高中數(shù)學教學案例設(shè)計匯編

中學數(shù)學教學案例設(shè)計匯編（下部） 19、正弦定理（2） 一、教學內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容支配在《一般中學課程標準試驗教科書·數(shù)學必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一課時，是在高二學生學習了三角等學問之后，明顯是對三角學問的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的干脆延長，因而定理本身的應(yīng)用又特別廣泛。依據(jù)實際教學處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次老師通過引導(dǎo)學生對實際問題的探究，并大膽提出猜想；其次層次由猜想入手，帶著疑問，以與特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最終進行簡潔的應(yīng)用。學生通過對隨意三角形中正弦定理的探究、發(fā)覺和證明，感受“視察——試驗——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、擅長思索的品質(zhì)和勇于求真的精神。二、學情分析對普高高二的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等學問，有確定視察分析、解決問題的實力，但對前后學問間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有確定難度，因此思維敏捷性受到制約。依據(jù)以上特點，老師恰當引導(dǎo)，提高學生學習主動性，多加以前后學問間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學生干脆參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。三、設(shè)計思想：本節(jié)課采納探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學生獨立自主和合作溝通為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學情境，以“正弦定理的發(fā)覺和證明”為基本探究內(nèi)容，為學生供應(yīng)充分自由表達、質(zhì)疑、探究、探討問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在學問的形成、發(fā)展過程中綻開思維，逐步培育學生發(fā)覺問題、探究問題、解決問題的實力和創(chuàng)建性思維的實力。四、教學目標：1．讓學生從已有的幾何學問動身,通過對隨意三角形邊角關(guān)系的探究，共同探究在隨意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學生通過視察，試驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，駕馭正弦定理的內(nèi)容與其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2．通過對實際問題的探究，培育學生視察問題、提出問題、分析問題、解決問題的實力，增加學生的協(xié)作實力和溝通實力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培育創(chuàng)建性思維的實力。3．通過學生自主探究、合作溝通，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)覺，培育學生勇于探究、擅長發(fā)覺、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增加學習的勝利心理，激發(fā)學習數(shù)學的愛好。4．培育學生合情合理探究數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等學問間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學重點與難點教學重點：正弦定理的發(fā)覺與證明；正弦定理的簡潔應(yīng)用。教學難點：正弦定理的猜想提出過程。教學打算：制作多媒體課件，學生打算計算器，直尺，量角器。六、教學過程：（一）結(jié)合實例，激發(fā)動機 師生活動： 老師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后接著向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，假如船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？學生：思索提出測量角A，C老師：若已知測得，，要計算A、B兩地距離，你（圖1）有方法解決嗎？ 學生：思索溝通，畫一個三角形，使得為6cm，，，量得距離約為4.9cm，利用三角形相像性質(zhì)可知AB約為490m。老師：對，很好，在初中，我們學過相像三角形，也學過解直角三角形，大家還記得嗎？ 師生：共同回憶解直角三角形，=1\*GB3①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊與兩個角。=2\*GB3②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊與第三個角。。 老師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？ 學生：思索，溝通，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學生闡述，老師板書。解：過作于（圖2）在中，（圖2），在中，老師：表示對學生贊許，則剛才解決問題的過程中，若，，能否用、、表示呢？老師：引導(dǎo)學生再視察剛才解題過程。學生：發(fā)覺， 老師：引導(dǎo) ，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)覺什么？學生：發(fā)覺即然有，則也有，。老師：引導(dǎo) ，，，我們習慣寫成對稱形式，，，因此我們可以發(fā)覺，是否隨意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？設(shè)計意圖：愛好是最好的老師。假如一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著勝利的一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學生思維，激發(fā)學生的求知欲，引導(dǎo)學生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個揣測性的結(jié)論——猜想，培育學生從特殊到一般思想意識，培育學生創(chuàng)建性思維實力。（二）數(shù)學試驗，驗證猜想老師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對應(yīng)角的正弦值分別為，，，引導(dǎo)學生考察，，的關(guān)系。（學生回答它們相等）（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對應(yīng)角的正弦值分別為，，1；（學生回答它們相等）（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：：2，對應(yīng)角的正弦值分別為，，1。（學生回答它們相等）（圖3）（圖3） 老師：對于呢？BaACBaACcb(圖4)則有，，又,則SHAPE從而在直角三角形ABC中， 老師：則隨意三角形是否有呢？學生按事先支配分組，出示試驗報告單，讓學生閱讀試驗報告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（假如學生沒有問題，老師讓學生動手計算，附試驗報告單。） 學生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過試驗數(shù)據(jù)計算，比較、、的近似值。 老師：借助多媒體演示隨著三角形隨意變換，、、值仍舊保持相等。 我們猜想：==設(shè)計意圖：讓學生體驗數(shù)學試驗，激起學生的新奇心和求知欲望。學生自己進行試驗，體會到數(shù)學試驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動：老師：我們雖然經(jīng)驗了數(shù)學試驗，多媒體技術(shù)支持，對隨意的三角形，如何用數(shù)學的思想方法證明呢？前面探究過程對我們有沒有啟發(fā)？學生分組探討，每組派一個代表總結(jié)。（以下證明過程，依據(jù)學生回答狀況進行敘述） 學生：思索得出=1\*GB3①在中，成立，如前面檢驗。=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖5設(shè)，，作：，垂足為在中，（圖5）在中，（圖5）同理，在中，=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，，作交的延長線于（圖6） 在中，（圖6） 在中， 同銳角三角形證明可知 老師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學生：思索得出，分析圖形（圖7），對于隨意△ABC，由初中所學過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，，==等式中均除以后可得，即。老師邊分析邊引導(dǎo)學生，同時板書證明過程。(圖7)AB(圖7)ABCDEFbac（圖7）在剛才的證明過程中大家是否發(fā)覺三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學生：得到三角形面積公式 老師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、、都等于同一個比值，則它們也相等，這個究竟有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8） 學生：在前面的檢驗中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。（圖8）證明：連續(xù)并延長交圓于，在中，即同理可證：， 老師：從剛才的證明過程中,，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他學問來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學過，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為親密的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？學生：思索（聯(lián)系作高的思想）得出： 在銳角三角形中，，作單位向量垂直于，（圖9） （圖9） 即 同理： 對于鈍角三角形，直角三角形的狀況作簡潔交代。 