2020年數(shù)學(xué)（理）高考模擬卷新課標(biāo)卷5含答案

2020年數(shù)學(xué)（理）高考模擬卷新課標(biāo)卷（5）

（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷

類型（B）填涂在答題卡的相應(yīng)位置上。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作

答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知集合4={》67|—2<x<2},3={-1』,2,3},則AB=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合A,然后利用交集的定義可求出集合AB.

【詳解】

A={xGN|—2<2}={0,1},因此，Ac6={l}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

]-i

2.設(shè)2=-+2i,則|z|=

1+i

I

A.0B.-C.1D.Jl

2

【答案】C

【解析】

分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共朝復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)Z,然后求解復(fù)數(shù)

的模.

(5二Li

詳解:Z=—+2i=

1+i(l-i)(l+i)

=—i+2i=i,

則忖=1,故選C.

點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對實(shí)部、虛部的理解,

掌握純虛數(shù)、共輒復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)

的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

3.若向量a=(4,2)，b=(6,k)，若a//》，則憶=()

A.-12B.12C.-3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得若a//，則有4xZ=2x6=12,解可得左的值，即可得

答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意,向量a=(4,2),b=(6,k))

若a//力，則有4x4=2x6,

解得k=3；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示公式，關(guān)鍵是掌握向量平行的坐標(biāo)表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

4.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若％+%=15-%，則S9等于()

A.18B.36C.45D.60

【答案】C

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡已知條件，根據(jù)等差數(shù)列前八項(xiàng)和公式求得$9的值.

【詳解】

由于數(shù)列｛0“｝是等差數(shù)列，所以由。2+6=15-%得%+6+%=15,即34+12。=15,而

S9=^_1^x9==3x(34+12d)=3x15=45.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64,則『的系數(shù)為()

B.45C.135D.405

【答案】C

【解析】

【分析】

令x=1代入可求得各項(xiàng)系數(shù)和,根據(jù)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為2",結(jié)合兩個(gè)系數(shù)比即可求得〃的值，進(jìn)

而根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求得/的系數(shù)即可.

【詳解】

令x=l,代入(x+

可得各項(xiàng)系數(shù)和為4"

展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2"

由題意可知，各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64

4"

所以t=64

2"

解方程可得

n=6

則二項(xiàng)式x+的展開式的通項(xiàng)公式為

K珞6f層J=cQ.⑶'=⑶「笳：三

3

令6-巳，=3

2

解得r=2

所以3的系數(shù)為32或=9x15=135

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)和與二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，求指定項(xiàng)的

系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.

22

6.已知橢圓T+*=i（a>Z,>0）的左頂點(diǎn)為M,上頂點(diǎn)為N,右焦點(diǎn)為尸，若MN.NF=0,

則橢圓的離心率為（)

A.BR友-1Q6-ID,非-1

D.--------

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)橢圓的焦距為2c（c〉0）,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出匕2=6%，可得出"一/=。°，等式

兩邊同時(shí)除以/可得出關(guān)于橢圓離心率的二次方程，解出即可.

【詳解】

設(shè)橢圓的焦距為2c（。>0）,離心率為e,則點(diǎn)M（—a,0）、N（0,b）、F（c,0）,

所以，MN=（a,b）,NF=（c,-b）,則MN.NE=ac-/=0，即ac-（/-c?）=0,

即/+這一/=0,等式兩邊同時(shí)除以/得/+e—1=0，

Q0<e<l,解得e=*@,因此，該橢圓的離心率為避二1.

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓離心率的計(jì)算，涉及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵就是要得出關(guān)于。、b.c的

齊次等式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

x-y+l>0

7.在滿足不等式組<x+y-3<0的平面內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M（而,%）,設(shè)事件A="yo<2xo"，那么事

y>0

件A發(fā)生的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

結(jié)合幾何概型的計(jì)算方法，求出對應(yīng)面積之比即為所求概率.

【詳解】

x-y+l>0

如下圖，作出不等式組<x+y-3<0表示的平面區(qū)域（陰影部分ABC）,易知A（l,2）,3（—1,0）,

y>0

C（3,0）,該區(qū)域面積為g[3—（―l）]x2=4.

