2023屆浙江省寧波市高三下學(xué)期4月模擬（二模）數(shù)學(xué)試題

2023屆浙江省寧波市高三下學(xué)期4月模擬（二模）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合、再解指數(shù)不等式求出集合，最后根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由可得，解得，所以，由，可得，所以，即，所以.故選：B2．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算及虛部的概念即可求解．【詳解】由，則，所以z的虛部為2．故選：D．3．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和正態(tài)曲線即可求得，又根據(jù)正態(tài)曲線可得，進(jìn)而即可求得．【詳解】根據(jù)題意，且，則，由正態(tài)曲線得，所以．故選：C．4．已知非零向量滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得方向相反，且，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】由得，因此可知方向相反，且，對(duì)于A,，由于與的關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，所以，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故D正確，故選：D5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（

）A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸【答案】C【分析】由題意求得盆中水的上地面半徑，代入圓臺(tái)體積公式求得水的體積，除以盆口面積得答案．【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．積水深9寸，水面半徑為寸，則盆中水的體積為（立方寸）．平地降雨量等于（寸．故選：C．6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上沒(méi)有最小值，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．10【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱軸可得或進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性子即可求解.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得解得或由，由于在上沒(méi)有最小值，所以，又或所以，故選：A7．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點(diǎn)．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用中點(diǎn)弦問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)差法可得，即可求離心率.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則由題意可得，，所以相似，所以,因?yàn)橹本€PQ，PF的斜率之積為，所以,設(shè)，則有，兩式相減可得，即，即，即，所以橢圓的離心率為，故選:B.8．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2023 B．2025 C．2027 D．2029【答案】C【分析】因?yàn)?得出,進(jìn)而依此類推，可得，易知單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合函數(shù)的圖像與這一系列直線確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,得或,得或,由得或，由得，進(jìn)而可得,故由可得，或或.依此類推，可得，其中k=0,1.2....,2023.易知,,可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞減，畫(huà)出函數(shù)的圖像，如圖所示．結(jié)合圖像易知，函數(shù)的圖像與這一系列直線,,共有2027個(gè)交點(diǎn).故選:C二、多選題9．根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：）繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是（

）A．5號(hào)到11號(hào)的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)B．9號(hào)的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C．最高氣溫的眾數(shù)為D．5號(hào)到15號(hào)的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大【答案】AC【分析】根據(jù)最低氣溫以及最高氣溫的折線圖，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】由5號(hào)到11號(hào)的最低氣溫的散點(diǎn)分布是從左下到右上可知：最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)，故A正確，由圖可知6號(hào)的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，故B錯(cuò)誤，最高氣溫出現(xiàn)了兩次，其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)為1次，故是最高氣溫的眾數(shù)，故C正確，5號(hào)到15號(hào)的最低氣溫的極差小于，5號(hào)到15號(hào)的最高氣溫的極差約等于，故D錯(cuò)誤，故選：AC10．已知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)與的定義域均為，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先證明定理1：若函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．定理2：若函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，則圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱．令，即可判斷A，D；令，即可判斷B，C．【詳解】定理1：若函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．定理2：若函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，則圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱．以下證明定理1，定理2：證明：若函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，則，所以導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．若導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，令，則，則(c為常數(shù))，又，所以，則，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱．若函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，則，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱．若導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，令，則，則(c為常數(shù))，又，所以，則，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．故下面可以直接引用以上定理．由是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有，，由定理1，則圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，和定理2，則的圖象關(guān)于，所以，對(duì)于A，令，則，所以，故A正確；對(duì)于B，令，則，所以，故B正確；對(duì)于C，令，則，所以，故C正確；對(duì)于D，令，則，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．已知平面于點(diǎn)O，A，B是平面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則（

）A．SA與SB所成的角可能為 B．SA與OB所成的角可能為C．SO與平面SAB所成的角可能為 D．平面SOB與平面SAB的夾角可能為【答案】AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式求解可判斷A，B；求出及平面SAB與平面SOB的法向量，利用線面角與面面夾角的空間向量公式求解可判斷C，D.【詳解】設(shè)，則，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，且，，若SA與SB所成的角為，則，解得．當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，方程有解，故A正確；若SA與OB所成的角為，則，得，不符合題意，故B錯(cuò)誤；設(shè)平面SAB的法向量為，則，取，若SO與平面SAB所成的角為，則