老師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有愛好的同學回家再探究。設(shè)計意圖：經(jīng)驗證明猜想的過程，進一步引導(dǎo)啟發(fā)學生利用已有的數(shù)學學問論證猜想，力圖讓學生體驗數(shù)學的學習過程。（四）利用定理，解決引例師生活動：老師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學生：立刻得出 在中， （五）了解解三角形概念設(shè)計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成學問的完整性老師：一般地，把三角形的三個角、、和它們的對邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設(shè)計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的學問，新的定理，解決問題更便利，更簡潔，激發(fā)學生不斷探究新學問的欲望。（六）運用定理，解決例題師生活動：老師：引導(dǎo)學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。 學生：探討正弦定理可以解決的問題類型： =1\*GB3①假如已知三角形的隨意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如； =2\*GB3②假如已知三角形隨意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學生思索回答解題思路，老師板書，讓學生思索主要是突出主體，老師板書的目的是規(guī)范解題步驟。 例1：在中，已知，，，解三角形。分析“已知三角形中兩角與一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。 例2：在中，已知，，，解三角形。例2的處理，目的是讓學生駕馭分類探討的數(shù)學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充溝通 學生：反饋練習（教科書第5頁的練習） 用實物投影儀展示學生中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱忱和動力，使學生體驗到勝利的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要探討”的主動學習。（七）嘗試小結(jié)：老師：提示引導(dǎo)學生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學生：思索溝通，歸納總結(jié)。師生：讓學生嘗試小結(jié)，老師與時補充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）與其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角與一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。（3）分類探討的數(shù)學思想。設(shè)計意圖：通過學生的總結(jié)，培育學生的歸納總結(jié)實力和語言表達實力。（八）作業(yè)設(shè)計作業(yè)：第10頁[習題1.1]A組第1、2題。思索題：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，視察解的狀況并說明出現(xiàn)一解，兩解，無解的緣由。課外鏈接：課后通過查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜尋，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展與應(yīng)用（相關(guān)）七、設(shè)計思路：本節(jié)課，學生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在老師預(yù)設(shè)的思路中，學生主動主動參與一個個相關(guān)聯(lián)的探究活動過程，通過“視察——試驗——歸納——猜想——證明”的數(shù)學思想方法發(fā)覺并證明定理，讓學生經(jīng)驗了學問形成的過程，感受到創(chuàng)新的歡樂，激發(fā)學生學習數(shù)學的愛好。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學情境，促使學生去思索問題，去發(fā)覺問題，讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。結(jié)合實例，激發(fā)動機數(shù)學源于現(xiàn)實，從學生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學生學習的愛好，引導(dǎo)啟發(fā)學生利用已有的學問解決新的問題，方法一通過相像三角形相像比相等進行計算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學在解決問題中發(fā)覺新學問，提出猜想，使學生在視察、試驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。2、數(shù)學試驗，驗證猜想通過特例檢驗，讓學生動手試驗，提高了學生試驗操作、分析思索和抽象概括的能，激發(fā)學生的新奇心和求知欲望，體會到數(shù)學試驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。3、證明猜想，得出定理引導(dǎo)啟發(fā)學生從角度進行證明定理，展示自己的學問，培育學生解決問題的實力，增加學習的愛好，愛好，在學問的形成、發(fā)展過程中綻開思維，培育推理的意識。附一：試驗報告單組長: 組員：試驗?zāi)康奶接懭切沃懈鬟吅退鼘堑恼抑档谋?，，)是否相等。試驗器材計算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統(tǒng)一發(fā)）試驗方法畫一個隨意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。試驗內(nèi)容三邊：a= b= c=三角：A= B= C=計算：= = =（精確到小數(shù)點后兩位）結(jié)論：福安一中陳楨仔林旭點評：本節(jié)定理教學課，老師把重點放在定理的發(fā)覺與證明上，符合新課標重視過程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學只留意結(jié)論的傾向。首先，利用解決一個可測量兩角一對邊，求另一對邊的實際問題引入，在解決實際問題中，引導(dǎo)學生發(fā)覺“三角形三邊與其對應(yīng)角的正弦值的比相等”的規(guī)律；通過對特殊三角形的驗證，大膽猜想對隨意三角形成立；接著證明白這個定理。在課堂上展示了定理的發(fā)覺過程，使學生感受到創(chuàng)新的歡樂，激發(fā)學生學習數(shù)學的愛好，同時讓學生體驗了“視察—試驗—歸納—猜想—證明”的數(shù)學思想方法，經(jīng)驗了學問形成的過程，符合新課標重視過程與方法的理念。其次，在解決引例中的測量問題時利用用初中相像三角形學問、正弦定理的不同證法（轉(zhuǎn)化為直角三角形、協(xié)助以三角形外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了“在已有學問體系的基礎(chǔ)上去建構(gòu)新的學問體系”的理念，加強了學問間的聯(lián)系，培育了學生思維的敏捷性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。但是，本節(jié)課的教學內(nèi)容還是偏多，在時間安排上要有規(guī)劃，突出重點，刪繁就簡；引入的例題要留意條件更加明確干脆，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，奢侈時間?？傊竟?jié)課有效地采納了探究式教學，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學生獨立自主和合作溝通為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學情境，以“正弦定理的發(fā)覺和證明”為基本探究內(nèi)容，為學生供應(yīng)充分自由表達、質(zhì)疑、探究、探討問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，感受“視察——試驗——猜想——證明——應(yīng)用”等環(huán)節(jié)，教學過程流暢，在學問的形成、發(fā)展過程中綻開思維，逐步培育學生發(fā)覺問題、探究問題、解決問題的實力和創(chuàng)建性思維的實力。20、正弦定理（3）一、教學內(nèi)容分析“正弦定理”是《一般中學課程標準數(shù)學教科書·數(shù)學（必修5）》（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的干脆延拓，也是三角函數(shù)一般學問和平面對量等學問在三角形中的詳細運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學問題與生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要探討正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)覺的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而的確又是學生所關(guān)切的問題。本節(jié)課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復(fù)習鞏固舊學問，使學生駕馭新的有用的學問，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數(shù)學發(fā)覺和創(chuàng)建的歷程，進而培育學生提出問題、解決問題等探討性學習的實力。二、學生學習狀況分析學生在初中已經(jīng)學習了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學習了三角函數(shù)的基礎(chǔ)學問和平面對量的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面對量已形成初步的學問框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎(chǔ)，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關(guān)于隨意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標準》強調(diào)在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數(shù)學在實際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的愛好，也為學習正弦定理供應(yīng)一種親和力與認同感。