挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題-強化訓練

------------------------------------------------------------------------挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題_強化訓練目錄第一部分壓軸題強化訓練題專題訓練一等腰三角形的存在性問題專題訓練二相似三角形的存在性問題專題訓練三直角三角形的存在性問題專題訓練四平行四邊形的存在性問題專題訓練五梯形的存在性問題專題訓練六面積的存在性問題專題訓練七相切的存在性問題專題訓練八線段和差最值的存在性問題專題訓練九由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題專題訓練十由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題專題訓練十一代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題專題訓練十二幾何證明及通過幾何計算進行說理問題第二部分填空題選擇題中的動態(tài)圖形訓練題一、圖形的平移二、圖形的翻折三、圖形的旋轉(zhuǎn)四、三角形五、四邊形六、圓七、函數(shù)的圖象及性質(zhì)參考答案

挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題強化訓練篇馬學斌編這是一本訓練題。這本訓練題是《挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題》系列的第三本，是供沖刺數(shù)學高分和滿分的同學在最后一個階段訓練用的。中考數(shù)學壓軸題的靈魂是數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的精髓是函數(shù)，函數(shù)的核心是運動變化。中考數(shù)學壓軸題的共同特點是題目的情景都是動態(tài)的，不同的是在圖形運動變化的過程中，探究的內(nèi)容不同，這些內(nèi)容分為三大類。第一類為函數(shù)圖象中點的存在性問題，探究在函數(shù)的圖象上是否存在符合條件的點。第二類為圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題，這部分壓軸題的主要特征是在圖形運動變化的過程中，探求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)實際情況探求函數(shù)的定義域。第三類為圖形運動中的計算說理問題，這部分壓軸題的主要特征是先給出一個圖形進行研究，然后研究圖形的位置發(fā)生變化后結(jié)論是否發(fā)生變化，進而進行證明。解決這部分壓軸題的關(guān)鍵是抓住圖形運動過程中的數(shù)據(jù)特征和不變關(guān)系，通過計算進行說理。我們把這三大類的動態(tài)題目分為12個專題訓練，每個專題訓練由六個板塊組成，【五年掃描】把這個專題訓練近五年的50份樣卷涉及到的地區(qū)介紹一下；【專題攻略】簡單介紹這個專題的一般解題步驟和策略；【針對訓練】三道題目是根據(jù)歷年的中考壓軸題改編的；【三年真題】選擇三道近三年的中考題供同學們訓練；【兩年模擬】選擇兩道近兩年的中考模擬題供同學們訓練；【自編原創(chuàng)】是我們參考近十年的中考題，編制的一道訓練題。在選擇題和填空題中，也有一些動態(tài)圖形的題目，我們把這些題目分為7個專題，提供給同學們訓練。壓軸題肯定是有難度的，因此我們在書的后半部分提供了詳盡的解答過程，個別題目還提供了多種解法。這個解答過程，保持了《挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題》系列的優(yōu)勢和特點，用盡可能多的圖形幫助同學們理解題意。專題訓練一等腰三角形的存在性問題典藏回顧我們收集、解讀近5年全國各地的中考數(shù)學壓軸題，以全?。ㄊ校┙y(tǒng)一考試的北京、上海、重慶、山西、陜西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市為單位統(tǒng)一考試的江蘇、浙江、廣東、山東、湖北、湖南、福建、四川、遼寧等地的試題為樣本，分析各地考試壓軸題的常見類型。等腰三角形的存在性問題是中考數(shù)學的熱點問題，近五年上海、重慶和江蘇、浙江、廣東、湖北等省份的部分市考到過這個問題，也是上海各區(qū)模擬考試的熱點．專題攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．針對訓練1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點D在坐標為(3，4)，點P是x軸正半軸上的一個動點，如果△DOP是等腰三角形，求點P的坐標．（09上海24）2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點P以2個單位/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當P、Q兩點中其中一點到達終點時則停止運動．在P、Q兩點移動過程中，當△PQC為等腰三角形時，求t的值．（08南匯25）3．如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P是x軸正半軸上的一個動點，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點Q，如果△APQ是等腰三角形，求點P的坐標．三年真題4．（12臨沂26）如圖，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．5．（11湖州24）如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點．P(0,m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D．（1）求點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當△APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）．當點P從O向C運動時，點H也隨之運動．請直接寫出點H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）．圖1圖2

