量子力學(xué)課件新

量子力學(xué)課件新第1頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（一）近似方法的重要性

前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。如：（1）一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題；（2）線性諧振子問(wèn)題；（3）勢(shì)壘貫穿問(wèn)題；（4）氫原子問(wèn)題。 這些問(wèn)題都給出了問(wèn)題的精確解析解。 然而，對(duì)于大量的實(shí)際物理問(wèn)題，Schrodinger方程能有精確解的情況很少。通常體系的Hamilton量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，量子力學(xué)求問(wèn)題近似解的方法（簡(jiǎn)稱(chēng)近似方法）就顯得特別重要?！?.0引言返回第2頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（二）近似方法的出發(fā)點(diǎn)近似方法通常是從簡(jiǎn)單問(wèn)題的精確解（解析解）出發(fā)，來(lái)求較復(fù)雜問(wèn)題的近似（解析）解。（三）近似解問(wèn)題分為兩類(lèi)（1）體系Hamilton量不是時(shí)間的顯函數(shù)——定態(tài)問(wèn)題1.定態(tài)微擾論；2.變分法。（2）體系Hamilton量顯含時(shí)間——狀態(tài)之間的躍遷問(wèn)題1.與時(shí)間t有關(guān)的微擾理論；2.常微擾。第3頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論返回（一）微擾體系方程（二）態(tài)矢和能量的一級(jí)修正（三）能量的二階修正（四）微擾理論適用條件（五）討論（六）實(shí)例第4頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運(yùn)行的天體物理學(xué)中，計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)。 例如，地球受萬(wàn)有引力作用繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽(yáng)和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個(gè)軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化?？删_求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系Hamilton量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分：（一）微擾體系方程第5頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

H(0)

所描寫(xiě)的體系是可以精確求解的，其本征值En(0)

，本征矢|ψn(0)>滿足如下本征方程：另一部分H’是很小的（很小的物理意義將在下面討論）可以看作加于H(0)

上的微小擾動(dòng)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是如何求解微擾后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整個(gè)體系的Schrodinger方程：當(dāng)H’=0時(shí)，|ψn>=|ψn

(0)>,En=En

(0)

；當(dāng)H’≠0時(shí)，引入微擾，使體系能級(jí)發(fā)生移動(dòng)，由En

(0)→En，狀態(tài)由|ψn

(0)>→|ψn>。為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫(xiě)為：其中λ是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。第6頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因?yàn)镋n、|ψn>都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開(kāi)成λ的冪級(jí)數(shù)：其中En(0),λEn(1),λ2En(1),...分別是能量的0級(jí)近似，能量的一級(jí)修正和二級(jí)修正等；而|ψn

(0)>,λ|ψn

(1)>,λ2|ψn

(2)>,...分別是狀態(tài)矢量0級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正等。代入Schrodinger方程得：乘開(kāi)得：第7頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式:整理后得：上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分別是|ψn(1)>和|ψn(2)>所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級(jí)修正。第8頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢|ψn(0)>和本征能量En(0)來(lái)導(dǎo)出擾動(dòng)后的態(tài)矢|ψn

>和能量En的表達(dá)式。(1)能量一級(jí)修正λEn(1)根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，H(0)的本征矢|ψn(0)>是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開(kāi)，|ψn(1)>也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級(jí)修正展開(kāi)為：akn(1)=<ψk(0)|ψn(1)>代回前面的第二式并計(jì)及第一式得：左乘<ψm(0)|（二）態(tài)矢和能量的一級(jí)修正第9頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四考慮到本征基矢的正交歸一性：考慮兩種情況1.m=n2.m≠n準(zhǔn)確到一階微擾的體系能量：其中能量的一級(jí)修正等于微擾Hamilton量在0級(jí)態(tài)矢中的平均值第10頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）態(tài)矢的一級(jí)修正|ψn(1)>為了求出體系態(tài)矢的一級(jí)修正，我們先利用擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>的歸一化條件證明上式展開(kāi)系數(shù)中ann(1)=0（可以取為0）?；趞ψn>的歸一化條件并考慮上面的展開(kāi)式，證：由于歸一，所以ann

(1)的實(shí)部為0。ann

(1)是一個(gè)純虛數(shù)，故可令ann

(1)=i（為實(shí)）。第11頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四 上式結(jié)果表明，展開(kāi)式中，ann(1)|ψn(0)>項(xiàng)的存在只不過(guò)是使整個(gè)態(tài)矢量|ψn>增加了一個(gè)相因子，這是無(wú)關(guān)緊要的。所以我們可取

