畢業(yè)論文-群的擴(kuò)張與群的上同調(diào)的研究

安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)與2013屆畢業(yè)論文第第頁各專業(yè)全套優(yōu)秀畢業(yè)論文圖紙群的擴(kuò)張與群的上同調(diào)的研究作者：指導(dǎo)老師：摘要:確定哪些G

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擴(kuò)張是群擴(kuò)張問題,從19世紀(jì)來就被廣泛研究.上同調(diào)是使用一系列函子

Hn研究這個(gè)問題的重要方法。本文綜述群的中心擴(kuò)張與循環(huán)擴(kuò)張的概念以及上同調(diào)群的定義，最后列出上同調(diào)在群擴(kuò)張問題上的基本應(yīng)用。關(guān)鍵詞:上同調(diào)群群擴(kuò)張群上同調(diào)1引言在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支有重要影響。時(shí)至今日，群的概念已經(jīng)普遍地被認(rèn)為是數(shù)學(xué)及其許多應(yīng)用中最基本的概念之一，它不但滲透到諸如幾何學(xué)、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學(xué)分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學(xué)科，如拓?fù)淙骸⒗钊?、代?shù)群、算術(shù)群等。群的擴(kuò)張是群論中的一個(gè)重要問題，其自誕生之后就進(jìn)行著不斷的發(fā)展和演變，近代研究者們討論了由群擴(kuò)張構(gòu)成的群系,給出它為飽和群系的幾種情況及局部定義組。在本文中，將主要就群擴(kuò)張的基本類型進(jìn)行綜述，介紹相關(guān)的概念和性質(zhì)。群的上同調(diào)是一套研究群及其表示的代數(shù)工具，其源于代數(shù)拓?fù)?，并在代?shù)數(shù)論上也有重要的作用，它是現(xiàn)代類域論的基本構(gòu)件之一。本文在群擴(kuò)張的基礎(chǔ)上，給出上同調(diào)群的相關(guān)定義，最后通過一些定理和實(shí)例詳述上同調(diào)在群擴(kuò)張問題上的基本應(yīng)用。2群的擴(kuò)張2.1正規(guī)子群和商群的合成一般的說，包含已知群的任何群都叫做的擴(kuò)張.本文將只討論是的正規(guī)子群的情形.施賴爾最先考慮構(gòu)造所有這樣的群的問題，具有已知的正規(guī)子群和已知的商群至少總存在一個(gè)這樣的群，因?yàn)楹偷闹狈e就具有這個(gè)性質(zhì).我們先假定給了這樣的群，設(shè)商群的元素記做的每個(gè)元素對應(yīng)于在內(nèi)的一個(gè)傍系.設(shè)對應(yīng)于的傍系在內(nèi)的代表是，而且約定用的單位元素作為的代表.于是(2.1.1)而且同態(tài)使得(2.1.2)于是對于所有，映射(2.1.3)是的自同構(gòu)，因?yàn)槭钦?guī)子群.又因?yàn)樵趶牡缴系耐瑧B(tài)下，所以，(2.1.4)這里.由（2.1.4）給定的所有元素的集合我們叫做因子組，于是在的構(gòu)造中出現(xiàn)下列四個(gè)已知條件：正規(guī)子群.商群.的自同構(gòu):由組成的因子組，這里必須強(qiáng)調(diào)的是，一般地說，由（2.1.3）和（2.1.4）定出的自同構(gòu)和因子組依賴于與對應(yīng)的傍系的代表的選取.定理2.1.1給了具有正規(guī)子群和商群的群.如果選取傍系代表，這里而且取，則就決定滿足下列條件的自同構(gòu)和因子組：反之，如果對于每個(gè)，給定的自同構(gòu)，而且對于這些自同構(gòu)和因子組，上述條件成立，則元素連同乘法規(guī)則決定具有正規(guī)子群和商群的群.