6．（10南通27）如圖，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常數(shù)），BC＝8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設(shè)CE=x，BF＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若m＝8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？兩年模擬7．（2012年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．動線段DE（端點D從點B開始）沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當端點E到達點C時運動停止．過點E作EF//AC交AB于點F（當點E與點C重合時，EF與CA重合），聯(lián)結(jié)DF，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．（1）直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；（2）在這個運動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；（3）設(shè)M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積．8．（寧波七中2012屆保送生推薦考試第26題）如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB＝3，BC＝，直線y＝經(jīng)過點C，交y軸于點G．（1）點C、D的坐標分別是C（），D（）；（2）求頂點在直線y＝上且經(jīng)過點C、D的拋物線的解析式；（3）將（2）中的拋物線沿直線y＝平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為點E（頂點在y軸右側(cè)）．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？若存在，請求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．自編原創(chuàng)9．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC邊上，∠ADE＝∠B．設(shè)BD的長為x，CE的長為y．（1）當D為BC的中點時，求CE的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）如果△ADE為等腰三角形，求x的值．備用圖備用圖參考答案:1．因為D（3，4），所以O(shè)D＝5，．①如圖1，當PD＝PO時，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此時點P的坐標為．②如圖2，當OP＝OD＝5時，點P的坐標為(5，0)．③如圖3，當DO＝DP時，點D在OP的垂直平分線上，此時點P的坐標為(6，0)．第1題圖1第1題圖2第1題圖32．在Rt△ABC中，.因此.在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.第2題圖1第2題圖2第2題圖3①如圖1，當時，，解得(秒).②如圖2，當時，過點Q作QM⊥AC于M，則CM＝.在Rt△QMC中，，解得(秒).③如圖3，當時，過點P作PN⊥BC于N，則CN＝.在Rt△PNC中，，解得(秒).綜上所述，當t為時，△PQC為等腰三角形.3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以O(shè)A＝1，OB＝2．如圖，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．設(shè)點Q的坐標為(0，m)，那么點P的坐標為(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①當AP＝AQ時，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得或．所以符合條件的點P不存在．②當PA＝PQ時，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得．所以．③當QA＝QP時，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得．所以．第3題圖4．（12臨沂26）（1）如圖，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標為．（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設(shè)點P的坐標為(2,y)．①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當P在時，B、O、P三點共線．②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標為．第4題圖5．（11湖州24）（1）因為PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到點D的坐標為(2，4－m)．（2）在△APD中，，，．①當AP＝AD時，．解得（如圖1）．②當PA＝PD時，．解得（如圖2）或（不合題意，舍去）．③當DA＝DP時，．解得（如圖3）或（不合題意，舍去）．綜上所述，當△APD為等腰三角形時，m的值為，或．第5題圖1第5題圖2第5題圖3[另解]第（2）題解等腰三角形的問題，其中①、②用幾何說理的方法，計算更簡單：①如圖1，當AP＝AD時，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．②如圖2，當PA＝PD時，P在AD的垂直平分線上．所以DA＝2PO．因此．解得．（3）點H所經(jīng)過的路徑長為．思路是這樣的：如圖4，在Rt△OHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的⊙G經(jīng)過點H，也就是說點H在圓弧上運動．運動過的圓心角怎么確定呢？如圖5，P與O重合時，是點H運動的起點，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．第5題圖4第5題圖6．（10南通27）(1)因為∠EDC與∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因為∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為．(2)如圖1，當m＝8時，．因此當x＝4時，y取得最大值為2．(3)若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF為等腰三角形，只存在ED＝EF的情況．因為△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y(tǒng)．將x＝y(tǒng)＝2代入，得m＝6（如圖2）；將x＝y(tǒng)＝6代入，得m＝2（如圖3）．第6題圖1第6題圖2第6題圖37．（1），．（2）△DEF中，∠DEF＝∠C是確定的．①如圖1，當DE＝DF時，，即．解得．②如圖2，當ED＝EF時，．解得．