2，當時，，即，所以，且滿足題意，所以的通項公式為．解法2：由題知，，即，由①代入②，得，解得或．（舍去），所以的通項公式為．（2）由（1）得，所以，所以，由得，即，令，則，所以在時單調(diào)遞增，且，而，所以滿足條件的最大正整數(shù)．21．已知雙曲線，點與雙曲線上的點的距離的最小值為．(1)求雙曲線E的方程；(2)直線與圓相切，且交雙曲線E的左、右支于A，B兩點，交漸近線于點M，N．記，的面積分別為，，當時，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設是雙曲線上的任意一點，先求得，再結(jié)合題意即可求得的值，進而即可求出雙曲線E的方程；（2）先根據(jù)直線與圓相切得到，設，，再聯(lián)立直線的方程和雙曲線E的方程，求得，，根據(jù)題意求得的取值范圍，設點到AB的距離，從而求得，再聯(lián)立直線的方程和雙曲線E的漸近線的方程，求得，，設點O到MN的距離，從而求得，再結(jié)合即可求得的值，進而即可求得直線l的方程．【詳解】（1）設是雙曲線上的任意一點，則，所以當時，的最小值為，所以，得，所以雙曲線E的方程為．（2）由直線與圓相切得，由直線交雙曲線的左、右支于A，B兩點，設，，聯(lián)立，消整理得，則，，，所以，所以，即，解得，又，則，解得或，所以，所以，又點到AB的距離，故，設，，聯(lián)立方程組，消整理得，則，，，所以，所以，又點O到MN的距離，故，所以當時，有，整理得，即，又，則，即，解得，（舍去），所以，則，所以直線方程為．【點睛】方法點睛：本題考查直線與雙曲線的位置關系，利用韋達定理解決弦長問題，進而解決面積相關的取值范圍問題，屬中難題，關鍵是熟練掌握弦長公式和直線與雙曲線的位置關系