事件A="NO<2%”，表示的區(qū)域?yàn)殛幱安糠諥OC,其面積為:X3X2=3.

3

所以事件A發(fā)生的概率是7.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型的概率計(jì)算，考查不等式組表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

、

/log]x-i（\\

8.函數(shù)/'(x)=tan|2%-logtan在區(qū)間-,2上的圖像大致

212

(47'\/27

為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

；』）和xe[1,2）函數(shù)分類討論去絕對值，即可求解.

結(jié)合選項(xiàng)對xw

【詳解】

>>

/(x)=tanf-x|-log2fx--|-tanf-xVlog,fx--

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查已知函數(shù)求圖像，化簡函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

9.《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)名著，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民數(shù)學(xué)的智慧，其中第六章“均輸”中，有

一竹節(jié)容量問題，根據(jù)這一問題的思想設(shè)計(jì)了如下所示的程序框圖，若輸出的根的值為35,則輸入

的a的值為（）

/7

TH

?由m

A.4B.5C.7D.11

【答案】A

【解析】起始階段有〃z=2a-3,i=l,第一次循環(huán)后，加=2（2。-3）-3=4。-9,i=2；

第二次循環(huán)后，加=2（4。-9）-3=8。-21,z=3；第三次循環(huán)后，

加=2（8。-21）-3=16。-45,i=4；接著計(jì)算機(jī)=2（16。-45）-3=32。-93,跳出循環(huán)，輸

出M=32a—93.令32。-93=35,得。=4.選A.

10.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體AO尸一BCE內(nèi)

自由飛翔，則它飛入幾何體尸一AMC。內(nèi)的概率為（)

側(cè)視圖

俯我圖

3

B.

8

15

C.一D.

28

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖求出三棱柱的體積，再求出幾何體F—AMCC的體積，即可求出概率.

【詳解】

由三視圖可知：底面三角形是腰長為a的等腰直角三角形，幾何體4OF—BCE是側(cè)棱為〃的

直三棱柱，

3

由題圖可知VF-AMCD—:XSAMCD^DF——tz,

34

_13

VADF-BCE——a，

2

13

--Cl|

所以它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為P=

S2

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查求幾何概型概率，關(guān)鍵在于根據(jù)三視圖準(zhǔn)確求出幾何體的體積.

11.“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、

癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”?！疤旄伞?/p>

以“甲，，字開始，，，地支，，以“子，，字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭?/p>

子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60個(gè)組

合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡。2019年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支

紀(jì)年法”中的

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年

【答案】C

【解析】

【分析】

按照題中規(guī)則依次從2019年列舉到2026年，可得出答案。

【詳解】

根據(jù)規(guī)則，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸

卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故選：C。

【點(diǎn)睛】

本題考查合情推理的應(yīng)用，理解題中“干支紀(jì)年法”的定義，并找出相應(yīng)的規(guī)律，是解本題的關(guān)鍵，

考查邏輯推理能力，屬于中等題。

12.定義在R上函數(shù)滿足〃T)=/(X),且對任意的不相等的實(shí)數(shù)和與W。,大功有

<0成立,若關(guān)于x的不等式/(2/nr-lru-3)22/'(3)-"-2/nr+lnx+3)在

xe[l,3]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

-1,ln6]「1,ln3]「1^3][1、m6一

]_2e6J\_2e6J|_e3」]_e3J

【答案】B

【解析】

【分析】

結(jié)合題意可知/(X)是偶函數(shù)，且在[0,+8)單調(diào)遞減，化簡題目所給式子，建立不等式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與

原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，構(gòu)造新函數(shù)/?(￡),g(x),計(jì)算最值,即可.

【詳解】

結(jié)合題意可知/(X)為偶函數(shù)，且在[0,+8)單調(diào)遞減，故

/(2/nr-Inx-3)22/⑶-/(-2/nr+Inx+3)可以轉(zhuǎn)換為

/(2如-Inx-3)2/⑶對應(yīng)于xe[1,3"亙成立，即R/wlar-3|W3

即042rnx-ln_r46對xe[1,3]恒成立

即2m>—且2根<6+lnA對xw[1,3]恒成立

令g(x)=墨，則g[x)=在[l,e)上遞增，在(e,3]上遞減，

所以g(x)max=3

令〃(x)=矢1竺,〃O)=三羋<0,在[1,3]上遞減

所以/?(x).=―.故機(jī)G—,1+——，故選B.