三、設(shè)計思想培育學生學會學習、學會探究是全面發(fā)展學生實力的重要前提，是中學新課程改革的主要任務(wù)。如何培育學生學會學習、學會探究呢？建構(gòu)主義認為：“學問不是被動汲取的，而是由認知主體主動建構(gòu)的?！边@個觀點從教學的角度來理解就是：學問不是通過老師傳授得到的，而是學生在確定的情境中，運用已有的學習閱歷，并通過與他人（在老師指導(dǎo)和學習伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學模式強調(diào)以學生為中心，視學生為認知的主體，老師只對學生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。本節(jié)“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設(shè)計。四、教學目標1、學問與技能：通過對隨意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探究，駕馭正弦定理的內(nèi)容與其證明方法。2、過程與方法：讓學生從已有的學問動身,共同探究在隨意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學生通過視察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數(shù)學發(fā)覺和創(chuàng)建的歷程。3、情感看法與價值觀：在同等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的溝通、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境。五、教學重點與難點重點：正弦定理的發(fā)覺和推導(dǎo)難點：正弦定理的推導(dǎo)六、教學過程設(shè)計（一）設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資與留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運到正對岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處，請你確定轉(zhuǎn)運方案。已知船在靜水中的速度，水流速度?！驹O(shè)計意圖】培育學生的“數(shù)學起源于生活，運用于生活”的思想意識，同時情境問題的圖形與解題思路均為探討正弦定理做鋪墊。（二）提出問題師：為了確定轉(zhuǎn)運方案，請同學們設(shè)身處地地考慮有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個問題：1、船應(yīng)開往B處還是C處？2、船從A開到B、C分別須要多少時間？3、船從A到B、C的距離分別是多少？4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？5、船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？【設(shè)計意圖】通過小組溝通，供應(yīng)確定的探討學習與情感溝通的時空，培育學生合作學習的實力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發(fā)學生學習的愛好；問題通過老師的篩選，確定探討的方向，體現(xiàn)老師的主導(dǎo)作用。師：誰能幫大家講解，應(yīng)當怎樣解決上述問題？大家經(jīng)過探討達成如下共識：要回答問題1，須要解決問題2，要解決問題2，須要先解決問題3和4，問題3用直角三角形學問可解，所以重點是解決問題4，問題4與問題5是兩個相關(guān)問題。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題4和5。師：請同學們依據(jù)平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生1：船從A開往B的狀況如圖2，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與解直角三角形的學問，可求得船在河水中的速度大小與與的夾角：，用計算器可求得船從A開往C的狀況如圖3，，，易求得，還需求與，我還不知道怎樣解這兩個問題。師：請大家思索，這兩個問題的數(shù)學實質(zhì)是什么？部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！驹O(shè)計意圖】將問題數(shù)學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培育學生的數(shù)學意識。師：請大家探討一下，如何解決這兩個問題？生3：不知道。師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，則圖2與圖3有何異同點？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可干脆利用邊角的關(guān)系求解。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？【設(shè)計意圖】通過老師的問題引導(dǎo)，啟發(fā)學生將問題進行轉(zhuǎn)化，培育學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來探討正弦定理以與用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。生5：能，過點D作于點G（如圖4），，師：很好！實行分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有很多三角形不是直角三角形，假如每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣干脆利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，隨意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【設(shè)計意圖】通過老師對學生的確定評價，創(chuàng)建一個教與學的和諧環(huán)境，既激發(fā)學生的學習愛好，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和老師的共同成長。（三）解決問題1、正弦定理的引入師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)覺解法?？梢砸灾苯侨切螢樘乩仍谥苯侨切沃忻饕幌?。師：假如一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先探討特例，請同學們對直角三角形進行探討，找尋一般三角形的各邊與其對角之間有何關(guān)系？同學們可以參與小組共同探討。（1）學生以小組為單位進行探討；老師視察學生的探討進展狀況或參與學生的探討。（2）展示學生探討的結(jié)果。【設(shè)計意圖】老師參與學生之間的探討，增進師生之間的思維與情感的溝通，并通過老師的指導(dǎo)與視察，與時駕馭學生探討的狀況，為展示學生的探討結(jié)論做打算；同時通過展示探討結(jié)論，強化學生學習的動機，增進學生的勝利感與學習的信念。師：請說出你探討的結(jié)論？生7：師：你是怎樣想出來的？生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊。師：有沒有其它的探討結(jié)論？（依據(jù)實際狀況，引導(dǎo)學生進行分析推斷結(jié)論正確與否，或留課后進一步深化探討。）師：對一般三角形是否成立呢？眾學生：不確定，可以先用詳細例子檢驗，若有一個不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想方法進行嚴格的證明。師：這是個好辦法。則對等邊三角形是否成立呢？生9：成立。師：對隨意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數(shù)學試驗，……【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生的思維逐步形成“情境思索”——“提出問題”——“探討特例”——“歸納猜想”——“試驗探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的實力。2、正弦定理的探究（1）試驗探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導(dǎo)學生視察三角形形態(tài)的變更與三個比值的變更狀況。結(jié)論：對于隨意三角形都成立。【設(shè)計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結(jié)論的相識從感性逐步上升到理性。師：利用上述結(jié)論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結(jié)果是否一樣。生10：（通過計算）與生5的結(jié)果相同。師：假如上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。”的問題就簡潔多了。【設(shè)計意圖】與情境設(shè)置中的問題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡潔應(yīng)用，并強化學生學習探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則須要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形——已驗證；銳角三角形——課堂探究；鈍角三角形——課后證明?！驹O(shè)計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺），設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高，與生5的方法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則，所以，同理可得師：因為要證明的是一個等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件動身，構(gòu)造等量關(guān)系從而達到證明的目的。留意：表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！【設(shè)計意圖】點明此證法的實質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？學生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)探討后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在老師的建議下，學生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是的三條高。