=0，即ann(1)=0。這樣一來(lái)，態(tài)矢的一級(jí)近似為：與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|ψn(2)>按|ψn(0)>展開(kāi)：與|ψn(1)>展開(kāi)式一起代入關(guān)于2的第三式（三）能量的二階修正第12頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四左乘態(tài)矢

<ψm(0)|1.當(dāng)m=n時(shí)在推導(dǎo)中使用了微擾矩陣的厄密性正交歸一性第13頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.當(dāng)m≠n時(shí)能量的二級(jí)修正在計(jì)及二階修正后，擾動(dòng)體系能量本征值由下式給出：第14頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四總結(jié)上述，在非簡(jiǎn)并情況下，受擾動(dòng)體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：欲使二式有意義，則要求二級(jí)數(shù)收斂。由于不知道級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的收斂性，我們只能要求級(jí)數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。由此我們得到微擾理論適用條件是：這就是本節(jié)開(kāi)始時(shí)提到的關(guān)于H’

很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時(shí)，由上式計(jì)算得到的一級(jí)修正通常可給出相當(dāng)精確的結(jié)果。（四）微擾理論適用條件第15頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四微擾適用條件表明：（2）|En(0)

–Ek(0)|要大，即能級(jí)間距要寬。例如：在庫(kù)侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)）與量子數(shù)n2成反比，即En=-μZ2e2/22n2(n=1,2,3,...)由上式可見(jiàn)，當(dāng)n大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)（n大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)（n小）的修正。（1）|H’kn|=|<ψk(0)|H’|ψn(0)>|要小，即微擾矩陣元要?。坏?6頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表明擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>可以看成是未擾動(dòng)態(tài)矢|ψk(0)>的線性疊加。（2）展開(kāi)系數(shù)H’kn/(En(0)-Ek(0))表明第k個(gè)未擾動(dòng)態(tài)矢|ψk(0)>對(duì)第n個(gè)擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>的貢獻(xiàn)有多大。展開(kāi)系數(shù)反比于擾動(dòng)前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|ψk(0)>混合的也越強(qiáng)。因此態(tài)矢一階修正無(wú)須計(jì)算無(wú)限多項(xiàng)。（3）由En=En(0)+Hnn可知，擾動(dòng)后體系能量是由擾動(dòng)前第n態(tài)能量En(0)加上微擾Hamilton量H’在未微擾態(tài)|ψn(0)>中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來(lái)能級(jí)上移或下移。（4）對(duì)滿足適用條件微擾的問(wèn)題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級(jí)能量修正H’nn=0就需要求二級(jí)修正，態(tài)矢求到一級(jí)修正即可。（5）在推導(dǎo)微擾理論的過(guò)程中，我們引入了小量λ，令：H’=λH(1)只是為了便于將擾動(dòng)后的定態(tài)Schrodinger方程能夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫(xiě)出，把H(1)

理解為H’

即可，因此在以后討論中，就不再明確寫(xiě)出這一小量。（1）在一階近似下：（五）討論第17頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1.一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場(chǎng)ε作用。電場(chǎng)沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量將Hamilton量分成H0+H’

兩部分，在弱電場(chǎng)下，上式最后一項(xiàng)很小，可看成微擾。（2）寫(xiě)出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)（3）計(jì)算En(1)上式積分等于0是因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)所致。（六）實(shí)例第18頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）計(jì)算能量 二級(jí)修正欲計(jì)算能量二級(jí)修正，首先應(yīng)計(jì)算H’kn矩陣元。利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：對(duì)諧振子有；En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω，代入第19頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由此式可知，能級(jí)移動(dòng)與n無(wú)關(guān)，即與擾動(dòng)前振子的狀態(tài)無(wú)關(guān)。（6）討論：1.電諧振子問(wèn)題亦可在粒子數(shù)表象中求解微擾矩陣元第20頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四計(jì)算二級(jí)修正：代入能量二級(jí)修正公式：2.電諧振子的精確解實(shí)際上這個(gè)問(wèn)題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：第21頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中x’=x–[eε/μω2]，可見(jiàn)，體系仍是一個(gè)線性諧振子。它的每一個(gè)能級(jí)都比無(wú)電場(chǎng)時(shí)的線性諧振子的相應(yīng)能級(jí)低{e2ε2/2μω2}，而平衡點(diǎn)向右移動(dòng)了{(lán)eε/μω2}距離。