'/m,n3L2e6

【點(diǎn)睛】

本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，計(jì)算范圍，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),

計(jì)算最值，即可得出答案.

第n卷(非選擇題)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.已知a是第二象限角，且sina=；,且sin('-a)=.

【答案】一述

3

【解析】

【分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出COSa,然后利用誘導(dǎo)公式可求出sin的值.

【詳解】

Qa是第二象限角，則cos。=-Vl-sin2a-----，

3

由誘導(dǎo)公式可得sin--a=coscif=-----.

(2)3

故答案為：—遞.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一

的和諧美，定義：能夠?qū)A。的周長和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”,

則下列有關(guān)說法中：

①對于圓O:/+/=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，都不能為偶函數(shù)；

②函數(shù)/(x)=sinx+l是圓0：/+&-1)2=1的一個(gè)太極函數(shù)；

③直線+1)%—(2機(jī)+1)丁-1=0所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓O：(x—2p+(y-1)2=R2(R>O)的

太極函數(shù)；

④若函數(shù)/(%)="3-丘(4€出是圓0：%2+丁=1的太極函數(shù)，則Zw(—2,2).

所有正確的是.

【答案】(2)(3)(4)

【解析】

【分析】

利用新定義逐個(gè)判斷函數(shù)是否滿足新定義即可

【詳解】

①顯然錯(cuò)誤，如圖

②點(diǎn)(0,1)均為兩曲線的對稱中心，且〃x)=sinx+l能把圓/+(y-i)2=i一分為二，故正確

③直線(加+1卜一(2加+1))，-1=0恒過定點(diǎn)(2,1),經(jīng)過圓的圓心，滿足題意，故正確

④函數(shù)/(%)=小一米(攵eR)為奇函數(shù)，

V=kx3-kx

(3=］，

則k—6-2k2x4+(1+/)/一1=0

令得肺3-2肺2+(]+/>_]=0

即(rf儼產(chǎn)_公/+])=o

/.t=\即X=±1

對上2_攵2/+1，當(dāng)％=0時(shí)顯然無解，△<0即0〈公〈4時(shí)也無解

即左€(-2,2)時(shí)兩曲線僅有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)能把圓一分為二，且周長和面積均等分

若左=±2時(shí)，函數(shù)圖象與圓有四個(gè)交點(diǎn)，

若々2>4時(shí),函數(shù)圖象與圓有六個(gè)交點(diǎn)，均不能把圓一分為二

綜上所述，故正確的是②③④

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了關(guān)于圓的新定義，首先是要理解新定義的內(nèi)容，其次是根據(jù)新定義內(nèi)容結(jié)合已經(jīng)學(xué)

過的知識來判定正確還是錯(cuò)誤，在解答過程中只要能舉出一個(gè)反例即可判定結(jié)果

15.已知點(diǎn)P(x,y)是拋物線)?=4x上任意一點(diǎn)，。是圓(x+2)2+(y-4)?=1上任意一點(diǎn)，則

\PQ\+x的最小值為.

【答案】3

【解析】

【分析】

利用拋物線的定義得x=PE-l,以及圓上的點(diǎn)的到定點(diǎn)的距離的最小值為圓心到定點(diǎn)的距離減去

半徑即可轉(zhuǎn)換題目中的條件分析.

【詳解】

畫出圖像，設(shè)焦點(diǎn)為尸(1,0),由拋物線的定義有PR=x+1,故x=PF—1.

又PQ+QC2CP當(dāng)且僅當(dāng)C,Q,P共線且。為CP與圓。的交點(diǎn)時(shí)歸。取最小值為

歸。一|。。=歸。一1.故忸。+》的最小值為|PC|-1+|PF|-1=|PC|+|Pq-2.

又當(dāng)P為線段CF與拋物線的交點(diǎn)時(shí)|PCj+|P司取最小值，

此時(shí)I尸。|+x=IPC|+1—2=|CF|—2=7ll-(-2)]2+(0-4)2-2=3

【點(diǎn)睛】

(1)與拋物線上的點(diǎn)有關(guān)的距離之和的最值問題一般轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.