則有，，。證法三：如圖7，設(shè)是外接圓的直徑，則，同理可證：【設(shè)計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊與其夾角的三角形面積公式與一并牽出，使學問的產(chǎn)生自然合理。師：前面我們學習了平面對量，能否運用向量的方法證明呢？師：隨意中，三個向量、、間有什么關(guān)系？生12：師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？生13：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。師：在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否隨意？又如何選擇向量生14：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量與三個向量中的一個向量（如向量）垂直，而且使三個項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關(guān)系式。師：還是先探討銳角三角形的情形，按以上思路，請大家詳細試一下，看還有什么問題？老師參與學生的小組探討，同時引導(dǎo)學生留意兩個向量的夾角，最終讓學生通過小組代表作完成了如下證明。證法四：如圖8，設(shè)非零向量與向量垂直。因為，所以即所以，同理可得師：能否簡化證法四的過程？（留有確定的時間給學生思索）師：有什么幾何意義？生15：把移項可得，由向量數(shù)量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。生16：我還有一種證法師：請你到講臺來給大家講一講。（學生16上臺板書自己的證明方法。）證法五：如圖9，作，則與在方向上的投影相等,即故，同理可得師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明白正弦定理，方法特別簡捷明白！【設(shè)計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不簡潔立刻想出來，老師通過設(shè)計一些遞進式的問題賜予適當?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。（四）小結(jié)師：本節(jié)課我們是從實際問題動身，通過猜想、試驗，歸納等思維方法，最終發(fā)覺了正弦定理，并從不同的角度證明白它。本節(jié)課，我們探討問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數(shù)學試驗。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探究過程我們也駕馭了探討問題的一般方法。（五）作業(yè)1、回顧本節(jié)課的整個探討過程，體會學問的發(fā)生過程；2、思索：證法五與證法一有何聯(lián)系？3、思索：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？4、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理?！驹O(shè)計意圖】為保證學生有足夠的時間來完成視察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時間花得少且比較簡潔，這將在下一節(jié)課進行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的打算。七、教學反思為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為學問的“發(fā)覺者”和“創(chuàng)建者”，使教學過程成為學生主動獲得學問、發(fā)展實力、體驗數(shù)學的過程。我想到了“情境——問題”教學模式，即構(gòu)建一個以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境——問題”學習鏈，并依據(jù)上述精神，結(jié)合教學內(nèi)容，詳細做出了如下設(shè)計：①創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《一般中學課程標準數(shù)學教科書·數(shù)學（必修4）》（人教版）其次章習題B組其次題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導(dǎo)學生提出自己關(guān)切的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學問題，解決過渡性問題4與5時須要運用正弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產(chǎn)生進一步探究解決問題的動機。然后引導(dǎo)學生抓住問題的數(shù)學實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角與第三邊。解決這兩個問題須要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標問題，引導(dǎo)學生回到他們所熟識的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后運用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導(dǎo)學生對猜想進行嚴格的邏輯證明?？傊麄€過程讓學生通過自主探究、合作溝通，親身經(jīng)驗了“情境思索”——“提出問題”——“探討特例”——“歸納猜想”——“試驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學生成為正弦定理的“發(fā)覺者”和“創(chuàng)建者”，切身感受了創(chuàng)建的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現(xiàn)。大田一中陳永民點評：本節(jié)課是典型合作探究課，老師先設(shè)計一個實際問題引導(dǎo)學生探討問題解決方案，將方案數(shù)學化，歸納出一類數(shù)學問題“在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊”，順當?shù)匾胄抡n，實現(xiàn)了從“現(xiàn)象”到“本質(zhì)”的飛躍，培育了學生提出問題、分析問題、數(shù)學建模的實力。為尋求解決問題的普遍方法，對三角形的邊角關(guān)系進行探究，在特殊狀況（直角三角形）下得到正弦定理，又在等邊三角形和一般三角形中驗證，堅決了結(jié)論成立的猜想，最終通過嚴格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問題迎仞而解。從而使學生親身經(jīng)驗了“情境思索”—“提出問題”—“探討特例”—“歸納猜想”—“試驗探究”—“理論探究”—“解決問題”—“反思總結(jié)”的歷程，學會探討數(shù)學問題的方法，學生成為正弦定理的“發(fā)覺者”和“創(chuàng)建者”，切身感受了創(chuàng)建的苦和樂。在對詳細的一般三角形驗證成立的過程中，利用《幾何畫板》軟件，不斷變換三角形，視察上式成立，提高了效率，現(xiàn)代教化技術(shù)的運用恰到好處。21、余弦定理一、教學內(nèi)容分析人教版《一般中學課程標準試驗教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元其次課《余弦定理》。通過利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發(fā)學生探究數(shù)學，應(yīng)用數(shù)學的潛能。二、學生學習狀況分析本課之前，學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、向量基本學問和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進一步的相識。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學生已有確定的學習基礎(chǔ)和學習愛好?？傮w上學生應(yīng)用數(shù)學學問的意識不強，創(chuàng)建力較弱，看待與分析問題不深化，學問的系統(tǒng)性不完善，使得學生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有確定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學美時，能夠激發(fā)學生酷愛數(shù)學的思想感情；從詳細問題中抽象出數(shù)學的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去諦視，解決問題是學生學習的一大難點。三、設(shè)計思想新課程的數(shù)學提倡學生動手實踐，自主探究，合作溝通，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗數(shù)學發(fā)覺和創(chuàng)建的歷程，力求對現(xiàn)實世界蘊涵的一些數(shù)學模式進行思索，作出推斷；同時要求老師從學問的傳授者向課堂的設(shè)計者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數(shù)學思維實力，發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學思想方法與數(shù)學的應(yīng)用，激發(fā)學生探究數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學學問的潛能。四、教學目標接著探究三角形的邊長與角度間的詳細量化關(guān)系、駕馭余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過實踐演算運用余弦定理解決“邊、角、邊”與“邊、邊、邊”問題；深化與細化方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)。通過相關(guān)教學學問的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。五、教學重點與難點教學重點是余弦定理的發(fā)覺過程與定理的應(yīng)用；教學難點是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法與余弦定理在應(yīng)用求解三角形時的思路。六、教學過程：教學環(huán)節(jié)合作探究活動學情分析與設(shè)計意圖學問回顧1、一般三角形全等的四種推斷方法是什么？2、三角形的正弦定理內(nèi)容，主要解決哪幾類問題的三角形？回顧舊知，防止遺忘創(chuàng)設(shè)引入你能推斷下列三角形的類型嗎？1、以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c邊長嗎？引導(dǎo)學生從平面幾何、實踐作圖方面進行估計推斷。