六年級(jí)奧數(shù)-第八講行程問(wèn)題(二)教師版

|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁(yè)六年級(jí)奧數(shù)-第八講行程問(wèn)題(二)教師版第八講行程問(wèn)題（二）教學(xué)目標(biāo)：能夠利用以前學(xué)習(xí)的知識(shí)理清變速變道問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)；能夠利用線段圖、算術(shù)、方程方法解決變速變道等綜合行程題；變速變道問(wèn)題的關(guān)鍵是如何處理“變”；掌握尋找等量關(guān)系的方法來(lái)構(gòu)建方程，利用方程解行程題．知識(shí)精講：比例的知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)最后一個(gè)重要內(nèi)容，從某種意義上講仿佛扮演著一個(gè)小學(xué)“壓軸知識(shí)點(diǎn)”的角色。從一個(gè)工具性的知識(shí)點(diǎn)而言，比例在解很多應(yīng)用題時(shí)有著“得天獨(dú)厚”的優(yōu)勢(shì)，往往體現(xiàn)在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡(jiǎn)單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問(wèn)題，對(duì)于工程問(wèn)題、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。我們常常會(huì)應(yīng)用比例的工具分析2個(gè)物體在某一段相同路線上的運(yùn)動(dòng)情況，我們將甲、乙的速度、時(shí)間、路程分別用來(lái)表示，大體可分為以下兩種情況：當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，經(jīng)過(guò)同一段時(shí)間后，他們走過(guò)的路程之比就等于他們的速度之比。，這里因?yàn)闀r(shí)間相同，即,所以由得到，，甲乙在同一段時(shí)間t內(nèi)的路程之比等于速度比當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，走過(guò)相同的路程時(shí)，2個(gè)物體所用的時(shí)間之比等于他們速度的反比。，這里因?yàn)槁烦滔嗤?，即，由得，，甲乙在同一段路程s上的時(shí)間之比等于速度比的反比。行程問(wèn)題常用的解題方法有⑴公式法即根據(jù)常用的行程問(wèn)題的公式進(jìn)行求解，這種方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，可以推知需要的條件；⑵圖示法在一些復(fù)雜的行程問(wèn)題中，為了明確過(guò)程，常用示意圖作為輔助工具．示意圖包括線段圖和折線圖．圖示法即畫(huà)出行程的大概過(guò)程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地點(diǎn)．另外在多次相遇、追及問(wèn)題中，畫(huà)圖分析往往也是最有效的解題方法；⑶比例法行程問(wèn)題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值．更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時(shí)間等)往往是不確定的，在沒(méi)有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題；⑷分段法在非勻速即分段變速的行程問(wèn)題中，公式不能直接適用．這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問(wèn)題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來(lái)；⑸方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼猓}精講：模塊一、時(shí)間相同速度比等于路程比甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到達(dá)B地和乙到達(dá)A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn)30千米，則A、B兩地相距多少千米？?jī)蓚€(gè)人同時(shí)出發(fā)相向而行，相遇時(shí)時(shí)間相等，路程比等于速度之比，即兩個(gè)人相遇時(shí)所走過(guò)的路程比為4:3．