，解得，故C正確；設(shè)平面SOB的法向量為，則，取，若平面SOB與平面SAB的夾角為，則，即，得，又，得，不符合題意，故D錯(cuò)誤，故選：AC.12．三支不同的曲線交拋物線于點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，記的面積為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．為定值 B．C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】設(shè)直線與拋物線的交于點(diǎn)，則與關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而可求得，結(jié)合焦半徑公式即可判斷A；判斷是否為定值即可判斷B；求出，即可判斷CD.【詳解】如圖，設(shè)直線與拋物線的交于點(diǎn)，則與關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則，聯(lián)立，消得，則，又，則，則，對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)椴皇嵌ㄖ担圆皇嵌ㄖ?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以，又因，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線和拋物線的位置關(guān)系類問(wèn)題時(shí)，一般方法是設(shè)出直線方程并聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，要結(jié)合題中條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，但要注意的是計(jì)算量一般都較大而復(fù)雜，要十分細(xì)心.三、填空題13．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上遞增，所以，則，解得或（舍去）.故答案為：.14．寫(xiě)出一個(gè)半徑為1，且與圓和圓均外切的圓的方程__________．【答案】或（填一個(gè)即可）【分析】根據(jù)兩圓外切滿足的關(guān)系即可列方程求解.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，則由外切關(guān)系可得，化簡(jiǎn)得，解得或，故滿足條件的圓的圓心為或，故答案為：15．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈“1→4→2→1”．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足（m為正整數(shù)），若，則m所有可能取值的集合為_(kāi)__________．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式逆向?qū)ふ医Y(jié)果即可.【詳解】若，則，則，或.當(dāng)時(shí)，則，則，或，則或；當(dāng)時(shí)，或（舍），若，則，則或；即m所有可能取值的集合為.故答案為：16．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3，P在棱AB上，且滿足，記四面體ABCD的內(nèi)切球?yàn)榍?，四面體PBCD的外接球?yàn)榍颍瑒t_________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)為的中心，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，四面體ABCD的內(nèi)切球的球心在上，且四面體PBCD的外接球的球心在上，利用等體積法求出四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為，即，記的中點(diǎn)為，根據(jù)求出，即可得出，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)為的中心，則平面，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則四面體ABCD的內(nèi)切球的球心在上，且四面體PBCD的外接球的球心在上，設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為，，則，又，則，解得，即，由四面體PBCD的外接球的球心在上，得，記的中點(diǎn)為，則，，，所以，則，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法定睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解．(2)若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)．(4)球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)．(5)利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．四、解答題17．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求；(2)若的最大角為最小角的2倍，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解余弦值，進(jìn)而根據(jù)同角關(guān)系即可求解正弦值，（2）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式得，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，在中，由余弦定理，得，所以．（2）由已知，最大角為角A，最小角為角C，即，由正弦定理得，即，又，所以，將，代入上式得，由于解得．18．盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有的可能性出現(xiàn)隱藏款X．為避免盲目購(gòu)買與黃牛囤積，每人每天只能購(gòu)買1件盲盒套餐．開(kāi)售第二日，銷售門(mén)店對(duì)80名購(gòu)買了套餐的消費(fèi)者進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：A款盲盒套餐B款盲盒套餐合計(jì)年齡低于30歲183048年齡不低于30歲221032合計(jì)404080(1)根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；(2)甲、乙、丙三人每人購(gòu)買1件B款盲盒套餐，記隨機(jī)變量為其中隱藏款X的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)某消費(fèi)者在開(kāi)售首日與次日分別購(gòu)買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來(lái)自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中，P（）【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有(2)分布列見(jiàn)解析，(3)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算，在進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式，進(jìn)行計(jì)算得分布列及數(shù)學(xué)期望即可；（3）根據(jù)全概率公式及條件概率公式分析計(jì)算即可.【詳解】（1）零假設(shè)為：：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即有的把握認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)．（2）的所有可能取值為0，1，2，3，，所以的分布列為：0123P（或）．（3）設(shè)事件A：隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于A款盲盒套餐，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于B款盲盒套餐，，故由條件概率公式可得．19．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．(1)求證：平面ABCD；(2)設(shè)，，，平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)BC的長(zhǎng)為．【分析】（1）在平面ABCD中取一點(diǎn)E，并過(guò)點(diǎn)E作直線，，利用面面垂直的性質(zhì)可證，，再根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明平面ABCD；（2）以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出平面PBC與平面PCD的法向量，即可利用二面角的公式求出t，即為BC的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：如圖，在平面ABCD中取一點(diǎn)E，并過(guò)點(diǎn)E作直線，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，因?yàn)槠矫鍼AD，所以；同理，過(guò)點(diǎn)E作直線，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，因?yàn)槠矫鍼AB，所以；因?yàn)?，平面ABCD，所以平面ABCD．（2）由（1）知，如圖，以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，令，得，設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，得，由題知，即，解得，所以BC的長(zhǎng)為．20．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求首項(xiàng)的值及的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求滿足的最大正整數(shù)n的值．【答案】(1)，(2)11【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可求解，或者根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）解法1：當(dāng)時(shí)，，則，即，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以公比為2，當(dāng)時(shí)，，即，所以，且滿足題意，所以的通項(xiàng)公式為．解法2：由題知，，即，由①代入②，得，解得或．（舍去），所以的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，所以，所以，由得，即，令，則，所以在時(shí)單調(diào)遞增，且，而，所以滿足條件的最大正整數(shù)．21．已知雙曲線，點(diǎn)與雙曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為．(1)求雙曲線E的方程；(2)直線與圓相切，且交雙曲線E的左、右支于A，B兩點(diǎn)，交漸近線于點(diǎn)M，N．記，的面積分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，先求得，再結(jié)合題意即可求得的值，進(jìn)而即可求出雙曲線E的方程；（2）先根據(jù)直線與圓相切得到，設(shè)，，再聯(lián)立直線的方程和雙曲線E的方程，求得，，根據(jù)題意求得的取值范圍，設(shè)點(diǎn)到AB的距離，從而求得，再聯(lián)立直線的方程和雙曲線E的漸近線的方程，求得，，設(shè)點(diǎn)O到MN的距離，從而求得，再結(jié)合即可求得的值，進(jìn)而即可求得直線l的方程．【詳解】（1）設(shè)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以，得，所以雙曲線E的方程為．（2）由直線與圓相切得，由直線交雙曲線的左、右支于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，聯(lián)立，消整理得，則，，，所以，所以，即，解得，又，則，解得或，所以，所以，又點(diǎn)到AB的距離，故，設(shè)，，聯(lián)立方程組，消整理得，則，，，所以，所以，又點(diǎn)O到MN的距離，故，所以當(dāng)時(shí)，有，整理得，即，又，則，即，解得，（舍去），所以，則，所以直線方程為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，進(jìn)而解決面積相關(guān)的取值范圍問(wèn)題，屬中難題，關(guān)鍵是熟練掌握弦長(zhǎng)公式和直線與雙曲線的位置關(guān)系