學生可能比較茫然，幫助學生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。提出問題你能夠有更好的詳細的量化方法嗎？幫助學生從平面幾何、三角函數(shù)、向量學問、坐標法等方面進行分析探討，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學生的主動探討。引導(dǎo)學生從相關(guān)學問入手，選擇簡潔的工具。合作探究ABABC如圖：設(shè)，由三角形法則有同理，讓學生利用相同方法推導(dǎo)，學生對向量學問可能遺忘，留意復(fù)習；在利用數(shù)量積時，角度可能出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學生從錯誤中發(fā)覺問題，鞏固向量學問，明確向量工具的作用。同時，讓學生明確數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。歸納概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。學問歸納比較，發(fā)覺特征，加強識記結(jié)構(gòu)分析視察余弦定理，指明白三邊長與其中一角的詳細關(guān)系，并發(fā)覺a與A，b與B，C與c之間的對應(yīng)表述，同時發(fā)覺三邊長的平方在余弦定理中同時出現(xiàn)使學生明確對應(yīng)關(guān)系，樹立方程思想，解決“邊、角、邊”問題學問聯(lián)系余弦定理的推論：解決“邊、邊、邊”問題方法應(yīng)用怎樣精確地解答引入中的兩個問題？怎樣利用已知條件推斷三角形的形態(tài)？用精確的量化關(guān)系去解決問題，用邊長去推斷三角形形態(tài)，勾股定理是余弦定理特例。學問應(yīng)用例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，求解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精確到1′）應(yīng)用數(shù)學學問求解問題加強計算器的運算功能，同時，鞏固好正弦定理，余弦定理學問，發(fā)覺兩種學問方法在解三角形中的綜合應(yīng)用。學問深化例3：已知△ABC中求c邊長分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。接著深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優(yōu)越于余弦定理。并讓學生初步發(fā)覺“邊、邊、角”問題解法，為下節(jié)學習輔墊。練習檢測1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他望見第一輛車與其次輛車的俯角差等于他望見其次輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與其次輛車的距離與其次輛車的距離之間關(guān)系為（）A：>B：=C：<D：大小不確定2、銳角△ABC中b＝1，c＝2，則a取值為（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在△ABC中若有，你能推斷這個三角形的形態(tài)嗎？若呢？用練習去鞏固所學學問，使學生逐步形成良好的學問結(jié)構(gòu)，加強數(shù)學學問應(yīng)用實力的培育。課堂小結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？2、從本課中你學到了哪些學問和方法？通過學問回顧，使學生各自體會收獲。板書設(shè)計1、推導(dǎo)余弦定理與其推論2、例3、例43、練習指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解學問作業(yè)設(shè)計1、探討余弦定理的其它解法設(shè)計思路。2、第11頁A組3、4題鞏固學問多角度看待問題七、教學反思本課的教學應(yīng)具有承上啟下的目的。因此在教學設(shè)計時既要兼顧前后學問的聯(lián)系，又要使學生明確本課學習的重點，將新舊學問漸漸地融為一體，構(gòu)建比較完整的學問系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當學生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解問題。本課教學設(shè)計力求在型（模型、類型），質(zhì)（實質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達到教學效果。本課之前學生已學習過三角函數(shù)，平面幾何，平面對量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學設(shè)計中抓住前后學問的聯(lián)系，重視數(shù)學思想的教學，加深對數(shù)學概念本質(zhì)的理解，相識數(shù)學與實際的聯(lián)系，學會應(yīng)用數(shù)學學問和方法解決一些實際問題。學生應(yīng)用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)建力不足、看待問題不深化，很大緣由在于學生的學問系統(tǒng)不夠完善。因此本課運用聯(lián)系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思索分析問題、解決問題等多方面對學生進行示范引導(dǎo)，將舊學問與新學問進行重組擬合與提高，幫助學生建立自己的良好學問結(jié)構(gòu)。福建漳平市第一中學李永彬點評：本課是在學生學習了三角函數(shù)、平面幾何、平面對量、正弦定理的基礎(chǔ)上而設(shè)置的教學內(nèi)容，因此本課的教學有較多的處理方法。李老師從解三角形的問題動身，提出解題須要，引發(fā)認知沖突，激起學生的求知欲望，調(diào)動了學生的學習主動性；在定理證明的教學中，引導(dǎo)學生從平面幾何、三角函數(shù)、向量學問、坐標法等方面進行分析探討，留意分析思路，揭示蘊含在證明中的數(shù)學思想，最終引導(dǎo)學生用向量學問推導(dǎo)出公式，在給出余弦定理的三個等式和三個推論之后，又對學問進行了歸納比較，發(fā)覺特征，便于學生識記，同時也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學生的思維層次。命題的應(yīng)用是命題教學的一個重要環(huán)節(jié)，學習命題的重要目的是應(yīng)用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計中的例1、例2是常規(guī)題，讓學生應(yīng)用數(shù)學學問求解問題，鞏固正弦定理、余弦定理學問。例3是已知兩邊一對角，求解三角形問題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了正、余弦定理的聯(lián)系，深化了對兩個定理的理解，培育了解決問題的實力。但李老師在對例3解法的總結(jié)時，指出“能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性?！边@結(jié)論有點片面。本課在繼承了傳統(tǒng)數(shù)學教學模式優(yōu)點，結(jié)合新課程的要求進行改進和發(fā)展，以發(fā)展學生的數(shù)學思維實力為主線，發(fā)揮老師的設(shè)計者，組織者作用，在使學生駕馭學問的同時，幫助學生摸索自己的學習方法。22、等差數(shù)列一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課是《一般中學課程標準試驗教科書·數(shù)學5》（人教版）其次章數(shù)列其次節(jié)等差數(shù)列第一課時。數(shù)列是中學數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不行分；另一方面,學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好打算。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的學問進一步深化和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列供應(yīng)了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。二、學生學習狀況分析我所教學的學生是我校高二（2）班的學生，經(jīng)過一年的學習，大部分學生學問閱歷已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維實力和演繹推理實力，但也有一部分學生的基礎(chǔ)較弱，學習數(shù)學的愛好還不是很濃，所以我在授課時留意從詳細的生活實例動身，留意引導(dǎo)、啟發(fā)、探討和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維實力的進一步發(fā)展。三、設(shè)計思想1．教法⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學生對學問進行主動建構(gòu)；有利于突出重點，突破難點；有利于調(diào)動學生的主動性和主動性，發(fā)揮其創(chuàng)建性。⑵分組探討法：有利于學生進行溝通，與時發(fā)覺問題，解決問題，調(diào)動學生的主動性。⑶講練結(jié)合法：可以與時鞏固所學內(nèi)容，抓住重點，突破難點。2．學法引導(dǎo)學生首先從四個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設(shè)置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種實力的同學引導(dǎo)相識多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時，留出“空白”，讓學生去聯(lián)想、探究，同時激勵學生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和須要解決的問題弄清。四、教學目標通過本節(jié)課的學習使學生能理解并駕馭等差數(shù)列的概念，能用定義推斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學生了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程與思想，會求等差數(shù)列的公差與通項公式，能在解題中敏捷應(yīng)用，初步引入“數(shù)學建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\用；并在此過程中培育學生視察、分析、歸納、推理的實力，在領(lǐng)悟函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把探討函數(shù)的方法遷移來探討數(shù)列，培育學生的學問、方法遷移實力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的實力。