由于勢(shì)場(chǎng)不再具有空間反射對(duì)稱(chēng)性，所以波函數(shù)沒(méi)有確定的宇稱(chēng)。這一點(diǎn)可以從下式擾動(dòng)后的波函數(shù)ψn已變成ψn(0),ψn+1(0),ψn-1(0)的疊加看出。例2.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。第22頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：（1）c<<1，可取0級(jí)和微擾Hamilton量分別為：H0是對(duì)角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0級(jí)近似為：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡(jiǎn)并微擾公式得能量一級(jí)修正：能量二級(jí)修正為：第23頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量本征值為：設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開(kāi)：

比較（1）和（2）之解，可知，微擾論二級(jí)近似結(jié)果與精確解展開(kāi)式不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。(2)精確解：第24頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5.2簡(jiǎn)并情況下的微擾理論（一）簡(jiǎn)并微擾理論（二）實(shí)例（三）討論返回第25頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四假設(shè)En(0)是簡(jiǎn)并的，那末屬于H(0)的本征值En(0)有k個(gè)歸一化本征函數(shù)：|n1>,|n2>,......,|nk><n|n>=滿足本征方程：于是我們就不知道在k個(gè)本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個(gè)作為微擾波函數(shù)的0級(jí)近似。所以在簡(jiǎn)并情況下，首先要解決的問(wèn)題是如何選取0級(jí)近似波函數(shù)的問(wèn)題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級(jí)修正。0級(jí)近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個(gè)|n>中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按冪次分類(lèi)得到的方程：共軛方程（一）簡(jiǎn)并微擾理論第26頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)這個(gè)條件，我們選取0級(jí)近似波函數(shù)|ψn(0)>的最好方法是將其表示成k個(gè)|n>的線性組合，因?yàn)榉凑?級(jí)近似波函數(shù)要在|n>(=1,2,...,k)中挑選。|ψn(0)>已是正交歸一化系數(shù)c

由一次冪方程定出左乘<n|得：得：上式是以展開(kāi)系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即第27頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

解此久期方程可得能量的一級(jí)修正En(1)的k個(gè)根：En(1),=1,2,...,k.因?yàn)镋n=En(0)+E(1)n

所以，若這k個(gè)根都不相等，那末一級(jí)微擾就可以將k度簡(jiǎn)并完全消除；若En(1)有幾個(gè)重根，則表明簡(jiǎn)并只是部分消除，必須進(jìn)一步考慮二級(jí)修正才有可能使能級(jí)完全分裂開(kāi)來(lái)。為了確定能量En

所對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，可以把E(1)n

之值代入線性方程組從而解得一組c(=1,2,...,k.)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開(kāi)式就能夠得到相應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)。為了能表示出c

是對(duì)應(yīng)與第

個(gè)能量一級(jí)修正En

(1)的一組系數(shù)，我們?cè)谄渖霞由辖菢?biāo)

而改寫(xiě)成c

。這樣一來(lái)，線性方程組就改寫(xiě)成：第28頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1.氫原子一級(jí)Stark效應(yīng)（1）Stark效應(yīng)氫原子在外電場(chǎng)作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱(chēng)為Stark效應(yīng)。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ(chēng)庫(kù)侖場(chǎng)作用，造成第n個(gè)能級(jí)有n2度簡(jiǎn)并。但是當(dāng)加入外電場(chǎng)后，由于勢(shì)場(chǎng)對(duì)稱(chēng)性受到破壞，能級(jí)發(fā)生分裂，簡(jiǎn)并部分被消除。Stark效應(yīng)可以用簡(jiǎn)并情況下的微擾理論予以解釋。（2）外電場(chǎng)下氫原子Hamilton量取外電場(chǎng)沿z正向。通常外電場(chǎng)強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度小得多，例如,強(qiáng)電場(chǎng)≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場(chǎng)≈1011

伏/米，二者相差4個(gè)量級(jí)。所以我們可以把外電場(chǎng)的影響作為微擾處理。（二）實(shí)例第29頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）H0的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2的情況，這時(shí)簡(jiǎn)并度n2=4。屬于該能級(jí)的4個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)是：第30頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）求H’

在各態(tài)中的矩陣元由簡(jiǎn)并微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾Hamilton量H’

在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：于是:第31頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四欲使上式不為0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：僅當(dāng)Δ=±1,Δm=0時(shí)，H’的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H’12,H’21不等于0。因?yàn)樗缘?2頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（5）能量一級(jí)修正將H’

的矩陣元代入久期方程：解得4個(gè)根：由此可見(jiàn)，在外場(chǎng)作用下，原來(lái)4度簡(jiǎn)并的能級(jí)E2(0)在一級(jí)修正下，被分裂成3條能級(jí)，簡(jiǎn)并部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生時(shí)，原來(lái)的一條譜線就變成了3條譜線。其頻率一條與原來(lái)相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來(lái)頻率。（6）求0級(jí)近似波函數(shù)分別將E2(1)的4個(gè)值代入方程組：得四元一次線性方程組第33頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四E2(1)=E21