(2)與圓上的點(diǎn)有關(guān)的距離之和的最值問題一般轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)的距離與半徑的關(guān)系.

16.我們稱一個(gè)數(shù)列是“有趣數(shù)列”，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列滿足以下兩個(gè)條件：

①所有的奇數(shù)項(xiàng)滿足4,1<外"+I，所有的偶數(shù)項(xiàng)滿足?2?<a2n+2；

a

②任意相鄰的兩項(xiàng)?2?-1，。2"滿足?2?-1<2n.

根據(jù)上面的信息完成下面的問題：

(力數(shù)列1,2,3,4,5,6"有趣數(shù)列"(填"是"或者”不是”)；

2

(?)若4=〃+(-1)”—,則數(shù)列{4}“有趣數(shù)列’'(填"是''或者"不是“).

n

【答案】是是

【解析】

【分析】

依據(jù)定義檢驗(yàn)可得正確的結(jié)論.

【詳解】

若數(shù)列為123,4,5,6,則該數(shù)列為遞增數(shù)列，滿足“有趣數(shù)列”的定義，

故123,4,5,6為“有趣數(shù)列”.

222

若%=〃+(-1匚，則j=2〃-1-罰,、=2〃+1-罰

22

=

Cl^y—2〃H---,92H+2H------

2"2n2"+22〃+2

224

一%,用=-2-罰+罰=-2-<°'故%…

4

兄〃一見田=-2+——-----二-2+---------?-2H—<0

2〃(2〃+2)〃(川+1)2

故％<%〃+2?

2222

^-.-^=2,.-1---2?--=-1----<0,故%-心知―

綜上，｛%｝為“有趣數(shù)列”.

故答案為：是，是.

【點(diǎn)睛】

本題以“有趣數(shù)列''為載體，考慮數(shù)列的單調(diào)性，注意根據(jù)定義檢驗(yàn)即可，本題為中檔題.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21

題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分

17.某市規(guī)劃一個(gè)平面示意圖為如下圖五邊形A8COE的一條自行車賽道，ED,DC,CB,BA,

AE為賽道（不考慮寬度），的為賽道內(nèi)的一條服務(wù)通道，ZBCD=ZCDE=ZBAE=—,

DE=4km,BC=CD=y/3bn-

（1）求服務(wù)通道5E的長度；

TC

（2）當(dāng)NAE8=一時(shí)，賽道8A的長度？

4

【答案】⑴5⑵8目

3

【解析】

【分析】

（1）連接80,在ABC。中，由余弦定理可得80=3,由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合

NBCD=ZCDE=號可得NBDE=1,再由勾股定理可得結(jié)果；（2）在ABAE中，NBAE=弋,

TT

BE=5,NAEB=—,直接利用正弦定理定理可得結(jié)果.

4

【詳解】

(1)連接

在ABC。中，由余弦定理得：

BD2=BC2+CD2-2BCCDcosZBCD=9,

:.BD=3.BC=CD,

式

:./CBD=/CDB=—,

6

27r7t

又乙CDE=JZBDE=-,

32

在RtABOE中，BEZBD:+DEZ=5-

2萬

(2)在A8AE中，NBAE=—,

3

71

BE=5.NAEB=-

4

BEAB

由正弦定理得.2%.n,

sm——sin

34

5ABr

即：耳=/，得BA=W^

D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用

法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）

知道兩角與一個(gè)角的對邊，求另一個(gè)角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接

圓半徑.

18.如圖，在四棱錐尸―A5CO中，側(cè)棱PAL平面ABC。，E為AD的中點(diǎn)，BE//CD,

BELAD,PA=AE=BE=2,CD=\.

(1)求二面角C—P8—E的余弦值；

(2)在線段PE上是否存在點(diǎn)M,使得。///平面PBC?若存在，求出點(diǎn)M的位置，若不存在,

說明理由.

【答案】(1)硬；(2)存在，PE的中點(diǎn).

7

【解析】

【分析】

(1)作EzLAD,以E為原點(diǎn)，以EB,ED的方向分別為左軸，軸的正方向，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的法向量、平面P6E的法向量即可得二面角C-P8-E的的余弦

值；

(2)線段PE上存在點(diǎn)M,使得。M//平面PBC”等價(jià)于垂直面PBC的法向量.