第一次相遇時(shí)甲走了全程的4/7；第二次相遇時(shí)甲、乙兩個(gè)人共走了3個(gè)全程，三個(gè)全程中甲走了個(gè)全程，與第一次相遇地點(diǎn)的距離為個(gè)全程．所以A、B兩地相距(千米)．B地在A，C兩地之間．甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過(guò)來(lái)．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過(guò)來(lái)后返回B地至少要用多少時(shí)間。根據(jù)題意當(dāng)丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了此時(shí)甲、乙位置如下：因?yàn)楸乃俣仁羌?、乙?倍，分步討論如下：若丙先去追及乙，因時(shí)間相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走兩倍乙走需要10分鐘，所以丙用時(shí)間為：10÷（3－1）=5（分鐘）此時(shí)拿上乙拿錯(cuò)的信當(dāng)丙再回到B點(diǎn)用5分鐘，此時(shí)甲已經(jīng)距B地有10＋10＋5＋5＝30（分鐘），同理丙追及時(shí)間為30÷（3－1）=15（分鐘），此時(shí)給甲應(yīng)該送的信，換回乙應(yīng)該送的信在給乙送信，此時(shí)乙已經(jīng)距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分鐘），此時(shí)追及乙需要：50÷（3－1）=25（分鐘），返回B地需要25分鐘所以共需要時(shí)間為5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分鐘）同理先追及甲需要時(shí)間為120分鐘(“圓明杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)甲、乙兩人同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，甲每分鐘行米，乙每分鐘行米，出發(fā)一段時(shí)間后，兩人在距中點(diǎn)的處相遇；如果甲出發(fā)后在途中某地停留了分鐘，兩人將在距中點(diǎn)的處相遇，且中點(diǎn)距、距離相等，問(wèn)、兩點(diǎn)相距多少米？甲、乙兩人速度比為，相遇的時(shí)候時(shí)間相等，路程比等于速度之比，相遇時(shí)甲走了全程的，乙走了全程的．第二次甲停留，乙沒(méi)有停留，且前后兩次相遇地點(diǎn)距離中點(diǎn)相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的．由于甲、乙速度比為，根據(jù)時(shí)間一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期間乙走了，所以甲停留期間乙行了，所以、兩點(diǎn)的距離為(米)．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%．這樣當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米．那么A、B兩地相距多少千米？?jī)绍囅嘤鰰r(shí)甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，此時(shí)甲、乙的速度比為，所以甲到達(dá)B地時(shí)，乙又走了，距離A地，所以A、B兩地的距離為(千米)．早晨，小張騎車從甲地出發(fā)去乙地．下午1點(diǎn)，小王開(kāi)車也從甲地出發(fā)，前往乙地．下午2點(diǎn)時(shí)兩人之間的距離是15千米．下午3點(diǎn)時(shí)，兩人之間的距離還是l5千米．下午4點(diǎn)時(shí)小王到達(dá)乙地，晚上7點(diǎn)小張到達(dá)乙地．小張是早晨幾點(diǎn)出發(fā)？從題中可以看出小王的速度比小張塊．下午2點(diǎn)時(shí)兩人之間的距離是l5千米．下午3點(diǎn)時(shí)，兩人之間的距離還是l5千米，所以下午2點(diǎn)時(shí)小王距小張15千米，下午3點(diǎn)時(shí)小王超過(guò)小張15千米，可知兩人的速度差是每小時(shí)30千米．