周期數(shù)列詳解

周期數(shù)列一、周期數(shù)列的定義：類比周期函數(shù)的概念，我們可定義：對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有成立，則稱數(shù)列是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列。若，則稱數(shù)列為純周期數(shù)列，若，則稱數(shù)列為混周期數(shù)列，的最小值稱為最小正周期，簡稱周期。設(shè){An}是整數(shù),m是某個(gè)取定的大于1的正整數(shù),若Bn是An除以m后的余數(shù),即Bn=An(modm),且Bn在{0,1,2,...,m-1},則稱數(shù)列{Bn}是{An}關(guān)于m的模數(shù)列,記作{An(modm)}。若模數(shù)列{An(modm)}是周期的,則稱{An}是關(guān)于模m的周期數(shù)列。周期數(shù)列的性質(zhì)1、周期數(shù)列是無窮數(shù)列，其值域是有限集；2、如果是數(shù)列的周期，則對(duì)于任意的，也是數(shù)列的周期。3、若數(shù)列滿足（，且），則6是數(shù)列的一個(gè)周期。4、已知數(shù)列滿足（，且為常數(shù)），分別為的前項(xiàng)的和，若（，），則，。特別地：數(shù)列的周期為6，（即：）則5、若數(shù)列滿足，則數(shù)列是周期數(shù)列；若數(shù)列滿足，則數(shù)列是周期數(shù)列。若數(shù)列滿足，則數(shù)列是周期數(shù)列。特別地：數(shù)列滿足，則數(shù)列周期T=2；數(shù)列滿足，則數(shù)列周期T=3數(shù)列滿足，則數(shù)列周期T=2；數(shù)列滿足，則數(shù)列周期T=36、若數(shù)列滿足a+d=0,則數(shù)列是周期T=2；例：數(shù)列滿足則數(shù)列是周期T=2；；三、周期數(shù)列性質(zhì)的簡單應(yīng)用1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）數(shù)列1，2，1，2，1，2，…的通項(xiàng)公式解析：原數(shù)列可構(gòu)造成：，，，，，，……，它的通項(xiàng)公式可以寫成：(n∈N)，或者寫成：(n∈N)，又或者寫成：(n∈N)，總結(jié)：一般的數(shù)列a，b，a，b，a，b，……它的通項(xiàng)公式可以寫成：(n∈N)（2），0，1，，0，1，……的通項(xiàng)公式解析：該數(shù)列周期為3，我們把它與周期為π的函數(shù)進(jìn)行改造，使它們能發(fā)生聯(lián)系。事實(shí)上，當(dāng)x分別為，0，，，，，……時(shí)，的值分別為，0，，，0，，……這樣，0，1，，0，1，……的通項(xiàng)公式可以寫成：所以，原數(shù)列的通項(xiàng)公式為(n∈N)（3）數(shù)列：1，2，3，4，1，2，3，4，……的通項(xiàng)公式．因?yàn)?，所以．所以是?為周期的周期數(shù)列，而，再由性質(zhì)（3），得．例6（上海08質(zhì)檢題）、若數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和，且，，求．解析：由及性質(zhì)（2），可知所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列．由，，知，，再結(jié)合，可求得，，；由遞推關(guān)系式可進(jìn)一步求得，，．因?yàn)?，由性質(zhì)（3），得．4、求周期數(shù)列的極限例7、（06北京）在數(shù)列中，，是正整數(shù)，且，，則稱為“絕對(duì)差數(shù)列”．若“絕對(duì)差數(shù)列”中，，，數(shù)列滿足，，分別判斷當(dāng)時(shí)，數(shù)列和的極限是否存在，如果存在，求出其極限值．解析：因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列中，．所以自第20項(xiàng)開始，該