【詳解】

作Ez_LAO,以E為原點(diǎn)，以EB,ED的方向分別為％軸，V軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,0),P(0,—2,2),A(0,—2,0),8(2,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0)

則PB=(2,2,-2),BC=(一1,2,0),=(0,-2,2)

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(x,y,z),

n-PB=0x+y-z=0

由有《

WBC=G'-x+2y=Q

則可以取〃=(2,1,3)

設(shè)平面PBE1的法向量為m=(〃/,c)，

m-PB=0一a+b-c=0

由＜，有《

m-EP=0-Z?+c=0

則可以取加=(0,1,1)

n-m1+32幣

所以COS(〃，M=

\n\-\m\A/14XA/27

由圖可知，二面角C-P3-E的余弦值為紀(jì)

7

(2)由(1)可知面PBC的法向量為〃=(2,1,3),

“線段PE上存在點(diǎn)M，使得D例〃平面PBC”等價(jià)于DM工〃,

EP=(0,-2,2).設(shè)PM="E=(0,24,—2/1),丸e(0,D

則DM=DP+PM=(0,-4,2)+(0,22,-22)=(。,22-4,2-22)

由DM-〃=(),得24—4+6—6X=0解得4=?

所以線段PE上存在點(diǎn)M,即PE中點(diǎn)，使得。M//平面PBC.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行的判定，向量法求二面角、動(dòng)點(diǎn)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.如圖，已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線是/.

y

(I)寫出焦點(diǎn)E的坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程；

(II)己知點(diǎn)尸(8,8),若過點(diǎn)F的直線交拋物線C于不同的兩點(diǎn)A、B(均與「不重合)，直線PA、

PB分別交/于點(diǎn)M、N求證：MF1NF.

【答案】(I)網(wǎng)2,0),準(zhǔn)線/的方程為》=一2；(H)見解析.

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程；

(11)設(shè)直線48的方程為》=沖+2,設(shè)點(diǎn)A(%,yJ、3(%,%)，將直線AB的方程與拋物線C

的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，計(jì)算出M/.NE=0,即可證明出M/7J-N/7.

【詳解】

(I)拋物線。的焦點(diǎn)為口(2,0),準(zhǔn)線/的方程為：x=-2；

(H)設(shè)直線A8的方程為：x=tny+2[m^R),令A(yù)(玉,y),8(々,月)，

x=my4-2「

聯(lián)立直線A8的方程與拋物線C的方程《2；-消去》得丁―8沖—16=0,

y=8x

由根與系數(shù)的關(guān)系得：X%=-16.

y-8x-8產(chǎn)4^&_8)+8=8乃+"

方程為：。一。，

丫2—8元)一X&-8

8

8>,-16'.2,3]

2時(shí)，%。，：.N

%+8〔必+8J

_48y2T6)

Sy-168yj-16_16(y+8)(y,+8)+(8%-16)(8--16)

:,FN?FM=16+2X2

%+8y+8(%+8)(y+8)

80(y%+16)_80(-16+16)_Q

(%+8)(y+8)(%+8)(%+8)

:.FNLFM，：-MFA.NF.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，同時(shí)也考查了直線與拋物線的綜合問題，涉及到

兩直線垂直的證明，一般轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積為零來處理，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

20.2019年春節(jié)期間.當(dāng)紅彩視明星翟天臨“不知“知網(wǎng)學(xué)術(shù)不端事件在全國鬧得沸沸揚(yáng)揚(yáng)，引發(fā)

了網(wǎng)友對亞洲最大電影學(xué)府北京電影學(xué)院、乃至整個(gè)中國學(xué)術(shù)界高等教育亂象的反思.為進(jìn)一步端

正學(xué)風(fēng)，打擊學(xué)術(shù)造假行為，教育部日前公布的《教育部2019年部門預(yù)算》中透露，2019年教育

部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇，預(yù)算為800萬元.國務(wù)院學(xué)位委員會、教育部2014年印發(fā)的《博

士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評議，3位專家

中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文.將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”。有

且只有1位專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進(jìn)行復(fù)評.2位復(fù)評專家中有

1位以上(含1位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”。設(shè)每篇學(xué)

位論文被每位專家評議為“不合格''的概率均為P(0<p<1),且各篇學(xué)位論文是否被評議為“不合格”

相互獨(dú)立.