由下午3點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算，小王再有1小時(shí)就可走完全程，在這1小時(shí)當(dāng)中，小王比小張多走30千米，那小張3小時(shí)走了153045千米，故小張的速度是45÷3=15千米/時(shí)，小王的速度是15＋30=從甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路與上坡路的距離相等。陳明開(kāi)車從甲地到乙地共用了3小時(shí)，其中第一小時(shí)比第二小時(shí)多走15千米，第二小時(shí)比第三小時(shí)多走25千米。如果汽車走上坡路比走平路每小時(shí)慢30千米，走下坡路比走平路每小時(shí)快15千米。那么甲乙兩地相距多少千米？⑴由于3個(gè)小時(shí)中每個(gè)小時(shí)各走的什么路不明確，所以需要先予以確定．從甲地到乙地共用3小時(shí)，如果最后一小時(shí)先走了一段平路再走上坡路，也就是說(shuō)走上坡路的路程不需要1小時(shí)，那么由于下坡路與上坡路距離相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小時(shí)，這說(shuō)明第一小時(shí)既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小時(shí)則是全在走平路．這樣的話，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小時(shí)走的路程小于以下坡的速度走1小時(shí)的路程，而這個(gè)路程恰好比以平路的速度走1小時(shí)的路程(即第二小時(shí)走的路程)多走15千米，所以這樣的話第一小時(shí)走的路程比第二小時(shí)走的路程多走的少于15千米，不合題意，所以假設(shè)不成立，即第三小時(shí)全部在走上坡路．如果第一小時(shí)全部在走下坡路，那么第二小時(shí)走了一段下坡路后又走了一段平路，這樣第二小時(shí)走的路程將大于以平路的速度走1小時(shí)的路程，而第一小時(shí)走的路程比第二小時(shí)走的路程多走的少于15千米，也不合題意，所以假設(shè)也不成立，故第一小時(shí)已走完下坡路，還走了一段平路．所以整個(gè)行程為：第一小時(shí)已走完下坡路，還走了一段平路；第二小時(shí)走完平路，還走了一段上坡路；第三小時(shí)全部在走上坡路．⑵由于第二小時(shí)比第三小時(shí)多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小時(shí)30千米．所以第二小時(shí)內(nèi)用在走平路上的時(shí)間為小時(shí)，其余的小時(shí)在走上坡路；因?yàn)榈谝恍r(shí)比第二小時(shí)多走了15千米，而小時(shí)的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小時(shí)余下的下坡路所用的時(shí)間為小時(shí)，所以在第一小時(shí)中，有小時(shí)是在下坡路上走的，剩余的小時(shí)是在平路上走的．因此，陳明走下坡路用了小時(shí)，走平路用了小時(shí)，走上坡路用了小時(shí)．⑶因?yàn)橄缕侣放c上坡路的距離相等，所以上坡路與下坡路的速度比是．那么下坡路的速度為千米/時(shí)，平路的速度是每小時(shí)千米，上坡路的速度是每小時(shí)千米．那么甲、乙兩地相距(千米)．模塊二、路程相同速度比等于時(shí)間的反比甲、乙兩人同時(shí)從地出發(fā)到地，經(jīng)過(guò)3小時(shí)，甲先到地，乙還需要1小時(shí)到達(dá)地，此時(shí)甲、乙共行了35千米．求，兩地間的距離．甲用3小時(shí)行完全程，而乙需要4小時(shí)，說(shuō)明兩人的速度之比為，那么在3小時(shí)內(nèi)的路程之比也是；又兩人路程之和為35千米，所以甲所走的路程為千米，即，兩地間的距離為20千米．在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過(guò)4分甲到達(dá)B點(diǎn)，又過(guò)8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？由題意知，甲行4分相當(dāng)于乙行6分.（抓住走同一段路程時(shí)間或速度的比例關(guān)系）