③如圖3，當FD＝FE時，，即．解得，即D與B重合．第7題圖1第7題圖2第7題圖3（3）MN是△FDE的中位線，MN//DE，MN＝2，MN掃過的形狀是平行四邊形．如圖4，運動結(jié)束，N在AC的中點，N到BC的距離為3；如圖5，運動開始，D與B重合，M到BC的距離為．所以平行四邊形的高為，面積為．第7題圖4第7題圖58．（1），．（2）頂點E在AB的垂直平分線上，橫坐標為，代入直線y＝，得．設(shè)拋物線的解析式為，代入點，可得．所以物線的解析式為．（3）由頂點E在直線y＝上，可知點G的坐標為，直線與y軸正半軸的夾角為30°，即∠EGF＝30°．設(shè)點E的坐標為，那么EG＝2m，平移后的拋物線為．所以點F的坐標為．①如圖1，當GE＝GF時，yF－yG＝GE＝2m，所以．解得m＝0或．m＝0時頂點E在y軸上，不符合題意．此時拋物線的解析式為．②如圖2，當EF＝EG時，F(xiàn)G＝，所以．解得m＝0或．此時拋物線的解析式為．③當頂點E在y軸右側(cè)時，∠FEG為鈍角，因此不存在FE＝FG的情況．第8題圖1第8題圖29．（1）當D為BC的中點時，AD⊥BC，DE⊥AC，CE．（2）如圖1，由于∠ADC＝∠ADE＋∠1，∠ADC＝∠B＋∠2，∠ADE＝∠B，所以∠1＝∠2．又因為AB＝AC，所以∠C＝∠B．所以△DCE∽△ABD．因此，即．整理，得．x的取值范圍是0≤x≤8．（3）①如圖1，當DA＝DE時，△DCE≌△ABD．因此DC＝AB，8－x＝6．解得x＝2．②如圖2，當AD＝AE時，D與B重合，E與C重合，此時x＝0．③如圖3，當EA＝ED時，∠DAE＝∠ADE＝∠B＝∠C，所以△DAC∽△ABC．因此．解得．第9題圖1第9題圖2第9題圖3專題訓練四平行四邊形的存在性問題典藏回顧平行四邊形的存在性問題是中考數(shù)學的熱點問題，近五年上海、山西、河南、江西和以市為單位統(tǒng)一考試的江蘇、浙江、山東、湖北、福建、四川等省份的部分市考到過這個問題，也是上海各區(qū)模擬考試的熱點．專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算．難點在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使得解的個數(shù)不重復不遺漏，也可以使計算又好又快．如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點：以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點．如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況．靈活運用向量和中心對稱的性質(zhì)，可以使得解題簡便．針對訓練1．如圖，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為P．若以A、C、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．(11金山24)2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝－x2+2x＋3與x軸交于A、B兩點，點M在這條拋物線上，點P在y軸上，如果以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．（11普陀24）3．將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖所示．現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．(11江西24)三年真題4．（11上海24）已知平面直角坐標系xOy（如圖），一次函數(shù)的圖像與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖像上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像經(jīng)過點A、M．（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖像上，點D在一次函數(shù)的圖像上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．5．（12福州21）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD//BC，交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長．圖1圖26．（11成都28）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知|OA|∶|OB|＝1∶5，|OB|＝|OC|，△ABC的面積S△ABC＝15，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點．（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．兩年模擬7．（2012年從化市初三綜合測試）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx－3a經(jīng)過A(－1,0)、B(0,3)兩點，與x軸交于另一點C，頂點為D．（1）求該拋物線的解析式及點C、D的坐標；（2）經(jīng)過點B、D兩點的直線與x軸交于點E，若點F是拋物線上一點，以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標；（3）如圖2，P（2，3）是拋物線上的點，Q是直線AP上方的拋物線上一動點，求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標．圖1圖28．（2012年高安市九年級模擬考試）已知拋物線的頂點為A，與x軸的交點為B，C（點B在點C的左側(cè)）．（1)直接寫出拋物線對稱軸方程；（2）若拋物線經(jīng)過原點，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；（3）若D為拋物線對稱軸上一點，則以A、B、C、D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請求出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由．自編原創(chuàng)9．如圖，已知雙曲線與直線AB交于A、B兩點，與直線CD交于C、D兩點．（1）求證四邊形ACBD是平行四邊形；（2）四邊形ACBD可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？（3）如果點A的橫坐標為3，點C的橫坐標為m(m＞0)，四邊形ACBD的面積為S，求S與m的之間的關(guān)系式．參考答案:1．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．