(1)記一篇抽檢的學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為了(〃)，求)(〃)；

(2)若擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評的評審費(fèi)用為900元，需要復(fù)評的評審費(fèi)用為1500元；除評

審費(fèi)外，其它費(fèi)用總計(jì)為100萬元?，F(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢論文為6000篇，問是否會超過預(yù)算？

并說明理由.

【答案】⑴/(p)=—3p5+12p4-17p3+9p2；(2)不會超過預(yù)算，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)分別考慮學(xué)位論文初評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文“、學(xué)位論文復(fù)評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位

論文''的概率，然后相加求解對應(yīng)概率；(2)將一篇論文的評審費(fèi)用用隨機(jī)變量表示，然后考慮隨機(jī)

變量的均值，注意使用函數(shù)思想，最后考慮600篇論文的評審費(fèi)與其他費(fèi)用之和同800萬元的大小

關(guān)系.

【詳解】

(1)因?yàn)橐黄獙W(xué)位論文初評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為C；p2(l-p)+C；p3

一篇學(xué)位論文復(fù)評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為C；p(l-p)2[l-(l-p)2],

所以一篇學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為

/(P)=C；/(l一〃)+*+C>(1-p)2[1-(1-0)21

=3p2(l-p)+p3+3p(l-p)2[l-(l-p)2]=-3p5+12p4-17p3+9p2.

(2)設(shè)每篇學(xué)位論文的評審費(fèi)為X元，則X的可能取值為900,1500.

P(X=1500)=C；p(l—p)2,

P(X=900)=1-C；p(l-p)2,

所以￡(X)=900x口一C；p(l-pW+1500xC如(1—of=900+1800P(1—p)2

令g(P)=P(l-Of，

g'(P)=(1-p)2-2p(l-p)=(3p-l)(p-1)

當(dāng)卜j,g'(p)>0,g(p)在(0,g)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，g'(p)<0,g(p)在上單調(diào)遞減，

所以實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為100+6000x(900+1800x捺JxloTngOO(萬元).

綜上，若以此方案實(shí)施，不會超過預(yù)算

【點(diǎn)睛】

本題考查相互獨(dú)立事件的概率、離散型隨機(jī)變量的均值與函數(shù)的綜合，難度較難.概率統(tǒng)計(jì)題型中，

對于計(jì)算出的形式較為復(fù)雜的用未知量表示的概率或期望，可通過函數(shù)單調(diào)性或者導(dǎo)數(shù)的思想去計(jì)

算最值.

TF

21.設(shè)函數(shù)f(^x)-ax-sinx,xG(0,—),a為常數(shù)

⑴若函數(shù)/(x)在(0,上是單調(diào)函數(shù)，求0的取值范圍；

(2)當(dāng)aKl時(shí)，證明

6

【答案】(1)(F,0]u[l,48);(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，單調(diào)分單調(diào)增和單調(diào)減，利用/'(x)=a-cosxNO或/"(x)=a-cosxWO在

(0,上恒成立，求得實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得結(jié)果.

【詳解】

(1)由/'(工)=這一5111￥得導(dǎo)函數(shù)/"(1)=0-00a￥,其中0<COSX<1.

當(dāng)Q21時(shí)，/'(力>0恒成立,

故〃x)=Gt-sinx在上是單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；

當(dāng)a40時(shí),/'(力<0恒成立，

故/(￡)=◎—sinx在上是單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；

當(dāng)0<“<1時(shí)，由/'(x)=a-cosv=0得8&x=a,

則存在尤oe(0,]J,使得co%=a.

f

當(dāng)0cxe與時(shí)，y(x0)<0,當(dāng)■時(shí)，

/(x0)>0,所以/(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(%,])上單調(diào)遞增,

故/(X)在(0,上是不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意.

綜上，。的取值范圍是(一8,()]31，+8)-

(2)由(1)知當(dāng)々=1時(shí)，/(x)=x-sin￥>/(0)=0,

/、2

岳?2%xI

即sinx<x，故sin—v—

2⑶

令g(x)=/(x)-：x3=ax-siru--x3,xe|0,-