從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，而乙行12分相當(dāng)于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）.上午8點(diǎn)整，甲從A地出發(fā)勻速去B地，8點(diǎn)20分甲與從B地出發(fā)勻速去A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來(lái)的3倍，乙速度不變；8點(diǎn)30分，甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)各自的目的地．那么，乙從B地出發(fā)時(shí)是8點(diǎn)幾分．甲、乙相遇時(shí)甲走了20分鐘，之后甲的速度提高到原來(lái)的3倍，又走了10分鐘到達(dá)目的地，根據(jù)路程一定，時(shí)間比等于速度的反比，如果甲沒(méi)提速，那么后面的路甲需要走10×3=30分鐘，所以前后兩段路程的比為20:30=2:3，由于甲走20分鐘的路程乙要走10分鐘，所以甲走30分鐘的路程乙要走15分鐘，也就是說(shuō)與甲相遇時(shí)乙已出發(fā)了15分鐘，所以乙從B地出發(fā)時(shí)是8點(diǎn)5分．小芳從家到學(xué)校有兩條一樣長(zhǎng)的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路．小芳上學(xué)走這兩條路所用的時(shí)間一樣多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？設(shè)小芳上學(xué)路上所用時(shí)間為2，那么走一半平路所需時(shí)間是1．由于下坡路與一半平路的長(zhǎng)度相同，根據(jù)路程一定，時(shí)間比等于速度的反比，走下坡路所需時(shí)間是，因此，走上坡路需要的時(shí)間是，那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時(shí)間的反比，為，所以，上坡速度是平路速度的倍．一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，每分鐘行750米，預(yù)計(jì)50分鐘到達(dá)．但汽車行駛到路程的時(shí)，出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預(yù)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)乙地，汽車行駛余下的路程時(shí)，每分鐘必須比原來(lái)快多少米？當(dāng)以原速行駛到全程的時(shí)，總時(shí)間也用了，所以還剩下分鐘的路程；修理完畢時(shí)還剩下分鐘，在剩下的這段路程上，預(yù)計(jì)時(shí)間與實(shí)際時(shí)間之比為，根據(jù)路程一定，速度比等于時(shí)間的反比，實(shí)際的速度與預(yù)定的速度之比也為，因此每分鐘應(yīng)比原來(lái)快米．小結(jié)：本題也可先求出相應(yīng)的路程和時(shí)間，再采用公式求出相應(yīng)的速度，最后計(jì)算比原來(lái)快多少，但不如采用比例法簡(jiǎn)便．(“我愛(ài)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽)一列火車出發(fā)小時(shí)后因故停車小時(shí)，然后以原速的前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚小時(shí)．若出發(fā)小時(shí)后又前進(jìn)公里因故停車小時(shí)，然后同樣以原速的前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚小時(shí)，那么整個(gè)路程為_(kāi)_______公里．如果火車出發(fā)小時(shí)后不停車，然后以原速的前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚小時(shí)，在一小時(shí)以后的那段路程，原計(jì)劃所花的時(shí)間與實(shí)際所花的時(shí)間之比為，所以原計(jì)劃要花小時(shí)，現(xiàn)在要花小時(shí)，若出發(fā)小時(shí)后又前進(jìn)公里不停車，然后同樣以原速的前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚小時(shí)，在一小時(shí)以后的那段路程，原計(jì)劃所花的時(shí)間與實(shí)際所花的時(shí)間之比為，所以原計(jì)劃要花小時(shí)，現(xiàn)在要花小時(shí)．所以按照原計(jì)劃公里的路程火車要用小時(shí)，所以火車的原速度為千米／小時(shí)，整個(gè)路程為千米．王叔叔開(kāi)車從北京到上海，從開(kāi)始出發(fā)，車速即比原計(jì)劃的速度提高了1/9，結(jié)果提前一個(gè)半小時(shí)到達(dá)；返回時(shí)，按原計(jì)劃的速度行駛280千米后，將車速提高1/6，于是提前1小時(shí)40分到達(dá)北京．