在解決問題的過程中培育學生主動探究、勇于發(fā)覺的求知精神；使學生相識事物的變更形態(tài)，養(yǎng)成細心視察、細致分析、擅長總結(jié)的良好思維習慣。并通過確定的實例激發(fā)同學們的民族驕傲感和愛國熱忱。五、教學重點與難點重點：①等差數(shù)列的概念。②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程與應(yīng)用。難點：①理解等差數(shù)列“等差”的特點與通項公式的含義。②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：等差數(shù)列概念的理解與由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學過程教學環(huán)節(jié)情境設(shè)計和學習任務(wù)學生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情景上節(jié)課我們學習了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教化貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都須要用到有關(guān)數(shù)列的學問來解決。今日我們就先學習一類特殊的數(shù)列。傾聽課堂引入探究探討由學生視察分析并得出答案：在現(xiàn)實生活中，我們常常這樣數(shù)數(shù)，從0起先，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，___,___,___,___,…2000年，在澳大利亞悉尼實行的奧運會上，女子舉重被正式列為競賽項目。該項目共設(shè)置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。假如一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。則從起先放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。依據(jù)單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。則依據(jù)單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360。視察分析，發(fā)表各自的看法引向課題發(fā)覺規(guī)律思索：同學們視察一下上面的這四個數(shù)列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③10072，10144，10216，10288，10360④看這些數(shù)列有什么共同特點呢？視察分析并得出答案:引導(dǎo)學生視察相鄰兩項間的關(guān)系，得到：對于數(shù)列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數(shù)列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數(shù)列③，從第2項起，每一項與前一項的差都等于-2.5；對于數(shù)列④，從第2項起，每一項與前一項的差都等于72；由學生歸納和概括出，以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)的特點）。通過分析，激發(fā)學生學習的探究學問的愛好，引導(dǎo)揭示數(shù)列的共性特點?？偨Y(jié)提高[等差數(shù)列的概念]對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學們依據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個定義：等差數(shù)列：一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。則對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。學生細致閱讀課本相關(guān)概念，找出關(guān)鍵字。通過學生自己閱讀課本，找出關(guān)鍵字，提高學生的閱讀水平和思維概括實力，學會抓重點。提問：假如在與中間插入一個數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，則A應(yīng)滿意什么條件？由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數(shù)列，則由定義可以知道：A-a=b-A所以就有讓學生參與到學問的形成過程中，獲得數(shù)學學習的成就感。由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡潔的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。不難發(fā)覺，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項?？磥?，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則深化探究，得到更一般化的結(jié)論引領(lǐng)學習更深化的探究，提高學生的學習水平?？偨Y(jié)提高[等差數(shù)列的通項公式]對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內(nèi)容。⑴、我們是通過探討數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學們依據(jù)通項公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公式。由學生經(jīng)過分析寫出通項公式：①這個數(shù)列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是②這個數(shù)列的第一項是48，第2項是53（=48+5），第3項是58（=48+5×2），第4項是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是③這個數(shù)列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第3項是13（=18-2.5×2），第4項是10.5（=18-2.5×3），第5項是8（=18-2.5×4），第6項是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是④這個數(shù)列的第一項是10072，第2項是10144（=10172+72），第3項是10216（=10072+72×2），第4項是10288（=10072+72×3），第5項是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是學會發(fā)覺規(guī)律，并加以總結(jié)。⑵、則，假如隨意給了一個等差數(shù)列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？引導(dǎo)學生依據(jù)等差數(shù)列的定義進行歸納：所以……引導(dǎo)學生進行理性分析與推導(dǎo)，從而得出公式?？偨Y(jié)提高思索：則通項公式究竟如何表達呢？……進一步的分析。得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項和公差d，則這個等差數(shù)列的通項就可以表示出來了。思索，并發(fā)表各自的看法。讓學生有自主思索的時空。應(yīng)用鞏固例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項.⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？假如是，是第幾項？讓兩個學生分別對這兩小題加以分析。讓學生參與課堂。分析：⑴要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還須要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；⑵這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要推斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿意該數(shù)列的通項公式，并且須要留意的是，項數(shù)是否有意義。解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。例題評述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關(guān)于、、d、n（獨立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來推斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項，當推斷是第幾項的項數(shù)時還應(yīng)看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，假如不是正整數(shù)，則它就不是數(shù)列中的項。傾聽老師點評通過老師點評，提高學生對關(guān)鍵問題的認知水平。隨堂練習：課本45頁“練習”第1題；完成練習講練結(jié)合，有利提高學生的學問應(yīng)用水平例2．某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。假如某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，須要支付多少車費？解：依據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客須要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計算車費.令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。則當出租車行至14km處時，n=11，此時須要支付車費答：須要支付車費23.2元。學以致用，將所學學問應(yīng)用到詳細生活中去，加深對概念的理解。例題評述：這是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個簡潔應(yīng)用，要學會從實際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的學問解決實際問題。傾聽老師點評通過老師點評，提高學生對關(guān)鍵問題的認知水平。隨堂練習：課本45頁“練習”第2題；完成練習講練結(jié)合，有利提高學生的學問應(yīng)用水平例3已知數(shù)列的通項公式為其中p、q為常數(shù)，且p≠0，則這個數(shù)列確定是等差數(shù)列嗎？分析思索，然后分組探討，讓兩組學生代表發(fā)表自己的見解。培育學生分析問題的實力，在小組探討中提高組長的組織與歸納組內(nèi)成員想法的實力。