如圖，過△PAC的三個頂點，分別作對邊的平行線，三條直線兩兩相交的三個交點就是要求的點M．①因為AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移點A可以得到點M1．因為點P(－1，4)先向下平移1個單位，再向右平移1個單位可以與點C(0，3)重合，所以點A(－3，0)先向下平移1個單位，再向右平移1個單位就得到點M1(－2，－1)．②因為AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移點A可以得到點M2．因為點C(0，3)先向左平移1個單位，再向上平移1個單位可以與點P(－1，4)重合，所以點A(－3，0)先向左平移1個單位，再向上平移1個單位就得到點M2(－4，1)．③因為PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移點P可以得到點M3．因為點A(－3，0)先向右平移3個單位，再向上平移3個單位可以與點C(0，3)重合，所以點P(－1，4)先向右平移3個單位，再向上平移3個單位就得到點M3(2，7)．第1題圖2．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如圖1，當AB是平行四邊形的對角線時，PM與AB互相平分，因此點M與點P關(guān)于AB的中點（1，0）對稱，所以點M的橫坐標為2．當x＝2時，y=－x2+2x＋3＝3．此時點M的坐標為(2，3)．②如圖2，圖3，當AB是平行四邊形的邊時，PM//AB，PM＝AB＝4．所以點M的橫坐標為4或－4．如圖2，當x＝4時，y=－x2+2x＋3＝－5．此時點M的坐標為(4，－5)．如圖3，當x＝－4時，y=－x2+2x＋3＝－21．此時點M的坐標為(－4，－21)．第2題圖1第2題圖2第2題圖33．拋物線c1：與x軸的兩個交點為(－1，0)、(1，0)，頂點為．拋物線c1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標為，與x軸的兩個交點為、，AB＝2．拋物線c2在平移的過程中，與拋物線c1關(guān)于原點對稱．所以四邊形AMEN是平行四邊形．如果以點四邊形AMEN是矩形，那么AE＝MN．所以O(shè)A＝OM．而OM2＝m2＋3，所以(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1（如圖）．第3題圖[另解]探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：在等腰三角形ABM中，因為AB＝2，AB邊上的高為，所以△ABM是等邊三角形．同理△DEN是等邊三角形．當四邊形ANEM是矩形時，B、D兩點重合．因為起始位置時BD＝2，所以平移的距離m＝1．4．（1）當x＝0時，，所以點A的坐標為(0，3)，OA＝3．如圖1，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標為．將代入，得x＝1．所以點M的坐標為．因此．（2）因為拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為．（3）如圖2，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點A作AE⊥CD，垂足為E．在Rt△ADE中，設(shè)AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此點C的坐標可以表示為(4m，3－2m)．將點C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．因此點C的坐標為（2，2）．第4題圖1第4題圖25．（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）當點Q的速度為每秒2個單位長度時，四邊形PDBQ不可能為菱形．說理如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．已知PD//BC，當PQ//AB時，四邊形PDBQ為平行四邊形．所以，即．解得．此時在Rt△CPQ中，，．所以，．因此BQ≠BD．所以四邊形PDBQ不是菱形．如圖1，作∠ABC的平分線交CA于P，過點P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．過點P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△APE中，，所以．當PQ//AB時，，即．解得．所以點Q的運動速度為．第5題圖1（3）以C為原點建立直角坐標系．如圖2，當t＝0時，PQ的中點就是AC的中點E(3，0)．如圖3，當t＝4時，PQ的中點就是PB的中點F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖4，PQ的中點M的坐標可以表示為（，t）．經(jīng)驗證，點M（，t）在直線EF上．所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長，EF＝．第5題圖2第5題圖3第5題圖4[另解]第（3）題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當t＝2時，PQ的中點為(2，2)．設(shè)點M的運動路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以點M的運動路徑的解析式為y＝－2x＋6．6．（1）設(shè)OA的長為m，那么OB＝OC＝5m．由△ABC的面積S△ABC＝15，得m＝5．所以點A、B、C的坐標分別為(－1，0)、(5，0)、(0，－5)．設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－5)，代入點C(0，－5)，得a＝1．所以拋物線的解析式為y＝(x＋1)(x－5)＝x2－4x－5．（2）拋物線的對稱軸為直線x＝2，設(shè)點E在對稱軸右側(cè)，坐標為(x，x2－4x－5)．①如圖1，當E在x軸上方時，EF＝2(x－2)，EH＝x2－4x－5．解方程2(x－2)＝x2－4x－5，得或（舍去）．此時正方形的邊長為．②如圖2，當E在x軸下方時，EF＝2(x－2)，EH＝－(x2－4x－5)．解方程2(x－2)＝－(x2－4x－5)，得或（舍去）．此時正方形的邊長為．第6題圖1第6題圖2第6題圖3（3）如圖3，因為點B、C的坐標分別為(5，0)、(0，－5)，所以BC與x軸正半軸的夾角為45°．過點B作BM⊥BC，且使得BM＝．過點M作x軸的垂線，垂足為N，那么△BMN是等腰直角三角形．在Rt△BMN中，斜邊BM＝，所以BN＝MN＝7．因此點M的坐標為(－2，7)或(12，－7)．經(jīng)檢驗，點(－2，7)在拋物線y＝(x＋1)(x－5)上；點(12，－7)不在這條拋物線上．所以點M的坐標是(－2，7)．[另解]第（3）題也可以這樣思考：設(shè)拋物線上存在點M，設(shè)點M的坐標為(x，x2－4x－5)．由于△BMN是等腰直角三角形