北京、上海兩市間的路程是多少千米？從開(kāi)始出發(fā)，車速即比原計(jì)劃的速度提高了1/9，即車速為原計(jì)劃的10/9，則所用時(shí)間為原計(jì)劃的1÷10/9=9/10，即比原計(jì)劃少用1/10的時(shí)間，所以一個(gè)半小時(shí)等于原計(jì)劃時(shí)間的1/10，原計(jì)劃時(shí)間為：1.5÷1/10=15(小時(shí))；按原計(jì)劃的速度行駛280千米后，將車速提高1/6，即此后車速為原來(lái)的7/6，則此后所用時(shí)間為原計(jì)劃的1÷7/6=6/7，即此后比原計(jì)劃少用1/7的時(shí)間，所以1小時(shí)40分等于按原計(jì)劃的速度行駛280千米后余下時(shí)間的1/7，則按原計(jì)劃的速度行駛280千米后余下的時(shí)間為：

5/3÷1/7=35/3(小時(shí))，所以，原計(jì)劃的速度為：84(千米/時(shí))，北京、上海兩市間的路程為：84×15=1260(千米)．一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，如果車速提高20%可以提前1小時(shí)到達(dá)．如果按原速行駛一段距離后，再將速度提高30%，也可以提前1小時(shí)到達(dá)，那么按原速行駛了全部路程的幾分之幾？車速提高20%，即為原速度的6/5，那么所用時(shí)間為原來(lái)的5/6，所以原定時(shí)間為小時(shí)；如果按原速行駛一段距離后再提速30%，此時(shí)速度為原速度的13/10，所用時(shí)間為原來(lái)的10/13，所以按原速度后面這段路程需要的時(shí)間為小時(shí)．所以前面按原速度行使的時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)速度一定，路程比等于時(shí)間之比，按原速行駛了全部路程的一輛車從甲地開(kāi)往乙地．如果車速提高，可以比原定時(shí)間提前1小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將車速提高，則可以提前40分鐘到達(dá)．那么甲、乙兩地相距多少千米？車速提高，速度比為，路程一定的情況下，時(shí)間比應(yīng)為，所以以原速度行完全程的時(shí)間為小時(shí)．以原速行駛120千米后，以后一段路程為考察對(duì)象，車速提高，速度比為，所用時(shí)間比應(yīng)為，提前40分鐘到達(dá)，則用原速度行駛完這一段路程需要小時(shí)，所以以原速行駛120千米所用的時(shí)間為小時(shí)，甲、乙兩地的距離為千米．甲火車分鐘行進(jìn)的路程等于乙火車分鐘行進(jìn)的路程．乙火車上午從站開(kāi)往站，開(kāi)出若干分鐘后，甲火車從站出發(fā)開(kāi)往站．上午兩列火車相遇，相遇的地點(diǎn)離、兩站的距離的比是．甲火車從站發(fā)車的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？［分析］甲、乙火車的速度比已知，所以甲、乙火車相同時(shí)間內(nèi)的行程比也已知．由此可以求得甲火車單獨(dú)行駛的距離與總路程的比．根據(jù)題意可知，甲、乙兩車的速度比為．從甲火車出發(fā)算起，到相遇時(shí)兩車走的路程之比為，而相遇點(diǎn)距、兩站的距離的比是．說(shuō)明甲火車出發(fā)前乙火車所走的路程等于乙火車個(gè)小時(shí)所走路程的．也就是說(shuō)乙比甲先走了一個(gè)小時(shí)的四分之一，也就是15分鐘．所以甲火車從站發(fā)車的時(shí)間是點(diǎn)分．模塊三、比例綜合題小狗和小猴參加的100米預(yù)賽．結(jié)果，當(dāng)小狗跑到終點(diǎn)時(shí)，小猴才跑到90米處，決賽時(shí)，自作聰明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我們站在同一起跑線上不公平，我提議把小狗的起跑線往后挪10米．小狗同意了，小猴樂(lè)滋滋的想：“小猴不會(huì)如愿以償．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它們的速度比為；那么把小狗的起跑線往后挪10米后，小狗要跑110米，當(dāng)小狗跑到終點(diǎn)時(shí)，小猴跑了米，離終點(diǎn)還差1米，所以它還是比小狗晚到達(dá)終點(diǎn)．甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)到B地，經(jīng)過(guò)3小時(shí)，甲先到B地，乙還需要1小時(shí)到達(dá)B地，此時(shí)甲、乙共行了35千米．