如果略去的要求，則取作為的單位元素時(shí)定理仍然成立.由和因子組決定的唯一擴(kuò)張將記做如果更換在的傍系代表，取(2.1.5)而且規(guī)定即，則自同構(gòu)就更換成(2.1.6)而因子組更換成因子組，使得.(2.1.7)定義2.1.1.兩個(gè)擴(kuò)張和是等價(jià)的，加入在自同構(gòu)和因子組之間有關(guān)系這里是元素的在內(nèi)取值的函數(shù)，而且.我們記做與的等價(jià)性取決于更換同一個(gè)群內(nèi)子群的傍系代表，因而它顯然是對稱的、自反的和傳遞的真等價(jià)關(guān)系.如果在內(nèi)的傍系代表能取成使(2.1.8)即，則傍系代表組成同構(gòu)于的群，可以把它與等同起來.如果這種情形出現(xiàn)，則我們說是的可裂擴(kuò)張，或說是和的半直積.定理2.1.2.是的可裂擴(kuò)張，必要而且只要存在函數(shù)使得對于所有，都有證明.如果所取的傍系代表使成為的可裂擴(kuò)張，則，而且當(dāng)取時(shí)，就有(2.1.9)反之，如果函數(shù)存在，使得（2.1.9）成立，利用條件決定對應(yīng)于的自同構(gòu).于是存在，而且等價(jià)于對所有都有的擴(kuò)張，因而是的可裂擴(kuò)張.2.2中心擴(kuò)張假定在群借助于群的擴(kuò)張中，所有因子都屬于的中心.那么我們說是借助于群的中心擴(kuò)張.例如如果是阿貝爾群，則，因而的所有擴(kuò)張都是中心擴(kuò)張.對于中心擴(kuò)張，簡化成，(2.2.1)這說明的自同構(gòu)組成一個(gè)群，它是的同態(tài)像.設(shè)表示從到的自同構(gòu)群的同態(tài).再有，如果傍系代表由屬于的因子來更換，則自同構(gòu)不變.因此，對于擴(kuò)張，自同構(gòu)是固定的而且組成一個(gè)群，它是的同態(tài)像.對于中心擴(kuò)張，這就取消了條件，而只需要考慮.這時(shí)對于等價(jià)的擴(kuò)張有，(2.2.2)這里.如果因子組和都滿足，而且組成決定的擴(kuò)張的因子組.在因子組乘積的這個(gè)定義下，存在著單位元素，即所有的因子組，還存在逆，即把換成的因子組.再有，對于等價(jià)的因子組，如果和，則.因此全體因子組是一個(gè)阿貝爾群，即使把等價(jià)的因子組等同起來也是如此.把等價(jià)的因子組等同起來而得到的群叫做擴(kuò)張群.設(shè)是有限的，我們定義.(2.2.3)對于所有的乘起來，我們得出,(2.2.4)這里是的階.與（2.2.2）比較，.(2.2.5)又如果是的所有元素的階的倍數(shù)，則因?yàn)?，所?(2.2.6)因此得到如下定理:定理2.2.1.擴(kuò)張群的任意元素的階整除的階和的元素的階的最小公倍數(shù).推論2.2.1.如果和是互素的，則的所有擴(kuò)張都等價(jià)于和的半直積.定理2.2.2.設(shè)階有限群包含階正規(guī)子群而且具有階的商群，這里和是互素的.那么是的可裂擴(kuò)張.證明.只要證明具有階的子群.我們對施行歸納法，當(dāng)時(shí)定理是顯然成立的.設(shè)而且是整除的素?cái)?shù).中對應(yīng)于的所有西羅子群是的子群，因?yàn)橹辽侔粋€(gè)西羅子群，而且是正規(guī)的，因而的共軛者也屬于.因此內(nèi)的西羅子群的個(gè)數(shù)與內(nèi)的個(gè)數(shù)相同.再由（表示不想交的共軛類，而且的每一個(gè)元素恰好是一個(gè)共軛類的元素），，因而，和分別是在和內(nèi)的正規(guī)化子.這時(shí)當(dāng)然有，且是的正規(guī)子群.如果是的真子群，則根據(jù)歸納假設(shè)，它包含階的子群.因此可以假定，于是.如果是的真子群，則根據(jù)歸納假設(shè)，包含階為而且同構(gòu)于的子群，因而包含同構(gòu)于的階子群，這就證明了定理.因此問題歸結(jié)為的情形.