2023屆新高考Ⅰ卷第二次統(tǒng)一調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試題

2023屆新高考Ⅰ卷第二次統(tǒng)一調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求解絕對值不等式和函數(shù)定義域解得集合，再求交集即可.【詳解】根據(jù)題意，可得，故.故選：B.2．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)的運算法則求解即可【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，則，對應(yīng)的點的坐標為，位于第三象限，故選：C.3．某車間生產(chǎn)一種圓臺型紙杯，其杯底直徑為，杯口直徑為，高為?，將該紙杯裝滿水（水面與杯口齊平），現(xiàn)將一直徑為的小鐵球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入水中并靜止后，從杯口溢出水的體積為紙杯容積的，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓臺及球的體積公式結(jié)合條件即得.【詳解】由題可得圓臺型紙杯的體積為，小鐵球的體積為，由題可得，即.故選：B.4．已知拋物線的焦點為，直線不過點且與交于，兩點（點在軸上方），與軸負半軸交于點，若，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由題可得，進而可得點坐標，然后利用斜率公式即得.【詳解】由題可得，設(shè)，，因為，，∴，解得，所以，即，所以直線的斜率為.故選：D.5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”若在此對話的基礎(chǔ)上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先考慮滿足回答者的所有情況，分甲同學(xué)為第5名和甲同學(xué)不是第5名兩種情況，結(jié)合分類加法原理求解，再求解滿足回答者的情況且最終丙和丁獲得前兩名的可能情況，最后根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，當甲同學(xué)為第5名時，乙同學(xué)可能是第2，3，4名，故有種，當甲同學(xué)不是第5名時，甲、乙同學(xué)可能是第2，3，4名，故有種，故滿足回答者的所有情況共種.其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，當甲同學(xué)為第5名，丙和丁獲得前兩名時有種；當甲同學(xué)不是第5名，丙和丁獲得前兩名時，有種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為故選：A6．若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再借助“媒介”數(shù)比較大小作答.【詳解】依題意，，，即，又，，則，，即，所以，，的大小關(guān)系是.故選：D7．某微生物科研團隊為了研究某種細菌的繁殖情況，工作人員配制了一種適合該細菌繁殖的營養(yǎng)基質(zhì)用以培養(yǎng)該細菌，通過相關(guān)設(shè)備以及分析計算后得到：該細菌在前3個小時的細菌數(shù)與時間（單位：小時，且）滿足回歸方程（其中為常數(shù)），若，且前3個小時與的部分數(shù)據(jù)如下表：1233個小時后，向該營養(yǎng)基質(zhì)中加入某種細菌抑制劑，分析計算后得到細菌數(shù)與時間（單位：小時，且）滿足關(guān)系式：，在時刻，該細菌數(shù)達到最大，隨后細菌個數(shù)逐漸減少，則的值為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出樣本中心點求出b值，再分段討論y的最大值情況作答.【詳解】依題意，，，由，，得，且經(jīng)過點，于是得，當時，單調(diào)遞增，則當時，，當時，，令，，求導(dǎo)得：，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，而，因此當時，細菌數(shù)取最大值，所以的值為4.故選：A8．在棱長為3的正方體中，點為側(cè)面內(nèi)一動點，且滿足平面，若，三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】探求點的位置，結(jié)合余弦定理求出BP，AP，再由正弦定理求出的球的截面小圓半徑，然后確定球心O的位置并求出球半徑作答.【詳解】在正方體中，連接，如圖，對角面是矩形，有，平面，平面，則平面，同理平面，而，平面，因此平面平面，而平面，平面，則有平面，又點在側(cè)面內(nèi)，側(cè)面平面，于是得點在線段上，中，，由余弦定理得：，即，解得或，中，，由余弦定理得：，由正弦定理得的外接圓半徑，外接圓半徑，令，外接圓圓心為，有平面，取中點，令外接圓圓心為連，則，而平面平面，平面平面，因此平面，平面，又平面，從而有，即四邊形為平行四邊形，，球O的半徑R，有，所以球的表面積為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.二、多選題9．在正方體中，，，，，分別為，，，，的中點，則（