求A，B兩地間的距離．甲、乙兩個(gè)人同時(shí)從A地到B地，所經(jīng)過(guò)的路程是固定所需要的時(shí)間為：甲3個(gè)小時(shí)，乙4個(gè)小時(shí)（3+1）兩個(gè)人速度比為：甲：乙=4：3當(dāng)兩個(gè)人在相同時(shí)間內(nèi)共行35千米時(shí)，相當(dāng)與甲走4份，已走3份，所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B兩地間距離為20千米、、三輛汽車以相同的速度同時(shí)從甲市開(kāi)往乙市．開(kāi)車后小時(shí)車出了事故，和車照常前進(jìn)．車停了半小時(shí)后以原速度的繼續(xù)前進(jìn)．、兩車行至距離甲市千米時(shí)車出了事故，車照常前進(jìn)．車停了半小時(shí)后也以原速度的繼續(xù)前進(jìn)．結(jié)果到達(dá)乙市的時(shí)間車比車早小時(shí)，車比車早小時(shí)，甲、乙兩市的距離為千米．【分析】如果車沒(méi)有停半小時(shí)，它將比車晚到小時(shí)，因?yàn)檐嚭髞?lái)的速度是車的，即兩車行小時(shí)的路車比車慢小時(shí)，所以慢小時(shí)說(shuō)明車后來(lái)行了小時(shí)．從甲市到乙市車要行小時(shí)．同理，如果車沒(méi)有停半小時(shí)，它將比車晚到小時(shí)，說(shuō)明車后來(lái)行了小時(shí)，這段路車需行小時(shí)，也就是說(shuō)這段路是甲、乙兩市距離的．故甲、乙兩市距離為(千米)．甲、乙二人步行遠(yuǎn)足旅游，甲出發(fā)后小時(shí)，乙從同地同路同向出發(fā)，步行小時(shí)到達(dá)甲于分鐘前曾到過(guò)的地方．此后乙每小時(shí)多行米，經(jīng)過(guò)小時(shí)追上速度保持不變的甲．甲每小時(shí)行多少米？［分析］根據(jù)題意，乙加速之前步行小時(shí)的路程等于甲步行小時(shí)的路程，所以甲、乙的速度之比為，乙的速度是甲的速度的倍；乙加速之后步行小時(shí)的路程等于甲步行小時(shí)的路程，所以加速后甲、乙的速度比為．加速后乙的速度是甲的速度的倍；由于乙加速后每小時(shí)多走500米，所以甲的速度為米/小時(shí)．甲、乙兩人分別騎車從地同時(shí)同向出發(fā)，甲騎自行車，乙騎三輪車．12分鐘后丙也騎車從地出發(fā)去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉頭行了3千米時(shí)又遇到乙．已知乙的速度是每小時(shí)千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？丙的速度為千米/小時(shí)，丙比甲、乙晚出發(fā)12分鐘，相當(dāng)于退后了千米后與甲、乙同時(shí)出發(fā)．如圖所示，相當(dāng)于甲、乙從，丙從同時(shí)出發(fā)，丙在處追上甲，此時(shí)乙走到處，然后丙掉頭走了3千米在處和乙相遇．從丙返回到遇見(jiàn)乙，丙走了3千米，所以乙走了千米，故為千米．那么，在從出發(fā)到丙追上甲這段時(shí)間內(nèi)，丙一共比乙多走了千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲時(shí)，乙走了千米，丙走了15千米，恰好用1個(gè)小時(shí)；而此時(shí)甲走了千米，因此速度為(千米/小時(shí))．甲、乙兩人同時(shí)從山腳開(kāi)始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。兩人出發(fā)后1小時(shí)，甲與乙在離山頂600米處相遇，當(dāng)乙到達(dá)山頂時(shí)，甲恰好到半山腰。那么甲回到出發(fā)點(diǎn)共用多少小時(shí)？甲如果用下山速度上山，乙到達(dá)山頂時(shí)，甲恰好到半山腰，說(shuō)明甲走過(guò)的路程應(yīng)該是一個(gè)單程的1×1.5+1/2=2倍，就是說(shuō)甲下山的速度是乙上山速度的2倍。兩人相遇時(shí)走了1小時(shí)，這時(shí)甲還要走一段下山路，這段下山路乙上山用了1小時(shí)，所以甲下山要用1/2小時(shí)。甲一共走了1+1/2=1.5（小時(shí)）一條東西向的鐵路橋上有一條小狗，站在橋中心以西米處．一列火車以每小時(shí)千米的速度從西邊開(kāi)過(guò)來(lái)，車頭距西橋頭三個(gè)橋長(zhǎng)的距離．若小狗向西迎著火車跑，恰好能在火車距西橋頭米時(shí)逃離鐵路橋；若小狗以同樣的速度向東跑，小狗會(huì)在距東橋頭米處被火車追上．