這時(shí)如果是阿貝爾群，則是的中心擴(kuò)張，因而根據(jù)定理3的推論，是的可裂擴(kuò)張，證明了定理.如果不是阿貝爾群，則的中心是的真子群，而且是的特征子群，它必定是的正規(guī)子群.因此，根據(jù)歸納假設(shè)，包含階子群.于是在的對應(yīng)子群內(nèi)是正規(guī)的而且有指數(shù)，因而根據(jù)歸納假設(shè)，包含階子群，這就對最后這種情形證明了定理.2.3循環(huán)擴(kuò)張假設(shè)是由元素生成的階的有限循環(huán)群；的元素是(2.3.1)設(shè)，取作為映成的的傍系代表，還可以取作為分別映成的的傍系代表，因而(2.3.2)這時(shí)，(2.3.3)這里是的元素.于是對于的自同構(gòu)，必定有(2.3.4)其次從恒等式(2.3.5)得出(2.3.6)我們來證明，（2.3.4）和（2.3.6）完全決定了借助于的擴(kuò)張.定理2.3.1.設(shè)是階的有限循環(huán)群.那么群借助于的擴(kuò)張存在，必要而且只要存在的自同構(gòu)和元素，使得（2.1.1）這自同構(gòu)的次方次冪是由作變形而得出的的內(nèi)自同構(gòu)，而且（2.1.2）在這自同構(gòu)下不變.證明.我們已經(jīng)知道，如果擴(kuò)張存在，則自同構(gòu)和元素滿足（2.3.4）和（2.3.6）.反之，我們來證明（2.3.4）和（2.3.6）足以決定一個(gè)擴(kuò)張.的元素是，或我們按下列方式定義自同構(gòu)和因子組：(2.3.7)如果(2.3.8)如果(2.3.9)利用這些定義我們?nèi)菀昨?yàn)證和滿足，因而根據(jù)定理2.1.1，決定了一個(gè)擴(kuò)張.如果是無限階的循環(huán)群，我們可以令對于所有和都成立，而且我們發(fā)現(xiàn)自同構(gòu)不必加以限制.這說明對于所有都成立.3群的上同調(diào)3.1二重模設(shè)是任意乘法群而且是二重模，即是滿足下列條件的加法阿貝爾群:以作為左右兩邊算子的群，使得對于給定的和，和是的唯一決定的元素.分配性，，因而，，.,這里是的單位元素.結(jié)合性 ,這些定律對于所有和所有都成立.實(shí)質(zhì)上，二重模就是這樣的加法阿貝爾群，它以的元素作為可分配的算子.在應(yīng)用中常常出現(xiàn)在一邊（例如左邊，是恒同地作用的，這是說對于所有和都有）.這種情形下，我們簡單的略去左邊算子，而且把它說成單邊的模.舉例說，設(shè)是群的正規(guī)的阿貝爾子群而且記作如果，則只取決于和，而不依賴于在傍系中的選取.因而可以記而不致引起誤會.這就是單邊模的例子，只不過是用乘法表出的.在展開上同調(diào)的一般定理時(shí)，用加法記號表出是比較方便的做法.3.2上鏈，上邊緣和上同調(diào)群給了二重模，我們定義為個(gè)變量的所有函數(shù)組成的加法群，這個(gè)變量獨(dú)立地在內(nèi)取值，函數(shù)數(shù)值在內(nèi)取，而且滿足條件：如果至少有一個(gè)，則.(3.2.1)的元素叫做維上鏈.根據(jù)定義，而零維上鏈根本就是的任意元素.上邊緣算子是指從到的下列映射：.(2.3.2)這里，而且容易驗(yàn)證.映射對于加法說是同態(tài).在群論中特別有用的是的情形.這時(shí)上邊緣公式是因?yàn)?，(2.3.3)定理3.2.1.如果是任意上鏈，則證明.取使.那么.因此，當(dāng)我們根據(jù)定義用的值來表示時(shí)，我們得到正負(fù)交替的項(xiàng)：這里每個(gè)在用的值表出時(shí)是正負(fù)交替的項(xiàng)，我們可以寫成：.因此，這里和取到的值.然后容易驗(yàn)證，對于所有和都有.因此上述等式的右邊等于零.如果有條件，則叫做維上圈，這些上圈組成由導(dǎo)出的從到的同態(tài)的核.如果而且存在元素使得，則叫做維上邊緣.這些上邊緣組成在映射下的像..我們定義.根據(jù)定理3.2.1，每個(gè)上邊緣都是上圈，因而對于所有.商群叫做二重模的維上同調(diào)群.我們把它記做.