分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n＞1）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。解：取數(shù)列中的隨意相鄰兩項（n＞1），求差得它是一個與n無關(guān)的數(shù).所以是等差數(shù)列。課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少？這個數(shù)列的首項公差。由此我們可以知道對于通項公式是形如的數(shù)列，確定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.例題評述：通過這個例題我們知道推斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：假如一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，則這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。對所得結(jié)論進行更深化一步的探究，激發(fā)學生的學習愛好。探究探討引導(dǎo)學生動手畫圖探討完成以下探究：⑴在直角坐標系中，畫出通項公式為的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點？⑵在同一個直角坐標系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)覺了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。分析：⑴n為正整數(shù)，當n取1，2，3，……時，對應(yīng)的可以利用通項公式求出。經(jīng)過描點知道該圖象是勻稱分布的一群孤立點；⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)覺數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應(yīng)的點的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應(yīng)的點的集合。該處還可以引導(dǎo)學生從等差數(shù)列中的p的幾何意義去探究。學生動手畫圖，并進行學習小組探討，發(fā)表見解。通過學生動手作圖，并加以對比，讓學生體會數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。課堂小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：①等差數(shù)列定義：即(n≥2)②等差數(shù)列通項公式：(n≥1)推導(dǎo)出公式：以學習小組為單位，在學習小組中，各自歸納自己對這堂課的收獲，后由小組代表總結(jié)歸納。學生自己小結(jié)，使學生對自己所學學問有更深刻的相識。評價設(shè)計1、已知是等差數(shù)列.⑴是否成立？呢？為什么？⑵是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？2、已知等差數(shù)列的公差為d.求證：作業(yè)是課堂的持續(xù)，除了檢驗學生對本節(jié)課學問的理解程度，還在于引導(dǎo)學生對本課學問的進一步探究，讓學生在更大的深度與廣度之間進行思索。七、教學反思本節(jié)課通過生活中一系列的實例讓學生視察，從而得出等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學會求等差數(shù)列的公差與通項公式，培育了學生視察、分析、歸納、推理的實力。充分體現(xiàn)了學生做數(shù)學的過程，使學生對等差數(shù)列有了從感性到理性的相識過程，也使本節(jié)課的三維目標真正落到實處。福州金橋高級中學林岳水點評：本設(shè)計從生活中的數(shù)列模型，如舉重級別、水庫水位、儲蓄的本息計算等問題引入，進而提出有待探究的問題，這有助于發(fā)揮學生學習的主動性。在探究的過程中，學生通過分析、視察，逐步抽象概括得出等差數(shù)列定義，強化了由詳細到抽象，由特殊到一般的思維過程。本課各環(huán)節(jié)的設(shè)計環(huán)環(huán)相扣、簡潔明白、重點突出，引導(dǎo)分析細致、到位、適度。如：推斷某數(shù)列是否成等差數(shù)列，這是促進概念理解的好素材；又如：把通項公式與一次函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，利用函數(shù)這一“上位”概念，來“同化”等差數(shù)列的概念，體現(xiàn)函數(shù)思想；還有讓學生經(jīng)驗列表、畫圖象的過程，從“形”的角度，感受函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系；此外，用方程的思想指導(dǎo)等差數(shù)列基本量的運算等等。學生在經(jīng)驗過程中，加深了對概念的理解和鞏固。本節(jié)課教學體現(xiàn)了課堂教學從“灌輸式”到“引導(dǎo)發(fā)覺式”的轉(zhuǎn)變，以老師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充綻開教學，總結(jié)科學合理的學問體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率。教學手段和教學方法的選擇合理有效，體現(xiàn)了新課程所提倡的“培育學生主動主動，勇于探究的學習方式”。值得商討的問題，在等差數(shù)列中，對于隨意正整數(shù)，若則這一性質(zhì)的在第一課時提出是否不合時宜，并且只是這樣蜻蜒點水是否忽視了其重要性。23、等差數(shù)列的前n項和一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課教學內(nèi)容是《一般中學課程標準試驗教科書·數(shù)學（5）》（人教A版）中其次章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項和”（第一課時）．本節(jié)課主要探討如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項和以與該求和公式的應(yīng)用．等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中常常遇到的一類問題．同時，求數(shù)列前n項和也是數(shù)列探討的基本問題，通過對公式推導(dǎo)，可以讓學生進一步駕馭從特殊到一般的探討問題方法．二、學生學習狀況分析在本節(jié)課之前學生已經(jīng)學習了等差數(shù)列的通項公式與基本性質(zhì)，也對高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學供應(yīng)了基礎(chǔ)；同時學生已有了函數(shù)學問，因此在教學中可適當滲透函數(shù)思想．高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有確定的距離，如何從首尾配對法引出倒序相加法，這是學生學習的障礙．三、設(shè)計思想建構(gòu)主義學習理論認為，學習是學生主動主動地建構(gòu)學問的過程，因此，應(yīng)當讓學生在詳細的問題情境中經(jīng)驗學問的形成和發(fā)展，讓學生利用自己的原有認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的學問與閱歷，自主地在老師的引導(dǎo)下促進對新學問的建構(gòu)．在教學過程中，依據(jù)教學內(nèi)容，從介紹高斯的算法起先，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項和的求法．通過設(shè)計一些從簡潔到困難，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學生綻開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思索、學會學習．同時依據(jù)我校的特點，為了促進成果優(yōu)秀學生的發(fā)展，還設(shè)計了選做題和探究題，進一步培育優(yōu)秀生用函數(shù)觀點分析、解決問題的實力，達到了分層教學的目的．四、教學目標1.理解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程；駕馭并能嫻熟運用等差數(shù)列前n項和公式；了解倒序相加法的原理；2.通過公式的推導(dǎo)過程，體驗從特殊到一般的探討方法，滲透函數(shù)思想與方程（組）思想，培育學生視察、歸納、反思的實力；通過小組探討學習，培育學生合作溝通、獨立思索等良好的特性品質(zhì)．五、教學重點和難點本節(jié)教學重點是探究并駕馭等差數(shù)列前n項和公式，學會用公式解決一些實際問題；難點是等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)思路的獲得．六、教學過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情景，喚起學生學問閱歷的感悟和體驗世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳聞陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？體展示三角形圖案）[設(shè)計意圖]情境學習理論認為：數(shù)學學習總是與確定的學問背景，即“情境”相聯(lián)系．從實際問題入手，圖中蘊含算數(shù)，能激發(fā)學生學習新學問的愛好，并且可引導(dǎo)學生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊．[學問鏈接]高斯，德國聞名數(shù)學家，被譽為“數(shù)學王子”。200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋…+100＝？據(jù)說，當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法快速算出了正確答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.[學情預(yù)設(shè)]高斯的算法蘊涵著求等差數(shù)列前n項和一般的規(guī)律性．教學時，應(yīng)給學生供應(yīng)充裕的時間和空間，讓學生自己去視察、探究發(fā)覺這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律．學生對高斯的算法是熟識的，知道采納首尾配對的方法來求和，但估計他們對這種方法的相識可能處于記憶階段，為了促進學生對這種算法的進一步理解，設(shè)計了以下三道由易到難的問題．（二）由易到難，在自主探究與合作中學習問題1圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？該題組織學生分組探討，在合作中學習，并把小組發(fā)覺的方法一一呈現(xiàn)．