問(wèn)鐵路橋長(zhǎng)多少米，小狗的速度為每小時(shí)多少千米？【分析】設(shè)鐵路橋長(zhǎng)為米．在小狗向西跑的情況下：小狗跑的路程為米，火車走的路程為米；在小狗向東跑的情況下：小狗跑的路程為米，火車走的路程為米；兩種情況合起來(lái)看，在相同的時(shí)間內(nèi)，小狗一共跑了米，火車一共走了米；因?yàn)槭堑谋叮曰疖囁俣仁切」匪俣鹊谋?，所以小狗的速度?千米/時(shí))；因?yàn)榛疖囁俣葹樾」匪俣鹊谋?，所以，解此方程得：．所以鐵路橋全長(zhǎng)為米，小狗的速度為每小時(shí)千米．如圖，點(diǎn)分，有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距米的、兩地順時(shí)針?lè)较蜓亻L(zhǎng)方形的邊走向點(diǎn)，甲點(diǎn)分到后，丙、丁兩人立即以相同速度從點(diǎn)出發(fā)，丙由向走去，點(diǎn)分與乙在點(diǎn)相遇，丁由向走去，點(diǎn)分在點(diǎn)被乙追上，則連接三角形的面積為平方米．【分析】如圖，由題意知，丙從到用分鐘，丁從到用分鐘，乙從經(jīng)到用分鐘，說(shuō)明甲、乙速度是丙、丁速度的倍．因?yàn)榧鬃哂梅昼?，所以丙走要?分鐘)，走用(分鐘)．因?yàn)橐易哂梅昼?，所以丙走?分鐘)．因?yàn)殚L(zhǎng)米，所以丙每分鐘走(米)．于是求出(米)，(米)，(米)．(平方米)．如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比為，、為邊上的三等分點(diǎn)，某時(shí)刻，甲從點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方形逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，乙、丙分別從、出發(fā)沿長(zhǎng)方形順時(shí)針運(yùn)動(dòng)．甲、乙、丙三人的速度比為．他們出發(fā)后分鐘，三人所在位置的點(diǎn)的連線第一次構(gòu)成長(zhǎng)方形中最大的三角形，那么再過(guò)多少分鐘，三人所在位置的點(diǎn)的連線第二次構(gòu)成最大三角形？［分析］長(zhǎng)方形內(nèi)最大的三角形等于長(zhǎng)方形面積的一半，這樣的三角形一定有一條邊與長(zhǎng)方形的某條邊重合，并且另一個(gè)點(diǎn)恰好在該長(zhǎng)方形邊的對(duì)邊上．所以我們只要討論三個(gè)人中有兩個(gè)人在長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)上的情況．將長(zhǎng)方形的寬等分，長(zhǎng)等分后，將長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分割成段，設(shè)甲走段所用的時(shí)間為個(gè)單位時(shí)間，那么一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，乙、丙分別走段、段，由于、、兩兩互質(zhì)，所以在非整數(shù)單位時(shí)間的時(shí)候，甲、乙、丙三人最多也只能有個(gè)人走了整數(shù)段．所以我們只要考慮在整數(shù)單位時(shí)間，三個(gè)人運(yùn)到到頂點(diǎn)的情況．對(duì)于甲的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論：時(shí)間(單位時(shí)間)……地點(diǎn)對(duì)于乙的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論：時(shí)間(單位時(shí)間)……地點(diǎn)對(duì)于丙的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論：時(shí)間(單位時(shí)間)……地點(diǎn)需要檢驗(yàn)的時(shí)間點(diǎn)有、、、、……個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲和丙重合無(wú)法滿足條件．個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲在上，三人第一次構(gòu)成最大三角形．所以一個(gè)單位時(shí)間相當(dāng)于分鐘．個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲、乙、丙分別在、、的位置第二次構(gòu)成最大三角形．所以再過(guò)分鐘．三人所