在上鏈的定義中，我們用（3.2.1）限定在有一個(gè)或更多的元是單位元素時(shí)上鏈取零值.在很多情形里這種限制是能滿足的，例如在應(yīng)用到前面提到過的因子組時(shí)就是如此.我們把這種上鏈叫做正規(guī)化的.當(dāng)（3.2.1）這個(gè)限制被略去時(shí)，我們說成未正規(guī)化的上鏈.定理3.2.1當(dāng)然對這兩種情形都成立，因?yàn)樵谧C明時(shí)并未用到定理6.它們的區(qū)別是為了某種便利，因?yàn)槲覀兛梢宰C明，關(guān)于未正規(guī)化的上鏈的各維上同調(diào)群都同構(gòu)于正規(guī)化的上鏈的對應(yīng)的上同調(diào)群.定理3.2.2.關(guān)于未正規(guī)化的上鏈的維上同調(diào)群同構(gòu)于關(guān)于正規(guī)化的對應(yīng)的上同調(diào)群.證明.我們把維正規(guī)化的上鏈、上邊緣和上圈分別記做，和，而且在未正規(guī)化的情形使用記號，和.對于和，容易驗(yàn)證和，因而和在這兩種情形里都相等這時(shí)主要的驗(yàn)算是：如果，則，因而在取時(shí)有，因而是正規(guī)化的，即.現(xiàn)在假定.顯然有和.因此關(guān)于的上同調(diào)類，即在內(nèi)的傍系，對應(yīng)于關(guān)于的唯一地同調(diào)類，即的包含它的傍系.這個(gè)對應(yīng)當(dāng)然是從到的同態(tài).當(dāng)兩個(gè)上鏈的差是上邊緣時(shí)，我們說這兩個(gè)上鏈?zhǔn)巧贤{(diào)的.因而兩個(gè)上圈上同調(diào)，必要而且只要它們屬于同一個(gè)上同調(diào)類.引理3.2.1.每個(gè)未正規(guī)化的上圈總上同調(diào)于一個(gè)正規(guī)化的上圈.引理3.2.2.如果某個(gè)上鏈的上邊緣是正規(guī)化的，則它是正規(guī)化的上鏈和上邊緣.引理3.3.3.如果是正規(guī)化的，則是正規(guī)化的.4上同調(diào)對擴(kuò)張理論的應(yīng)用設(shè)是群的正規(guī)阿貝爾子群而且是商群.如果傍系是的元素,則對于只取決于和而不依賴于在傍系中的選取.因此可以記而不會有誤會，在這種記號下，是作用于的右側(cè)的算子群，而且我們認(rèn)為在左側(cè)是恒同地作用的.設(shè)是具有固定算子群的加法群，而且對于因子組使用記號，那么變成.(4.1)移項(xiàng)后我們得出，(4.2)因而因子組是二維上圈.根據(jù)（11）.兩個(gè)因子組和等價(jià)的條件是，(4.3)即和相差上邊緣.這里我們說過在左側(cè)是恒同地作用的.因此擴(kuò)張群是二維上同調(diào)群.我們得出以下定理：定理4.1.阿貝爾群借助于群的擴(kuò)張群是二維上同調(diào)群，這里：在左側(cè)是恒同地作用的.在右側(cè)的作用導(dǎo)出的自同構(gòu).因子組是的上圈.等價(jià)的因子組相差的上邊緣.在把寫成的傍系的和時(shí)取單位元素作為的代表就導(dǎo)出正規(guī)化性質(zhì).在（4.1）中令，我們得出，(4.4)因此.(4.5)同理，令，我們得出，(4.6)因而還有，(4.7)這說明我們處理的是正規(guī)化的上圈.定理4.2.如果，則.推論4.2.1如果，則.事實(shí)上，是說，因而是的上邊緣.我們的結(jié)論是：如果的階是，則上同調(diào)群的每個(gè)元素的階都整除.定理3是這個(gè)結(jié)果當(dāng)時(shí)的特殊情形.關(guān)于因子組有伽許茲的進(jìn)一步的結(jié)果，其實(shí)關(guān)于一個(gè)群和它的子群的上同調(diào)的.這時(shí)假定在內(nèi)的指數(shù)是有限數(shù).(4.8)這時(shí)如果是的元素，則我們記，這里加杠表示元素所屬的傍系的代表.同理記.(4.9)我們用下列公式定義的轉(zhuǎn)移:.（4.10）注意總有，因而對于，屬于子群.