）A．直線與直線垂直B．點與點到平面的距離相等C．直線與平面平行D．與的夾角為【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的正方體，建立空間直角坐標系，再借助空間向量逐項分析求解作答.【詳解】在正方體中，以點D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，對于A，，，則，A正確；對于B，，即，而，則，而平面，平面，因此平面，所以點與點到平面的距離相等，B正確；對于C，，即，而，則，又平面，平面，因此平面，C正確；對于D，，令與的夾角為，則，顯然，D不正確.故選：ABC10．最近幾個月，新冠肺炎疫情又出現(xiàn)反復(fù)，各學(xué)校均加強了疫情防控要求，學(xué)生在進校時必須走測溫通道，每天早中晚都要進行體溫檢測并將結(jié)果上報主管部門.某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲乙兩名同學(xué)的體溫進行了統(tǒng)計，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)體溫的極差為0.4℃B．乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4℃，中位數(shù)與平均數(shù)相等C．乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定D．甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.4℃【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的折線圖，逐一分析判斷各個選項即可作答.【詳解】觀察折線圖知，甲同學(xué)體溫的極差為0.4℃，A正確；乙同學(xué)體溫從小到大排成一列：36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4℃，中位數(shù)為36.4℃，平均數(shù)℃，B正確；乙同學(xué)的體溫波動較甲同學(xué)的小，極差為0.2℃，也比甲同學(xué)的小，因此乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，C正確；將甲同學(xué)的體溫從小到大排成一列：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，因，則甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.5℃，D不正確.故選：ABC11．已知函數(shù)的圖象過點，下列說法中正確的有（

）A．若，則在上單調(diào)遞減B．若把的圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為2C．若在上有且僅有4個零點，則D．若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，求出，再逐項分析求解，判斷作答.【詳解】依題意，，即，而，則，，對于A，當時，，由，得，則在上不單調(diào)，A不正確；對于B，的圖象向左平移個單位后得函數(shù)，依題意，，解得：，因此的最小值為2，B正確；對于C，當時，，因在上有且僅有4個零點，則，解得：，C正確；對于D，因，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則直線是圖象的對稱軸，且在處取得最小值，，因此，，且，即，且，所以或，D不正確.故選：BC12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，均為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題知，，進而得，可判斷A；再對求導(dǎo)可得，進而得為周期函數(shù)，周期為，進而可得，可判斷BD；再根據(jù)得，進而得時，可判斷C..【詳解】解：因為若，為奇函數(shù)，所以，令得，，即，，A選項正確；所以，，即，所以，函數(shù)關(guān)于對稱，對稱，所以，，即所以，，所以，，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，所以，，，故D選項正確，B選項錯誤；對于C選項，由可得，其中為常數(shù)，所以，所以，故令得，即，故C選項正確.故選：ACD.三、填空題13．已知二項式展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值為____________．【答案】6【分析】寫出二項式的通項公式并化解，根據(jù)已知列式，利用即可得到最小時的情況即可得出答案.【詳解】二項式展開式的通項為：，二項式展開式中含有常數(shù)項，有解，則當時，最小，且最小值為6.故答案為：6.14．已知線段是圓的一條動弦，且，若點P為直線上的任意一點，則的最小值為________________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出動弦中點Q的軌跡，再借助幾何意義求出的最小值作答.【詳解】圓的圓心，半徑，令動弦中點為Q，則，，即動弦中點Q的軌跡是以點C為圓心，為半徑的圓，點到直線的距離，即直線與點Q的軌跡相離，，而，所以的最小值為.故答案為：15．已知橢圓的上、下頂點分別為，，點是橢圓C上異于、的點，直線和的斜率分別為、，寫出一個滿足的橢圓C的方程是________________．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)斜率公式可得出、所滿足的關(guān)系式，即可得出滿足條件的一個橢圓的方程.【詳解】由題意可知、，設(shè)，則，所以，所以，所以.所以橢圓的方程可以為（只需滿足即可）.故答案為：（答案不唯一）.四、雙空題16．已知數(shù)列的前n項和為，滿足，，則___________；設(shè)，則數(shù)列的前n項和________________．【答案】

【分析】根據(jù)給定條件，利用“當時，”變形構(gòu)造數(shù)列求；求出，利用裂項相消法求解作答.【詳解】數(shù)列中，，，，當時，，即，整理得：，即有，顯然數(shù)列是常數(shù)列，因此，所以；，則有，令，即，所以.故答案為：；【點睛】易錯點睛：裂項法求和，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的．五、解答題17．已知中，a，b，c分別為角A，B，C對應(yīng)的邊，且，，．(1)若，求的面積；(2)求周長的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知可得，再利用正弦定理、余弦定理求出b即可計算作答.（2）由余弦定理結(jié)合（1），用含b的函數(shù)關(guān)系表示c，再分類求解函數(shù)的值作答.