(1)=3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級(jí)E2(0)+3eεa0的0級(jí)近似波函數(shù)是：E2(1)=E22(1)=-3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級(jí)E(0)2-3eεa0的0級(jí)近似波函數(shù)是：E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程，得：因此相應(yīng)與E2(0)的0級(jí)近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：第34頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四我們不妨仍取原來(lái)的0級(jí)波函數(shù)，即令：（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處于0級(jí)近似態(tài)ψ1(0),ψ2(0),ψ3(0),ψ4(0),那末，氫原子就好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對(duì)于處在ψ1(0),ψ2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向平行和反平行；而對(duì)于處在ψ3(0),ψ4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向垂直。第35頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2.有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：H=H0+H’， 其中求能級(jí)的一級(jí)近似和波函數(shù)的0級(jí)近似。解：H0的本征值問(wèn)題是三重簡(jiǎn)并的，這是一個(gè)簡(jiǎn)并微擾問(wèn)題。E(1)[(E(1))2-α2]=0解得：E(1)=0,±α.記為：E1(1)=-αE2(1)=0E3(1)=+α故能級(jí)一級(jí)近似：簡(jiǎn)并完全消除(1)求本征能量由久期方程|H’-E(1)I|=0得：第36頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(2)求解0級(jí)近似波函數(shù)將E1(1)=–α代入方程，得：由歸一化條件：則將E2(1)=0代入方程，得：則由歸一化條件：第37頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）新0級(jí)波函數(shù)的正交歸一性1.正交性取復(fù)共厄改記求和指標(biāo)，

，

（三）討論第38頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)應(yīng)于En=En(0)+En(1)和En=En(0)+En(1)的0級(jí)近似本征函數(shù)分別為：由(3)式上式表明，新0級(jí)近似波函數(shù)滿足正交條件。2.歸一性對(duì)于同一能量，即角標(biāo)

=，則上式變?yōu)椋篍q.(3)和Eq.(4)合記之為：由于新0級(jí)近似波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，第39頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）在新0級(jí)近似波函數(shù)|ψn(0)>為基矢的k維子空間中，H’從 而H的矩陣形式是對(duì)角化的。證：上式最后一步利用了Eq.(5)關(guān)系式。所以H’在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表象中是對(duì)角化的。[證畢]因?yàn)镠0在自身表象中是對(duì)角化的，所以在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表象中也是對(duì)角化的。當(dāng)

=

時(shí)，上式給出如下關(guān)系式：也就是說(shuō)，能量一級(jí)修正是H’在新0級(jí)波函數(shù)中的平均值。這一結(jié)論也是預(yù)料之中的事。求解簡(jiǎn)并微擾問(wèn)題，從本質(zhì)上講就是尋找一么正變換矩陣S，使H’從而

H對(duì)角化。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一么正變換矩陣的方法。第40頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例如：前面講到的例2應(yīng)用簡(jiǎn)并微擾論解得的新0級(jí)近似波函數(shù)是：這是新0級(jí)近似波函數(shù)在原簡(jiǎn)并波函數(shù)φii=1,2,3.為基矢所張開(kāi)的子空間中的矩陣表示，即我們求解就是為了尋找一個(gè)么正變換S，使原來(lái)的H=H0+H’

在以φi

為基矢的表象中的表示變到ψ(0)為基矢的表象中，從而使H對(duì)角化。第41頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)表象理論，若ψ(0)在以φi為基矢的表象中的形式由下式給出，則由φ表象到ψ(0)表象的么正變換矩陣為：其逆矩陣H’從φ表象變到ψ(0)表象由下式給出：第42頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5.4變分法返回（一）能量的平均值（二）<H>與E0的偏差和 試探波函數(shù)的關(guān)系（三）如何選取試探波函數(shù)（四）變分方法（五）實(shí)例微擾法求解問(wèn)題的條件是體系的Hamilton量H可分為兩部分其中H0的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解，而H’很小。如果上面條件不滿足，微擾法就不適用。這時(shí)我們可以采用另一種近似方法—變分法。第43頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)體系的Hamilton量H的本征值由小到大順序排列為：E0<E1<E2<......<En<......|ψ0>|ψ1>|ψ2>.........|ψn>......上式第二行是與本征值相應(yīng)的本征函數(shù)，其中E0