定理4.3（伽許茲定理）.如果而且是在內(nèi)有指數(shù)的子群，則.伽許茲定理的群論形式如下：定理4.4（伽許茲定理）.設(shè)，是阿貝爾群借助于有限群的擴(kuò)張的因子組.設(shè)是的指數(shù)為的子群，而且.那么.其中的元和當(dāng)然是的元素.推論4.2.2.如果當(dāng)時(shí)有，則.這個(gè)定理有很多推論，而其中最有用的是連系的的擴(kuò)張的，這里是的西羅子群.設(shè)的階是，而的階是.設(shè)是的擴(kuò)張的群，就像在本文之前所定義的那樣.的每個(gè)元素是等價(jià)的因子組的類.根據(jù)定理2.2.1，的每個(gè)元素的階整除.因而是周期阿貝爾群而且是它的西羅子群的直積.定理4.5.設(shè)是的擴(kuò)張的群.那么的西羅子群同構(gòu)于群，是把的擴(kuò)張的因子組限制成取元，而決定的擴(kuò)張的群，這里是的西羅子群.證明.對于的擴(kuò)張的因子組，我們定義等價(jià)，假如在限定元而導(dǎo)出擴(kuò)張時(shí)有.這確實(shí)是等價(jià)關(guān)系.其次，設(shè)是的由這種因子組組成的子群，對于它在限定時(shí)，有.于是的元素對應(yīng)于等價(jià)的因子組，必要而且只要它們屬于的同一個(gè)傍系.因此同構(gòu)于群，是限定因子組的元而得到的擴(kuò)張的群.根據(jù)伽許茲定理的推論，取作為子群，的每個(gè)元素的階都整除的指數(shù)，又根據(jù)前文，的每個(gè)元素都整除.因?yàn)椋院偷奈髁_子群都同構(gòu)于，因而它們彼此同構(gòu)，這就證明了定理.定理4.6.的擴(kuò)張?jiān)谏峡闪?，必要而且只要對于整除的階的每個(gè)素?cái)?shù)，限定于西羅子群的擴(kuò)張可裂.證明.從借助于的擴(kuò)張可裂顯然得出借助于每個(gè)的擴(kuò)張可裂.我們來證明逆命題.設(shè)是由擴(kuò)張決定的因子組.根據(jù)假設(shè)，，這里當(dāng)時(shí)有.根據(jù)推論有，這里.這對于整除的每個(gè)都成立.使的不同的最大公約數(shù)是，因而，所以借助于的擴(kuò)張可裂.定理得以證明.結(jié)束語本文在群擴(kuò)張的問題上給出了中心擴(kuò)張和循環(huán)擴(kuò)張兩種基本的類型的概念和性質(zhì)并綜述了上同調(diào)群的定義，最后介紹了上同調(diào)對擴(kuò)張理論的應(yīng)用。擴(kuò)張屬于群論中一個(gè)很重要的小領(lǐng)域，我們知道群論在很多領(lǐng)域中都有著重要的作用，隨著社會和科技的快速發(fā)展,人們對群的的研究越來越深入,在理論研究方面，學(xué)者們已經(jīng)取得了一定的研究成果，但這只算是起步，這個(gè)領(lǐng)域還需要我們花費(fèi)更多的精力去求知。參考文獻(xiàn)[1]M.赫爾，群論[M],北京：人民教育出版社，1981[2]胡冠章，應(yīng)用近世代數(shù)（第3版），北京：清華大學(xué)出版社，2006[3]劉國華.\o"廣義Thullen域上的上同調(diào)群消滅定理"廣義Thullen域上的上同調(diào)群消滅定理[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001(06)[4]楊新松,劉春艷.\o"本原元之像冪單的二元生成自由群冪單性"本原元之像冪單的二元生成自由群冪單性[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,(04)[5]楊恒云,葉鑫.\o"兩類6維冪零李代數(shù)的上同調(diào)群"兩類6維冪零李代數(shù)的上同調(diào)群[J].上海海事大學(xué)學(xué)報(bào),HYPERLINK"/kns50/Navi/Bridge.aspx?DBCode=CJFD&LinkType=IssueLink&Field=BaseID*year*issue&T