[學情預(yù)設(shè)]學生可能出現(xiàn)以下求法方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26以上方法事實上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個項問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個項求解，老師應(yīng)進行充分確定與表揚．[設(shè)計意圖]這是求奇數(shù)個項和的問題，若簡潔地摹仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對的問題，借此滲透化歸思想．問題2：求圖案中從第1層到第n層（1＜n＜100，n∈N*）共有多少顆寶石？[學情預(yù)設(shè)]學生通過激烈的探討后，發(fā)覺n為奇數(shù)時不能配對，可能會分n為奇數(shù)、偶數(shù)的狀況分別求解，老師如何引導(dǎo)學生避開探討成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵．[設(shè)計意圖]從求確定的前n個正整數(shù)之和到求一般項數(shù)的前n個正整數(shù)之和，讓學生領(lǐng)悟從特殊到一般的探討方法，旨在讓學生對“首尾配對求和”這一算法的改進．啟發(fā)：（多媒體演示）如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個全等的三角形與原圖補成平行四邊形．[設(shè)計意圖]借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學生記憶深處的東西，并為倒序相加法的出現(xiàn)供應(yīng)了一個干脆的模型．通過以上啟發(fā)學生再自主探究，信任簡潔得出解法：∵1+2+3+…（n－1）+nn+（n－1）+（n－2）+…+2+1____________________________________________________________________(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)∴1+2+3+…+n=問題3：在公差為d的等差數(shù)列{an}中，定義前n項和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？由前面的大量鋪墊，學生應(yīng)簡潔得出如下過程：∵Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n－1)d]Sn=an+(an－d)+（an－2d）+…+[an－(n－1)d]∴(公式1)組織學生探討：在公式1中若將an=a1+（n－1）d代入又可得出哪個表達式即：（公式2）（三）設(shè)置典例，促進學生對公式的應(yīng)用對于以上兩個公式，初學的學生在解決一些問題時，往往不知道該如何選?。蠋煈?yīng)通過適當?shù)睦右龑?dǎo)學生對這兩個公式進行分析，依據(jù)公式各自的特點，幫助學生恰當?shù)剡x擇合適的公式．例1為了參與冬季運動會的5000m長跑競賽，某同學給自己制定了7天的訓(xùn)練支配（單位：m）如下表：565000問這個同學7天一共將跑多長的距離？[設(shè)計意圖]該例題是將課本P53習題2.3A組第3題改編成表格形式，可以熬煉學生處理數(shù)據(jù)信息的實力和選用公式的實力。學生可以從首項、末項、項數(shù)動身，選用公式1；也可以從首項、公差、項數(shù)動身，選用公式2，通過兩種方法的比較，引導(dǎo)學生在解題時留意選擇適當?shù)墓?，以便于計算．?已知等差數(shù)列5，4，3，…求(1)數(shù)列｛an｝的通項公式；(2)數(shù)列｛an｝的前幾項和為？(3)Sn的最大值為多少？并求出此時相應(yīng)的n的值。[設(shè)計意圖]通項公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個基本元素，假如已知其中三個，就可求其余兩個，主要是訓(xùn)練學生的方程（組）思想。第（3）小題是讓學生初步接觸用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ)．[學問鏈接]（1）由若令可知當時，點是在常數(shù)項為0的二次函數(shù)圖象上，可由二次函數(shù)的學問解決的最值問題；（2）若數(shù)列的前n項和（），則數(shù)列確定是等差數(shù)列；（3）由，可知，點在直線上；（4）在等差數(shù)列中，當時，最大，當時，最小。（四）反饋調(diào)控，實現(xiàn)學生對學問的駕馭練習1已知等差數(shù)列｛an｝的前10項和是310，前20項的和是1220，求前n項和Sn.練習2等差數(shù)列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，n=8，求公差d與前n項和Sn.選做題已知函數(shù)f（x）=，則f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值為[設(shè)計意圖]分層練習使學生在完成必修教材基本任務(wù)的同時，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得勝利的喜悅，看到自己的潛能，從而實現(xiàn)“以人為本”的教化理念．（五）回顧反思，深化學問組織學生分組共同反思本節(jié)課的教學內(nèi)容與思想方法，小組之間相互補充完成課堂小結(jié)，實現(xiàn)對等差數(shù)列前n項和公式的再次深化．1.從特殊到一般的探討方法；2.體會倒序相加的算法，駕馭等差數(shù)列的兩個求和公式，領(lǐng)悟方程（組）思想；3.前n項和公式的函數(shù)意義4、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項和公式；[學問鏈接]（六）布置作業(yè)1.課本P52習題2．3，第1題（1）（3），第2題（3）（4），第5題2.探究題（1）數(shù)列{}的前n項和=+++…+，求；（2）若公差為d(d≠0）的等差數(shù)列{}中，=+++…+，你能否由題（1）的啟發(fā)，得到的表達式？七、教學反思“等差數(shù)列前n項和”的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和．該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進一步促進學生對等差數(shù)列性質(zhì)的理解，而且該推導(dǎo)過程體現(xiàn)了人類探討、解決問題的一般思路．本節(jié)課教學過程的難點在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路．為了突破這一難點，在教學中采納了以問題驅(qū)動的教學方法，設(shè)計的三個問題體現(xiàn)了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再試圖運用這一方法解決一般問題．在教學過程中，通過老師的層層引導(dǎo)、學生的合作學習與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了．德化第一中學陳麗真點評本節(jié)課以故事引課，增加學生的新奇心，激發(fā)學生的學習欲望和熱忱。以問題為紐帶，通過三個問題組織學生探討，由特殊（自然數(shù)的前51項和）到一般（自然數(shù)的前幾項和），再到一類（等差數(shù)列前幾項和），按部就班。通過類比Causs配對求和方法，借助幾何直觀，啟發(fā)學生獨立思索，探討溝通，對問題進行層層遞進的探究，使學生從不同的思維角度駕馭了等差數(shù)列的前幾項和公式，從中深刻領(lǐng)悟推導(dǎo)過程所蘊涵的邏輯推理方法和數(shù)學思維方法，培育了學生思維的深刻性、尖銳性和批判性。通過精選例題，分層次練習，使學生既鞏固了學問又形成了技能。在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培育學生自主學習、合作學習的學習習慣，也培育了學生勇于探究、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。必需指出的是，在用Causs配對法得到前幾項和公式后，如能對此方法做更深化分析，指出其實質(zhì)是等差數(shù)列的重要性質(zhì)——等距性（即∈N,m+n=k+l,則am+an=a+a）的應(yīng)用，在作業(yè)中的探究題中如能加上：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求sn=a1a2+a2a3+…+anan+1則可得到一類問題（由等差連續(xù)項或連續(xù)項倒數(shù)）組成的數(shù)列求和問題的解決，深化學生對相關(guān)問題的理解。24、等比數(shù)列的前n項和一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課選自《一般中學課程標準數(shù)學教科書·數(shù)學（5）》（人教版）其次章第5節(jié)第一課時。從在教材中的地位與作用來：看《等比數(shù)列的前n項和》是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類探討、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)。二、學生學習狀況分析從學生的思維特點看，很簡潔把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是主動因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊狀況，學生往往簡潔忽視，尤其是在后面運用的過程中簡潔出錯。教學對象是剛進入中學的學生，雖然具有確定的分析問題和解決問題的實力，邏輯思維實力也初步形成，但由于年齡的緣由，思維盡管活躍、靈敏，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。三、設(shè)計思想《新課程改革綱要》提出，要“變更課程實施過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，提倡學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培育學生搜集和處理信息實力、獲得新學問的實力、分析和解決問題的實力以與溝通合作的實力”。對這一目標本人認為更加留意培育學生作為學習主體的能動性、獨立性、創(chuàng)建性、發(fā)展性。心理學家探討發(fā)覺，9~22歲的學生正處于創(chuàng)新思維的培育期，中學生正好處于這一關(guān)鍵年齡段，作為數(shù)學老師應(yīng)因勢力導(dǎo)，培育學生的創(chuàng)新思維實力。利用問題探究式的方法對新課加以鞏固理解。在生生、師生溝通的過程中，體現(xiàn)對弱勢學生更多的關(guān)切。四、教學目標理解并駕馭等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題。通過對公式推導(dǎo)方法的探究與發(fā)覺，