【詳解】(1)在中，由得，而，則正弦定理得：，則，由余弦定理得：，于是得，整理得：，而，解得，所以的面積.(2)因，則，，由（1）知，由余弦定理得：，即，整理得，解得或，當時，，，，則，即，當時，由知，，，顯然，有，，即有，因此，即，綜上得，所以周長的取值范圍是.18．已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求；(2)若，對任意的，，，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用和的關(guān)系可得，進而即得；（2）由題可得，令，然后求數(shù)列的最小值即得.【詳解】(1)由，，可得，即，所以，所以，令，可得，令，可得，所以為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，即；(2)因為，，當時，，令，則當時，，所以，當時，，所以的最小值為，所以.19．已知四棱錐的底面為菱形，，，平面．與底面所成角為，設(shè)平面與平面交線為．(1)證明：平面；(2)Q為l上的動點，且點Q與點A在平面同側(cè)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理作答.（2）取BC中點E，以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，借助空間向量建立線面角正弦的函數(shù)關(guān)系即可求解作答.【詳解】(1)因四棱錐的底面為菱形，則，而平面，平面，則有平面，又平面平面，平面，于是得，而平面，平面，所以平面.(2)取BC中點E，連接DE，BD，菱形中，，則為正三角形，有，又，即有，而平面，以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因與底面所成角為，則，，有，設(shè)，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，因此，而，則當時，，，即，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.20．臺灣是中國固有領(lǐng)土，臺海局勢牽動每個人的心．某次海軍對抗演習(xí)中，紅方飛行員甲負責攻擊藍方艦隊．假設(shè)甲距離藍方艦隊100海里，且未被發(fā)現(xiàn)，若此時發(fā)射導(dǎo)彈，命中藍方戰(zhàn)艦概率是0.2，并可安全返回．若甲繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內(nèi)，有0.5的概率被敵方發(fā)現(xiàn)，若被發(fā)現(xiàn)將失去攻擊機會，且此時自身被擊落的概率是0.6．若沒被發(fā)現(xiàn)，則發(fā)射導(dǎo)彈擊中藍方戰(zhàn)艦概率是0.8，并可安全返回．命中戰(zhàn)艦紅方得10分，藍方不得分；擊落戰(zhàn)機藍方得6分，紅方不得分．(1)從期望角度分析，甲是否應(yīng)繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內(nèi)？(2)若甲在返回途中發(fā)現(xiàn)敵方兩架轟炸機，此時甲彈艙中還剩6枚導(dǎo)彈，每枚導(dǎo)彈命中轟炸機概率均為0.5．（i）若甲同時向每架轟炸機各發(fā)射三枚導(dǎo)彈，求恰有一架轟炸機被命中的概率；（ii）若甲隨機向一架轟炸機發(fā)射一枚導(dǎo)彈，若命中，則向另一架轟炸機發(fā)射一枚導(dǎo)彈，若不命中，則繼續(xù)向該轟炸機發(fā)射一枚導(dǎo)彈，直到兩架轟炸機均被命中或?qū)椨猛隇橹?，求最終剩余導(dǎo)彈數(shù)量的分布列．【答案】(1)甲應(yīng)繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內(nèi)，詳見解析；(2)（i）；（ii）詳見解析.【分析】（1）根據(jù)題意分別計算不進入50海里及進入50海里時甲相對得分的期望值，進而即得；（2）（i）根據(jù)對立事件概率公式及獨立重復(fù)事件概率公式即得；（ii）由題可得的可能取值，然后分別計算概率，進而可得分布列.【詳解】(1)由題可知，若不進入50海里，甲相對得分的期望為0.2×10=2，若進入50海里，甲相對得分的期望為0.5×0.8×10+0.5×0.6×(?6)=2.2，所以甲應(yīng)繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內(nèi)；(2)（i）因為每枚導(dǎo)彈命中轟炸機概率均為0.5，所以一架轟炸機被命中的概率為，所以恰有一架轟炸機被命中的概率為；（ii）由題可知的可能取值為0,1,2,3,4，因為，，，，.所以的分布列為：01234.21．已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為．點在第一象限的雙曲線上，過點作雙曲線切線與直線交于點．(1)證明：；(2)已知斜率為的直線與雙曲線左支交于兩點，若直線，的斜率互為相反數(shù)，求的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由題知雙曲線的標準方程為，進而設(shè)設(shè)，在點的切線方程為，再與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合位置關(guān)系得，進而得，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示證明即可；（2）設(shè)，直線的方程為，進而與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理與化簡整理得，進而得，此時結(jié)合（1）得，，，再計算面積即可.【詳解】(1)解：因為雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為，所以，，解得，所以，雙曲線的標準方程為，因為過點作雙曲線切線與直線交于點，故切線的斜率存在，所以，設(shè)，在點的切線方程為，聯(lián)立方程得所以，，即①因為，代入①式得，解得所以，在點的切線方程為，所以點的坐標為，即，因為，所以所以，(2)解：由題，設(shè)直線的方程