、|ψ0>分別為基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。（一）能量的平均值為簡(jiǎn)單計(jì)，假定H本征值是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一完備系，即第44頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)|ψ>是任一歸一化的波函數(shù)，在此態(tài)中體系能量平均值：證：則這個(gè)不等式表明，用任意波函數(shù)|ψ>計(jì)算出的平均值<H>總是大于（或等于）體系基態(tài)的能量，而僅當(dāng)該波函數(shù)等于體系基態(tài)波函數(shù)時(shí)，平均值<H>才等于基態(tài)能量。若|ψ>未歸一化，則插入單位算符第45頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于上述基本原理，我們可以選取很多波函數(shù)；|ψ>→|ψ(1)>,|ψ(2)>,......,|ψ(k)>,......稱(chēng)為試探波函數(shù)，來(lái)計(jì)算其中最小的一個(gè)就最接近基態(tài)能量E0，即如果選取的試探波函數(shù)越接近基態(tài)波函數(shù)，則H的平均值就越接近基態(tài)能量E0。這就為我們提供了一個(gè)計(jì)算基態(tài)能量本征值近似值的方法。使用此方法求基態(tài)能量近似值還需要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）試探波函數(shù)|ψ>與|ψ0>之間的偏差和平均值 <H>與E0之間偏差的關(guān)系；（2）如何尋找試探波函數(shù)。第46頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

由上面分析可以看出，試探波函數(shù)越接近基態(tài)本征函數(shù)，<H>

就越接近基態(tài)能量E0.那末，由于試探波函數(shù)選取上的偏差[|ψ>-|ψ0>]會(huì)引起[<H>-E0

]的多大偏差呢？ 為了討論這個(gè)問(wèn)題，我們假定已歸一化的試探波函數(shù)為：其中α是一常數(shù)，|ψ>是任一波函數(shù)，滿足|ψ0>所滿足的同樣的邊界條件。顯然|>有各種各樣的選取方式，通過(guò)引入α|>就可構(gòu)造出在|ψ0>附近的有任意變化的試探波函數(shù)。能量偏差：（二）<H>與E0

的偏差 和試探波函數(shù)的關(guān)系第47頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[結(jié)論]上述討論表明，對(duì)本征函數(shù)附近的一個(gè)任意小的變化，本征能量是穩(wěn)定的。因此，我們選取試探波函數(shù)的誤差不會(huì)使能量近似值有更大的誤差。這也就是說(shuō)，是小量，|ψ>與|ψ0>很接近，則<H>與E0更接近。當(dāng)且僅當(dāng)|ψ>=|ψ0>時(shí)，才有<H>=E0可見(jiàn)，若是一小量，即波函數(shù)偏差[|ψ>-|ψ0>]=|>是一階小量，那末是二階小量。第48頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四試探波函數(shù)的好壞直接關(guān)系到計(jì)算結(jié)果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒(méi)有一個(gè)固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的直覺(jué)去猜測(cè)。（1）根據(jù)體系Hamilton量的形式和對(duì)稱(chēng)性推測(cè) 合理的試探波 函數(shù)；（2）試探波函數(shù)要滿足問(wèn)題的邊界條件；（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應(yīng)包含一個(gè)或 多個(gè)待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱(chēng)為變分參數(shù)；（4）若體系Hamilton量可以分成兩部分H=H0+H1， 而H0 的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解 可作為體系的試探波函數(shù)。（三）如何選取試探波函數(shù)第49頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例：一維簡(jiǎn)諧振子試探波函數(shù)一維簡(jiǎn)諧振子Hamilton量：其本征函數(shù)是：下面我們根據(jù)上面所述原則構(gòu)造試探波函數(shù)。方法I：試探波函數(shù)可寫(xiě)成：顯然，這不是諧振子的本征函數(shù)，但是它是合理的。1.因?yàn)橹C振子勢(shì)是關(guān)于x=0點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，我們的 試探波函數(shù)也是關(guān)于x=0點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的；2.滿足邊界條件，即當(dāng)|x|→∞時(shí)，ψ→0；3.含有一個(gè)待定的λ參數(shù)。第50頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方法II:亦可選取如下試探波函數(shù)：A——?dú)w一化常數(shù)，是變分參量。這個(gè)試探波函數(shù)比第一個(gè)好，因?yàn)?.φ(x)是光滑連續(xù)的函數(shù)；2.關(guān)于x=0點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，滿足邊界條件 即當(dāng)|x|→∞時(shí)， ψ→0；3.φ(x)是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有很好的性質(zhì)，可作解析積分，且有積分表可查。第51頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期四有了試探波函數(shù)后，我們就可以計(jì)算<H>能量平均值是變分參數(shù)λ的函數(shù)，欲使<H(λ)>取最小值，則要求：上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量λ取何值時(shí)<H(λ)>有最小